Область применения и требования
Фреймворк ACT, редакция от февраля 2026. Оригинальные учебные кейсы не являются официальным бланком; сохраните границы оцененных/полевых тестов каждого исходного бланка.
- Интерпретировать оценку генеральной совокупности и результаты моделирования без претензии на доказательство
- Вычислять условные, составные величины и математическое ожидание
- Выберите перестановки или сочетания в зависимости от того, важен ли порядок
Предварительные знания: Проценты; генеральные совокупности; случайный выбор versus случайное назначение.
Объясните и выберите метод
Случайная выборка позволяет делать выводы о генеральной совокупности-источнике; доверительный интервал отражает неопределенность выборки вокруг оценки. Случайное назначение вместо этого позволяет сравнивать эффект воздействия. В симуляции результат, который редко возникает при истинности утверждения, может служить доказательством его ложности; отсутствие необычного результата не подтверждает истинность утверждения.
Условная вероятность ограничивает знаменатель группой условия. Для вероятности A или B вычтите их пересечение после сложения отдельных вероятностей. Независимость позволяет умножать неизменные вероятности; извлечение без возвращения требует обновления количества вариантов. Математическое ожидание — это сумма каждого возможного исхода, умноженного на его вероятность, а не обязательно сам исход, получаемый в одном испытании.
Используйте правило умножения для последовательных выборов. Для n различных объектов выбор r по порядку дает n!/(n-r)!; выбор неранжированного множества дает n!/[r!(n-r)!]. Деление на r! устраняет кратное количество порядков одного и того же множества. Эти формулы предполагают различные объекты и отсутствие возвращения; другие условия требуют соответствующего подсчета.
Переведите событие в количество способов перед расчетом вероятности. Если благоприятное событие может произойти несколькими непересекающимися способами, сложите эти способы; если пути пересекаются, избегайте двойного подсчета. Числовой ответ должен быть между нулем и единицей для вероятности, тогда как ожидаемая стоимость или балл имеют единицы измерения исходов.
Доверительный интервал добавляется и вычитается в процентных пунктах. Оценка 63% с погрешностью 4 пунктов дает 59%–67%. Это интервал, полученный процедурой, а не гарантия того, что ответ каждого человека близок к 63%. Случайная выборка поддерживает выводы о генеральной совокупности; случайное назначение относится к сравнениям воздействий.
Существующий разбор примера: Из пяти студентов число пар капитан/заместитель равно 5·4=20; неранжированные пары равны 5·4/2=10. Игра начисляет 4 очков с вероятностью 1/4 и 0 иначе, поэтому ожидаемый выигрыш составляет 1 очко за игру. Оценка по выборке 52% ±3 процентных пунктов дает 49%–55%; это не гарантия ни для каждой выборки, ни для отдельного лица.
Завершите оригинальный контекст
Каждый вопрос на перенос данных содержит всю необходимую информацию.
Независимая практика и проверенное рассуждение
Перенос 1
Шесть студентов выбирают председателя и другого секретаря. Сколько существует назначений? Сколько существует неранжированных двухчленных комитетов? Объясните разницу.
Рассуждение: Упорядоченные роли дают $6(5)=30$. Неранжированные пары в этом произведении считаются дважды, поэтому их $6(5)/2=15$. Обмен людьми меняет роли, но не неранжированный комитет.
Перенос 2
Игра выплачивает 12 фишек с вероятностью 0.1, 3 фишек с вероятностью 0.4 и ноль иначе. Вход стоит 2 фишек. Найдите ожидаемую выплату и ожидаемую чистую прибыль. Получает ли игрок эту сумму каждый раз?
Рассуждение: Оставшаяся вероятность равна 0.5. $E(P)=12(0.1)+3(0.4)+0(0.5)=2.4$ фишек. Ожидаемая чистая прибыль составляет $E(G)=E(P)-2=0.4$ фишку за игру. Фактические чистые результаты равны 10,1, -2; ни один из них не равен 0.4, которое является средним значением в долгосрочной перспективе согласно модели.
Перенос 3
Из мешка с 3 красными и 2 синими шарами без возвращения вытягивают два шара. Найдите вероятность того, что оба шара красные, и вероятность того, что ровно один шар красный.
Рассуждение: $P(RR)=(3/5)(2/4)=3/10$. Ровно один красный шар может появиться как RB или BR: $P=(3/5)(2/4)+(2/5)(3/4)=3/5$. Второй знаменатель равен 4; вытягивания зависимы.
Перенос 4
Случайная выборка из 500 зарегистрированных членов библиотеки показывает, что 62% поддерживают изменения, с заявленной погрешностью 4 процентных пунктов. Укажите интервал и генеральную совокупность. Устанавливает ли это поддержку среди всех жителей города?
Рассуждение: Интервал составляет от $62\%-4\%=58\%$ до $62\%+4\%=66\%$, где вычитание обозначает пункты. Генеральная совокупность — зарегистрированные члены в фрейме выборки. Нерегистрируемые участники не были отобраны, поэтому оценка не устанавливает поддержку всех жителей.
Перенос 5
Сорок добровольцев случайно распределяются на группу со старыми инструкциями и новую группу со новыми инструкциями, выполняя одну и ту же задачу в одинаковых условиях. Новая группа завершает задание быстрее. Какие выводы о причинно-следственной связи и генеральной совокупности являются обоснованными?
Обоснование: Случайное распределение обеспечивает причинно-следственное сравнение версий инструкций для этих участников в рамках тестируемых условий, с учётом вариативности. Добровольный отбор ограничивает обобщение на генеральную совокупность. Он не доказывает, что все будущие пользователи будут завершать задание быстрее.
Перенос 6
Опрос 10000 добровольцев сайта показывает узкий заявленный доверительный интервал. Объясните, почему один только размер выборки не устраняет смещение отбора, и предложите более эффективный метод набора участников.
Обоснование: Люди, выбравшие ответить, могут систематически отличаться от тех, кто отказался. Интервал выборочной вариабельности не устраняет это смещение. Проведите случайный отбор из определённой целевой популяции и выполните повторные контакты с теми, кто не ответил; при этом обязательно укажите ограничения исследования.
Ограничения и дальнейшее применение
Порядок, замена и условие меняют ход вычислений. Непринятие статистического утверждения не означает доказательство его истинности.
Все задачи здесь являются открытой оригинальной практикой с авторским руководством. Они не являются официальными вопросами или свежими диагностическими инструментами. Существующие защищённые тесты и тренировочные варианты остаются отдельными.