Interpreting the Behavior of Accumulation Functions Involving Area · Interpretando o Comportamento de Funções de Acumulação Envolvendo Área
| English | Português |
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| extrema/ekˈstremə/ | extremos |
Reading $g$ from the graph of $f$
- If $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$, then by FTC Part 1, $g'=f$ — so $f$ is the derivative of $g$.
- That means everything from Unit 5 applies: use $f$ (as $g'$) to analyze $g$.
- The sign of $f$ tells you where $g$ increases and decreases.
- The zeros of $f$ (where it changes sign) locate the extrema of $g$.
Lendo $g$ a partir do gráfico de $f$
- Se $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$, então pelo TFC Parte 1, $g'=f$ — então $f$ é a derivada de $g$.
- Isso significa que tudo da Unidade 5 se aplica: use $f$ (como $g'$) para analisar $g$.
- O sinal de $f$ diz onde $g$ cresce e decresce.
- Os zeros de $f$ (onde ele muda de sinal) localizam os extremos de $g$.
When analyzing $g(x)=\int_a^x f\,dt$, the graph of $f$ acts as the graph of $g'$. · Ao analisar $g(x)=\int_a^x f\,dt$, o gráfico de $f$ atua como o gráfico de $g'$.
FTC Part 1: $g'=f$. · TFC Parte 1: $g'=f$.
Increase/decrease from the sign of $f$
- Where $f(x)>0$: $g$ is increasing (area is being added).
- Where $f(x)<0$: $g$ is decreasing (area is being subtracted).
- So look at the graph of $f$: above the axis → $g$ climbs; below → $g$ falls.
- $g$ is the running total of signed area, so its direction follows $f$'s sign.
Crescimento/decrescimento a partir do sinal de $f$
- Onde $f(x)>0$: $g$ está crescendo (área está sendo adicionada).
- Onde $f(x)<0$: $g$ está decrescendo (área está sendo subtraída).
- Então olhe para o gráfico de $f$: acima do eixo → $g$ sobe; abaixo → $g$ desce.
- $g$ é o total acumulado de área assinalada, então sua direção segue o sinal de $f$.
g rises where f is positive · g sobe onde f é positivo
y = f(t) (the integrand = g′) · y = f(t) (o integrando = g′)
While $f$ (the shaded height) is positive, the accumulated area $g$ increases; when $f$ turns negative, $g$ decreases. · Enquanto $f$ (a altura sombreada) é positiva, a área acumulada $g$ aumenta; quando $f$ se torna negativo, $g$ diminui.
For · A favor $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$, $g$ is increasing exactly where... · Para $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$, $g$ está aumentando exatamente onde...
$g'=f$, so $g$ increases where $f>0$. · $g'=f$, então $g$ aumenta onde $f>0$.
Extrema of $g$ where $f$ changes sign
- $g$ has a local max where $f$ (its derivative) changes from positive to negative.
- $g$ has a local min where $f$ changes from negative to positive.
- These are just the First Derivative Test applied to $g$, using $f$ as $g'$.
- The extrema 极值 of the accumulation function sit at the $x$-axis crossings of $f$.
Extremos de $g$ onde $f$ muda de sinal
- $g$ tem um máximo local onde $f$ (sua derivada) muda de positivo para negativo.
- $g$ tem um mínimo local onde $f$ muda de negativo para positivo.
- Estes são apenas o Teste da Primeira Derivativa aplicado a $g$, usando $f$ como $g'$.
- Os extremos 极值 da função acumuladora situam-se nos cruzamentos com o eixo $x$ de $f$.
$g$ has a local maximum where $f$ changes from... · $g$ tem um máximo local onde $f$ muda de...
$g'=f$ goes $+\to-$ → local max of $g$. · $g'=f$ vai de $+\to-$ → máximo local de $g$.
From the graph of $f$, you can read which features of $g=\int_a^x f\,dt$? · Do gráfico de $f$, você pode ler quais características de $g=\int_a^x f\,dt$?
Increase/decrease, extrema, concavity — all from $f$. Exact values need the actual area. · Aumento/decrescimento, extremos, concavidade — tudo de $f$. Valores exatos precisam da área real.
Concavity of $g$ from the slope of $f$
- Since $g'=f$, we get $g''=f'$ — so the concavity of $g$ follows the slope of $f$.
- Where $f$ is increasing, $g$ is concave up; where $f$ is decreasing, $g$ is concave down.
- An inflection point of $g$ sits where $f$ has a local max or min (where $f'$ changes sign).
- One graph of $f$ tells you increase/decrease and concavity of $g$.
Concavidade de $g$ a partir da inclinação de $f$
- Como $g'=f$, obtemos $g''=f'$ — então a concavidade de $g$ segue a inclinação de $f$.
- Onde $f$ está crescendo, $g$ é côncava para cima; onde $f$ está decrescendo, $g$ é côncava para baixo.
- Um ponto de inflexão de $g$ ocorre onde $f$ tem um máximo ou mínimo local (onde $f'$ muda de sinal).
- O gráfico de $f$ mostra o crescimento/decrescimento e a concavidade de $g$.
Since $g''=f'$, $g$ is concave up where $f$ is ____. · Como $g''=f'$, $g$ é côncava para cima onde $f$ é ____.
$g''=f'>0$ where $f$ rises. · $g''=f'>0$ onde $f$ sobe.
A large positive value of $f$ at $x$ means that $g$ is... · Um valor positivo grande de $f$ em $x$ significa que $g$ está...
$f=g'$ is the rate · taxa; a large $f$ means $g$ rises fast, not that $g$ is big. · $f=g'$ é a taxa; um $f$ grande significa que $g$ sobe rápido, não que $g$ seja grande.
To analyze $g(x)=\int_a^x f\,dt$, treat the graph of $f$ as the graph of $g'$. Don't read $f$'s height as $g$'s height — read $f$'s sign for $g$'s increase/decrease, and $f$'s sign changes for $g$'s extrema. A big positive $f$ means $g$ is rising fast, not that $g$ is large.
Para analisar $g(x)=\int_a^x f\,dt$, trate o gráfico de $f$ como o gráfico de $g'$. Não leia a altura de $f$ como a altura de $g$ — leia o sinal de $f$ para o aumento/decrescimento de $g$, e as mudanças de sinal de $f$ para os extremos de $g$. Um grande positivo $f$ significa que $g$ está subindo rápido, não que $g$ é grande.
$g(x)=\int_0^x f(t)\,dt$, where $f>0$ on $(0,3)$, $f(3)=0$, and $f<0$ on $(3,5)$.
- On $(0,3)$: $f>0$ → $g$ increasing. On $(3,5)$: $f<0$ → $g$ decreasing.
- At $x=3$: $f$ changes $+\to-$ → $g$ has a local maximum.
- So $g$ climbs to a peak at $x=3$, then falls.
$g(x)=\int_0^x f(t)\,dt$, onde $f>0$ em $(0,3)$, $f(3)=0$ e $f<0$ em $(3,5)$.
- Em $(0,3)$: $f>0$ → $g$ crescente. Em $(3,5)$: $f<0$ → $g$ decrescente.
- Em $x=3$: $f$ muda de $+\to-$ → $g$ tem um máximo local.
- Então $g$ sobe até um pico em $x=3$, depois cai.
For $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$, use $g'=f$: $g$ increases where $f>0$, decreases where $f<0$, and has extrema where $f$ changes sign. Since $g''=f'$, $g$ is concave up where $f$ is increasing. Read the graph of $f$ as the graph of $g'$.
Para $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$, use $g'=f$: $g$ aumenta onde $f>0$, diminui onde $f<0$, e tem extremos onde $f$ muda de sinal. Como $g''=f'$, $g$ é côncava para cima onde $f$ está aumentando. Leia o gráfico de $f$ como o gráfico de $g'$.