EM.5 · RC and RL transients, impedance and resonance

A tensão no capacitor e a corrente no indutor não podem mudar instantaneamente sob excitações finitas comuns, mas seu comportamento de regime permanente é diferente.

Pré-requisitos: 14.

• Resolver carregamento e descarga RC com condições iniciais declaradas
• Resolver resposta de corrente RL e considerar energia armazenada
• Usar impedância complexa, fase e ressonância em circuitos senoidais

Para um resistor R em série com um capacitor C e uma fonte DC V_s, a lei de tensão de Kirchhoff é R dq/dt+q/C=V_s. Defina V_C=q/C e τ=RC. Após a chave ser ligada a uma fonte constante, V_C(t)=V_s+(V_C(0)−V_s)exp(−t/τ). Um capacitor inicialmente descarregado tem V_C=V_s(1−exp(−t/τ)) e corrente de carga I=(V_s/R)exp(−t/τ). Com a fonte removida e o resistor conectado, V_C=V_C(0)exp(−t/τ). A tensão do capacitor é contínua na chave se não houver corrente impulsiva; a corrente no resistor pode mudar instantaneamente.

Em um circuito RL em série, a lei de Kirchhoff dá L dI/dt+RI=V_s e τ=L/R. A corrente após acionamento constante é I(t)=V_s/R+(I(0)−V_s/R)exp(−t/τ). A corrente indutiva é contínua para tensão finita; sua tensão pode mudar abruptamente conforme a chave altera dI/dt. Em tempos tardios, um indutor ideal em circuito DC atua como conexão de zero tensão, enquanto um capacitor ideal tem corrente DC nula. As energias armazenadas são LI²/2 e CV_C²/2. Durante o decaimento em um resistor, a energia inicialmente armazenada torna-se calor no resistor em vez de desaparecer quando a fonte é desconectada.

Use a convenção fasorial declarada exp(iωt). Um resistor tem impedância R, um indutor iωL e um capacitor 1/(iωC)=−i/(ωC). Um circuito RLC em série tem portanto Z=R+iX com X=ωL−1/(ωC). Divida o fasor da tensão da fonte por Z para obter a corrente. Sua magnitude é V_rms/sqrt(R²+X²) quando quantidades rms são usadas. A fase da impedância φ satisfaz tanφ=X/R; a corrente atrasa a tensão para X>0 e a antecede para X<0. Somar as magnitudes escalares R, ωL e 1/(ωC) perde a informação de fase vetorial.

Ressonância em série ocorre em ω₀=1/sqrt(LC) quando X=0. A corrente é máxima para uma tensão fixa neste modelo ideal em série, e a diferença de fase entre tensão/corrente é zero. A potência média real é V_rms I_rms cosφ=I_rms²R; L e C ideais trocam energia mas não dissipam potência média. Isso difere da frequência natural transitória: um circuito em série amortecido pode oscilar em sqrt(1/(LC)−(R/(2L))²) quando subamortecido. Grande resistência elimina tais oscilações livres, mas não altera a condição X=0 da impedância em série acionada ideal. Indique se uma pergunta pede resposta a degrau, decaimento livre ou estado estacionário sinusoidal.

Um circuito RC chaveia para tensão de fonte fixa Vs. Conservação de carga e lei de Kirchhoff dão

Para R = 2 quiloohms, C = 1 milifarad, Vs = 12 V e tensão inicial zero, A constante de tempo controla a diferença restante em relação ao estado final.

*τ = RC ou L/R; um circuito RLC em série extrai sua maior corrente na ressonância

RC tem τ=RC, enquanto RL tem τ=L/R. Não confunda amplitude de corrente com corrente rms, nem ressonância de uma impedância acionada com frequência de oscilação livre amortecida.

constante de tempo: A escala de resposta exponencial, RC para circuito RC e L/R para circuito RL.

impedância: A razão fasorial complexa tensão-corrente em estado estacionário sinusoidal.