QM.1 · Scattering, degeneracy and Pauli operators

Uma onda quântica pode refletir em um degrau de potencial descendente mesmo que uma partícula clássica não tenha ponto de inversão ali.

Pré-requisitos: 5.

• Corresponda ondas viajantes e fluxos através de mudanças finitas de potencial
• Conte estados oscilador isotrópico degenerados
• Avalie produtos de Pauli e distinga anticomutação de igualdade

Para potencial constante V e energia E>V, as soluções espaciais são fatores de propagação exp(±ikx), com k=sqrt[2m(E−V)]/$\hbar$. Em degraus finitos com a mesma massa de partícula, a função de onda e sua primeira derivada são contínuas. Em um problema de espalhamento com incidência pela esquerda e sem feixe incidente pela direita, a solução à extrema direita contém apenas o fator de propagação à direita Ae^(ikx). Se um poço finito retornar ao potencial externo original, o número de onda externo transmitido iguala-se ao incidente, embora o número de onda interno diferir. Soluções exponencialmente decrescentes descrevem regiões E<V, nem todo poço de potencial.

Para um degrau de V1 a V2 com ambas as regiões classicamente permitidas, escreva a amplitude incidente mais refletida na região 1 e a transmitida na região 2. A continuidade fornece r=(k1−k2)/(k1+k2) e t=2k1/(k1+k2). A probabilidade de reflexão é R=|r|²; a transmissão é T=(k2/k1)|t|² porque a corrente de probabilidade depende do número de onda. Assim, R+T=1 para um degrau sem perdas. Não adicione a amplitude transmitida ao quadrado diretamente a R sem seu fator de corrente. Com k2=3k1, R=1/4 e T=3/4 apesar de um degrau descendente.

Um oscilador isotrópico tridimensional separa-se em modos x,y,z com inteiros não negativos n_x,n_y,n_z. Sua energia é (N+3/2)$\hbar$ω, onde N=n_x+n_y+n_z. Para uma partícula distinguível de spin-zero, a degeneração espacial é o número de tais ternos: (N+1)(N+2)/2. Isso conta atribuições diferentes, não apenas partições não ordenadas diferentes. Para N=2, os seis estados são permutações de (2,0,0) e (1,1,0). Para N=3, a degeneração é 10. Restrições adicionais de spin ou de partículas idênticas alterariam o problema de contagem.

As matrizes de Pauli são σ_x=[[0,1],[1,0]], σ_y=[[0,−i],[i,0]], σ_z=[[1,0],[0,−1]]. Cada uma eleva-se à identidade. A multiplicação direta resulta em σ_xσ_y=iσ_z e σ_yσ_x=−iσ_z, logo matrizes distintas de Pauli anticomutam. Produtos cíclicos x→y→z têm i positivo; inverter a ordem muda o sinal. A identidade geral é σ_iσ_j=δ_ijI+iΣε_ijkσ_k. A ordem das matrizes importa: σ_xσ_z=−iσ_y, não iσ_y ou simplesmente σ_y. Essas matrizes adimensionais tornam-se operadores de spin S_i=$\hbar$σ_i/2, adicionando unidades físicas e fatores.

Em um degrau de potencial finito, igualar a função de onda e sua derivada para a mesma massa.

A probabilidade de transmissão usa corrente, não apenas amplitude. Para $k_2=3k_1$, $r=-1/2$, $t=1/2$. A reflexão ocorre mesmo em degraus descendentes. Seu sinal de fase desaparece ao calcular a probabilidade.

A probabilidade de transmissão precisa da razão de correntes do número de onda. A degeneração do oscilador conta ternos de modos ordenados. Não inverta a ordem das matrizes de Pauli sem alterar seu sinal.

coeficiente de reflexão: Fração da corrente de probabilidade refletida em relação à incidente.

degenerescência: Número de estados independentes que compartilham a energia especificada.