T.12 · Completude métrica e fechamento a partir de uma base

Preparação de graduação para o GRE. Objetivos locais dentro do escopo revisado do ETS; este é ensino original, não um teste oficial ou preditor de nota.

Pré-requisitos: Axiomas métricos, sequências de Cauchy e topologia por uma base.

• Verificar uma métrica de puxar usando as propriedades do seu mapa definidor
• Decidir completude através da imagem de uma isometria
• Determinar o fecho usando cada vizinhança básica em vez da intuição euclidiana

espaço métrico completo: Um espaço métrico no qual toda sequência de Cauchy converge para um ponto desse espaço.

base de vizinhanças: Vizinhanças básicas suficientes para testar propriedades topológicas locais.

Para um mapa injetor h:X→R, d(x,y)=|h(x)−h(y)| é uma métrica: simetria e desigualdade triangular vêm de R, e a injetividade garante que d(x,y)=0 apenas quando x=y. O mapa h é uma isometria sobre sua imagem h(X). Se h não for injetor, esta construção pode ser apenas uma pseudométrica. Distâncias limitadas não provam que um espaço seja completo, e um conjunto familiar de pontos pode ter comportamento de Cauchy muito diferente sob diferentes métricas.

A métrica de puxar é completa exatamente quando a imagem h(X) é completa na distância real ordinária. Um subconjunto fechado de R é completo. Para h(x)=arctan x em R, a imagem é (−π/2,π/2), que omite seus extremos. A sequência n é de Cauchy na métrica de puxar porque arctan n→π/2, mas nenhum x real tem arctan x=π/2, logo a métrica é incompleta. Para h(x)=x³, a imagem é todo R e a métrica de puxar é completa. Equivalência topológica sozinha não preserva completude.

Em uma topologia com base, x pertence ao fecho de A quando toda vizinhança aberta básica de x intersecta A. Este é um teste de pertinência, não automaticamente uma operação de extremo euclidiano. A base deve cobrir o espaço, e para um ponto em duas conjuntos básicos deve haver uma menor vizinhança básica contendo-o dentro de sua interseção. Um ponto pode pertencer ao fecho de um conjunto unitário mesmo quando não é o próprio ponto desse conjunto; essa possibilidade depende da topologia.

Em X={2,3,4,…}, tome conjuntos básicos U_k={n in X: n divides k}, para k≥2. Eles cobrem X pois x∈U_x; interseções são U_gcd(k,l) quando o mdc é pelo menos 2, ou vazias. Um ponto x está no fecho de {n} exatamente quando todo k divisível por x também é divisível por n: equivalentemente, n divide x. Mais diretamente, a menor vizinhança básica U_x contém n precisamente quando n divide x, e toda outra vizinhança contendo x inclui esses divisores. Assim, o fecho de {8} consiste nos múltiplos positivos de 8, não nos divisores de 8.

Sob d(x,y)=|arctan x−arctan y|, a sequência de inteiros tende para um ponto final ausente da imagem em vez de um ponto de ℝ, sendo Cauchy mas sem convergência nesse espaço. Na base de divisores, 16 pertence ao fecho de {8}, pois qualquer conjunto básico contendo 16 também contém 8. Mas 4 não: U_4={2,4} é uma vizinhança de 4 que não contém 8. Isso separa explicitamente múltiplos de divisores.

Um limite de Cauchy deve pertencer ao mesmo espaço. Completude é uma propriedade métrica, não apenas topológica. Para o fecho, teste cada vizinhança do ponto candidato, em vez de cada vizinhança do valor unitário.

Em $\mathbb R$ compare $d_1(x,y)=|x^3-y^3|$ e $d_2(x,y)=|\arctan x-\arctan y|$. Prove que são métricas e decidam a completude.

Solução resolvida

Ambos os mapas definidores são injetores, dando separação positiva; a distância absoluta dá simetria e a desigualdade triangular. Cada mapa é uma isometria sobre sua imagem real. O mapa cúbico tem imagem todo $\mathbb R$, um espaço completo, então d1 é completo. A imagem da tangente inversa é o intervalo aberto $(-\pi/2,\pi/2)$, que é incompleto. A sequência n é d2-de Cauchy porque arctan n tende a pi/2, mas nenhum ponto real tem essa imagem, logo não tem limite d2. Valores de métrica limitados não implicam completude.

Em $X=\{2,3,4,\ldots\}$ use a base dos divisores $U_k=\{n\in X:n\mid k\}$. Encontre o fecho de $\{6\}$ e o interior de $\{6\}$. Verifique as condições da base, incluindo interseções vazias.

Verificar após tentar

Todo x pertence a Ux. Uma interseção é $U_{\gcd(k,l)}$ se o mdc for pelo menos dois, e é vazia para mdc igual a um. Assim, um ponto em uma interseção tem uma vizinhança básica dentro dela. A menor vizinhança básica de x é Ux, contida em toda Uk que contém x. Ela intersecta {6} exatamente quando $6\mid x$. Portanto o fecho é $\{6,12,18,\ldots\}$, os múltiplos de seis. O ponto seis não é interior a seu conjunto unitário porque U6 também contém dois e três. Nenhum outro ponto está naquele conjunto unitário, logo seu interior é vazio. Este cálculo de fecho usa todas as vizinhanças básicas, não a intuição euclidiana.