Para uma quantidade V dependendo de uma profundidade variável h(t), a regra da cadeia fornece dV/dt=V′(h) dh/dt. Um tanque esvaziando tem dh/dt<0, logo a taxa de volume com sinal é negativa; a magnitude do fluxo de saída é o seu negativo. Desenhe a geometria e nomeie a profundidade instantânea antes de substituir os números. Não trate a taxa como um volume estático dividido pelo tempo decorrido, a menos que a situação especifique explicitamente uma taxa média constante.
Um tanque esférico de raio R tem seção transversal de raio quadrado R²−(R−h)²=2Rh−h² na profundidade h a partir do fundo. Integrando essas áreas circulares, obtém-se o volume do cap V(h)=π(Rh²−h³/3), para 0≤h≤2R. Sua derivada π(2Rh−h²) é a área da seção transversal atual. Em R=3, h=1, dh/dt=−1/4, a taxa de volume assinada é −5π/4 e a magnitude do fluxo de saída é 5π/4. A fórmula funciona tanto para caps rasos quanto profundos dentro da faixa especificada.
Se f e g são diferenciáveis continuamente perto de zero, f(0)=g(0)=0 e g′(0)≠0, então f(x)/g(x) tende a f′(0)/g′(0). Isso decorre de f(x)=f′(0)x+o(x) e g(x)=g′(0)x+o(x); a continuidade de g′ mantém o quociente definido próximo, exceto em zero. Preencher esse limite proporciona uma extensão contínua. O argumento não exige que f′(0) seja não nulo, nem prova que o quociente estendido é diferenciável.
Para f(x)=x|x| e g(x)=x, ambos são diferenciáveis continuamente, f(0)=g(0)=0 e g′(0)=1. Seu quociente para x≠0 é |x|, que se estende continuamente em zero, mas possui derivadas laterais desiguais ali. Para (f²−f)/(2g−g³), fatoramos como (f/g)(f−1)/(2−g²); seu limite removível é −f′(0)/(2g′(0)). Fatores adicionais tendem a −1 e 2. Distinga o limite do quociente da derivada de sua extensão.
