C.9 · Fatores integrantes e equações diferenciais não homogêneas

Preparação de graduação para o GRE. Objetivos locais dentro do escopo revisado do ETS; este é ensino original, não um teste oficial ou preditor de nota.

Pré-requisitos: Regra do produto de primeira ordem, exponenciais e equações características.

• Resolver equações lineares de primeira ordem usando um fator integrante
• Construir as partes homogênea e particular de uma solução de coeficientes constantes
• Tratar ressonância e verificar o resultado na equação original

fator integrante: Um multiplicador que transforma uma equação linear de primeira ordem em uma derivada de produto.

solução particular: Uma solução que fornece a forçação não homogênea especificada.

Uma equação linear de primeira ordem tem a forma y′+p(x)y=q(x) em um intervalo onde seus coeficientes são contínuos. Ela não precisa ser separável. Defina μ(x)=exp(∫p(x)dx). Como μ′=pμ, a multiplicação resulta em (μy)′=μq, logo y=μ⁻¹(∫μq dx+C). Escolha qualquer primitiva conveniente para p; sua constante de integração apenas reescala μ e cancela-se na solução. Aplique os dados iniciais após a integração e mantenha quaisquer pontos de coeficiente singular fora do intervalo escolhido.

Para y′+2xy=x com y(0)=1, μ=e^(x²). Então (e^(x²)y)′=x e^(x²), cuja integral é e^(x²)/2+C. Logo, y=1/2+C e^(−x²), e a condição inicial dá C=1/2. A substituição direta verifica y′+2xy=x. O fator integrante torna o lado esquerdo uma derivada de produto; ele não é um fator extra que permanece multiplicando o lado direito original na resposta final.

Para ay″+by′+cy=r(x) com a diferente de zero, resolva a equação característica aλ²+bλ+c=0 para a parte homogênea. Raízes reais distintas fornecem duas exponenciais; uma raiz repetida λ gera (C₁+C₂x)e^(λx); raízes α±iβ resultam em e^(αx)(C₁ cos βx+C₂ sin βx). A solução completa é y_h+y_p. Uma forçação polinomial sugere uma tentativa polinomial particular; uma forçação exponencial ou seno/cosseno sugere a família correspondente, com coeficientes suficientes para cobrir as derivações.

Se uma tentativa particular duplica uma solução homogênea, ela não pode produzir a forçação: multiplique por x uma vez para raiz simples, duas vezes para raiz repetida. Para y″−3y′+2y=e^x, a Ke^x ingênua é aniquilada. Tentar Kxe^x resulta em −Ke^x, logo y_p=−xe^x. As condições iniciais determinam as constantes homogêneas apenas após adicionar y_p. Substitua a função final na equação original para verificar sinais e forçação; uma verificação baseada apenas em valores iniciais não pode confirmar a equação diferencial.

Para y″−3y′+2y=4, as raízes características são 1 e 2. Uma solução particular constante y_p=2 resulta em ⟨2⟩y_p=4, logo y=C₁e^x+C₂e^(2x)+2. Para y′+2xy=x e y(0)=1, a solução separada de primeira ordem é y=(1+e^(−x²))/2. Estes ilustram métodos distintos; nenhuma equação se torna homogênea apenas porque seu lado esquerdo é linear.

Mantenha a solução particular. Uma tentativa ressonante precisa de um fator x. A derivação do fator integrador aplica-se em um intervalo de coeficiente válido e não deve dividir por y nem descartar silenciosamente soluções nulas.

Resolva $y'+2y=e^x$ e $y(0)=1$ usando um fator integrante. Verifique a resposta diretamente.

Solução resolvida

Os coeficientes são contínuos em todo lugar. O fator integrante é $\mu=e^{2x}$. A multiplicação resulta em $(e^{2x}y)'=e^{3x}$. A integração produz $y=e^x/3+Ce^{-2x}$. A condição inicial fornece C=2/3, logo $y=e^x/3+2e^{-2x}/3$. A diferenciação resulta em $y'=e^x/3-4e^{-2x}/3$; somando 2y obtém-se $e^x$, e y(0)=1.

Resolva $y''-2y'+y=e^x$ com $y(0)=0,y'(0)=0$. Explique por que nem $Ke^x$ nem $Kxe^x$ constituem tentativas particulares suficientes.

Verificar após tentar

A raiz homogênea é 1 com multiplicidade dois, logo $y_h=(C_1+C_2x)e^x$. Ambas as tentativas sugeridas já pertencem a esse espaço homogêneo e são aniquiladas. Use $y=e^xv$; então $y''-2y'+y=e^xv''$. Portanto $v''=1$ e $v=x^2/2+C_2x+C_1$. As duas condições iniciais fornecem $C_1=C_2=0$, logo $y=x^2e^x/2$. Essa substituição também verifica a forçação sem depender apenas dos valores iniciais.