Q.G-geometry · Geometry: labelled facts, coordinates, circles and solids

Prática original de sala de aula dentro dos tipos de tarefa de teste mais curtos revisados. Isso não simula um teste adaptativo nem prediz uma pontuação escalonada ou de escrita.

• Use as relações dadas em vez da escala aparente do diagrama
• Conecte distâncias coordenadas, inclinações e propriedades geométricas
• Distingua fatores de escala linear, de área e de volume

setor: Região circular delimitada por dois raios e pelo arco compreendido entre eles.

fator de escala: Multiplicador que relaciona comprimentos correspondentes de figuras semelhantes.

Extraia os fatos que um diagrama fornece: comprimentos, marcas de ângulo reto, linhas paralelas, raios de círculos e propriedades de forma declaradas. Evite medir na tela. Somas de ângulos e semelhança fornecem relações quando suas condições são atendidas. Raciocínio pitagórico exige um triângulo retângulo; não se aplica a todo triângulo desenhado.

Para duas coordenadas, use ponto médio ((x₁+x₂)/2,(y₁+y₂)/2) e distância √((x₂−x₁)²+(y₂−y₁)²). Inclinação é Δy/Δx quando Δx≠0. Uma linha vertical não tem inclinação finita. Combine fatos coordenados e de forma quando útil; linhas perpendiculares não verticais têm inclinações cujo produto é −1.

Um círculo tem circunferência 2πr e área πr². Um arco ou setor usa sua fração de uma volta completa. Sólidos retangulares usam volume lwh; cilindros usam πr²h. Área superficial conta faces expostas ou superfícies, não o volume envolvido. Anexe unidades para que uma resposta de área não seja confundida com comprimento ou volume.

Para figuras semelhantes com fator linear k, as áreas correspondentes multiplicam-se por k² e os volumes por k³. Se uma questão fornecer apenas uma razão de áreas, tire a raiz quadrada para recuperar a razão de comprimentos; não copie a razão de áreas diretamente. Geometria de teste geral usa relações elementares, sem trigonometria ou cálculo necessário para as tarefas desta aula.

Pontos A(−1,2) e B(5,10) têm Δx=6, Δy=8. Distância d=√(6²+8²)=10 e ponto médio M=((−1+5)/2,(2+10)/2)=(2,6). Para um círculo de raio 6, um setor de 60° corresponde a 1/6 do círculo completo: área=(60/360)π6²=6π; comprimento do arco=(60/360)2π6=2π. Ampliar todos os comprimentos por 3 multiplica a área por 9 e o volume por 27, não por 3.

*Escala de área 9 significa escala de comprimento 3: o retângulo de 6 por 8 torna-se de 18 por 24

Use fatos rotulados, inclua π ou unidades obrigatórias e distingua perímetro de área ou setor de seu arco.

Os pontos A=(-1,2) e B=(5,10) são dados. Encontre a distância e o ponto médio entre eles. Um cilindro circular reto tem raio 3 cm e altura 4 cm. Encontre seu volume e área total, incluindo ambas as bases.

Modelo e raciocínio

As diferenças de coordenadas são seis e oito. A distância é $\sqrt{6^2+8^2}=10$ e o ponto médio $(({-1}+5)/2,(2+10)/2)=(2,6)$. O volume do cilindro é $V=\pi r^2h=\pi(3\ \mathrm{cm})^2(4\ \mathrm{cm})=36\pi\ \mathrm{cm^3}$. A área total é $S=2\pi r^2+2\pi rh=2\pi(3\ \mathrm{cm})^2+2\pi(3\ \mathrm{cm})(4\ \mathrm{cm})=42\pi\ \mathrm{cm^2}$. Volume e área medem grandezas diferentes.

Um retângulo tem diagonal 10 cm e um lado 6 cm. Um retângulo semelhante tem área nove vezes maior. Encontre seu perímetro. Explique quais fatos rotulados permitem usar Pitágoras e se o mesmo cálculo seria válido para um quadrilátero arbitrário.

Verificar após tentar

Os lados adjacentes de um retângulo são perpendiculares. Sua diagonal forma um triângulo retângulo, logo o outro lado é $b=\sqrt{d^2-a^2}=\sqrt{(10\ \mathrm{cm})^2-(6\ \mathrm{cm})^2}=8\ \mathrm{cm}$. Uma escala de área nove significa uma escala linear de três. Os novos lados são 18 e 24 cm, resultando em perímetro $P=2(a+b)=2(18+24)\ \mathrm{cm}=84\ \mathrm{cm}$. Um quadrilátero arbitrário não precisa ter um ângulo reto, então apenas seu desenho não justificaria a equação.