Geometria e medidas

Matemática AQA GCSE 8300 tópico 3.4 (especificação Versão 1.0, 12 setembro 2014, primeiros exames 2017). Linhas de Nível Básico G1–G25 ocorrem em três níveis; os acréscimos exclusivos de Nível Superior incluem fatores de escala de ampliação negativa (G7), descrição de mudança e invariância sob combinações de transformações (G8), provando os teoremas do círculo padrão (G10), construção de plantas e alçados (G13), área de superfície e volume de esferas, pirâmides, cones e sólidos compostos, incluindo troncos (G17), o escada de semelhança $k : k^2 : k^3$ (G19), triângulos retângulos e gerais em 3D (G20), as leis do seno e cosseno (G22), $\tfrac12 ab\sin C$ (G23) e vetores geométricos provas (G25). O conjunto Higher de Junho 2024 fornece âncoras verificadas abaixo.

Essencial para o tema 3.4:

Use termos e notações convencionais — pontos, retas, vértices, arestas, planos, linhas paralelas, linhas perpendiculares, ângulos retos, polígonos, polígono regular (todos lados e todos os ângulos iguais) e polígonos com simetrias de reflexão e/ou rotação (G1); label sides and angles of triangles in the standard way ($AB$ a side, angle $ABC$ no vértice $B$) e desenhe diagramas a partir de descrições escritas. Ângulos correspondentes e ângulos alternos exigem que as linhas paralelas sejam explicitadas, nunca "ângulos em Z" (G3): ângulos em um ponto somam $360^\circ$, numa reta $180^\circ$, ângulos verticalmente opostos são igual; derive a soma dos ângulos do triângulo $180^\circ$ (uma linha por um vértice paralela à base oposta transfere os dois ângulos da base para uma reta) e, consequentemente, o soma dos ângulos internos do polígono $(n-2) \times 180^\circ$ — um pentágono divide-se em três triângulos: $540^\circ$; um hexágono regular tem ângulos internos de $120^\circ$ e giros externos de $60^\circ$; um giro externo de $45^\circ$ significa 8 lados.

Derive e aplique as propriedades e definições dos quadriláteros especiais (G4): um quadrado tem 4 lados iguais, 4 ângulos retos, 4 eixo de simetria e ordem de rotação 4; um retângulo não quadrado tem lados opostos iguais e diagonais bissectrizes iguais; um losango tem 4 lados iguais e diagonais perpendiculares bissectrizes; um paralelogramo tem lados opostos iguais (uma diagonal o divide em triângulos congruentes por LAL); um losangóide tem dois pares de lados adjacentes iguais; um trapézio tem um par de lados paralelos lados. Triângulos: isósceles (dois lados iguais, ângulos da base iguais), equilátero, escaleno, retângulo, acutângulo, obtusângulo.

Use as construções padrão de régua e compasso construções (fundamento adicional, G2): o bissetriz perpendicular de um segmento (arcos iguais a partir de ambas as extremidades, raio maior que metade do segmento), a perpendicular a uma reta por ou num ponto dado, e a bissetriz de um ângulo dado; construa um ângulo de $60^\circ$ com dois raios iguais, círculos (um triângulo equilátero). Use-os para construir as figuras dadas e resolver lugar geométrico problemas — pontos equidistantes de dois pontos estão sobre a perpendicular bissetriz; a distância fixa $r$ de um ponto, em um círculo; equidistantes de duas linhas, na bissetriz do ângulo. A distância perpendicular de um ponto a uma linha é a mais curta (qualquer trajeto oblíquo é uma hipotenusa maior). Mantenha os arcos de construção como evidência.

Identifique, descreva e construa formas congruentes e semelhantes por rotação, reflexão, translação e ampliação (G7), incluindo em eixos coordenados; fundamento adicional adiciona fatores de escala fracionários; Superior adiciona negativos. Para centro $C = (1,1)$, ponto $P = (3,2)$ e fator $k$, a imagem é $C + k(P - C)$: $k = 2$ resulta em $(5,3)$, $k = \tfrac12$ resulta em $(2, 1.5)$, e o Superior $k = -2$ dá $(-3,-1)$, do lado oposto ao centro. Superior (G8) descreve as alterações e propriedades invariantes obtidas por combinações de rotações, reflexões e translações: comprimentos e ângulos são preservados (isometrias); duas reflexões em linhas paralelas $x = 0$ depois $x = 2$ enviam $(3,2)$ para $(-3,2)$ depois $(7,2)$ — uma translação por $(4,0)$; em linhas concorrentes elas produzem uma rotação pelo dobro do ângulo orientado entre os espelhos. Translações são escritas com notação de vetor coluna.

Aplique os critérios básicos de congruência para triângulos — LLL, ALA, LAL, RHL (G5) — correspondendo vértices em ordem; AAA indica semelhança, não congruência, e LAL não é um critério.

Exemplo resolvido: 2H Junho 2024 Q12, adaptado. Dois triângulos compartilham três lados iguais Utilize fatos angulares, congruência de triângulos, semelhança e propriedades de quadriláteros para

formular hipóteses e deduzir resultados, incluindo o teorema de Pitágoras e a igualdade dos ângulos da base de um triângulo isósceles, e use resultados conhecidos para obter provas simples os ângulos da base de um triângulo isósceles, e use resultados conhecidos para obter triângulos os triângulos 6 e $ABC$ concordam em $AB = AC$, $D$ e lado comum $BC$, logo LLL triângulos $ABD$ e $ACD$ concordam em $AB = AC$, $BD = DC$ e $AD$ compartilhado, logo SSS iguais e somam-se a $ABC = BCA$, portanto cada um mede $D$. O teorema de Pitágoras decorre de quatro iguais e somam $180^\circ$, portanto cada um é $90^\circ$. Pitágoras decorre de quatro triângulos retângulos congruentes ao redor de um quadrado incluído dentro de um quadrado de lado $a + b$: $(a+b)^2 = 4 \cdot \tfrac{ab}2 + c^2$, logo $a^2 + b^2 = c^2$.

Identifique e aplique definições e propriedades de círculos (G9): centro, raio, corda, diâmetro ($d = 2r$), circunferência, com base adicional tangente adicionada, arco, setor e segmento — um setor é limitado por dois raios e um arco; um segmento está entre uma corda e um arco. A perpendicular do centro a uma corda que a bisseca: uma corda 3 cm do centro de um círculo de raio-5 tem comprimento $2\sqrt{5^2 - 3^2} = 8$ cm.

Exemplo resolvido: 2H Junho 2024 Q1, adaptado. Nomeie cada região sombreada a partir de: arco, corda, setor, segmento, tangente — a fatia fina entre uma corda e o arco é o segmento; a fatia de torta entre dois raios e seu arco é o setor.

Superior (G10) aplica e PROVA os teoremas padrão do círculo: o ângulo no centro é o dobro do ângulo na circunferência sobre o mesmo arco (prova com dois triângulos isósceles triângulos sobre raios iguais: $\angle AOB = 360^\circ - (180^\circ - 2\alpha) - (180^\circ - 2\beta) = 2(\alpha + \beta)$); o ângulo em um semicírculo é $90^\circ$; ângulos no mesmo segmento são iguais; ângulos opostos de um quadrilátero cíclico somam $180^\circ$; a tangente em qualquer ponto é perpendicular ao raio ali; tangentes de um ponto externo são iguais (RHS nos dois triângulos de contato); a perpendicular do centro a uma corda o bisseca; e o teorema do segmento alternado — o ângulo tangente-corda é igual ao ângulo no segmento oposto (um ângulo tangente-corda de $35^\circ$ resulta em $35^\circ$ naquele segmento).

Exemplo resolvido: 1H Junho 2024 Q22, adaptado. Duas tangentes partindo de $P$ tocam um círculo em $A$ e $B$; ângulo $APB = 24^\circ$. Desenhe $AO$ e $BO$: o quadrilátero $OAPB$ tem dois ângulos de contato $90^\circ$, então o ângulo no centro é $\angle AOB = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 24^\circ = 156^\circ$ (obtuso, não reflexo). O ângulo na circunferência no mesmo arco é metade dele: $x = \tfrac{156^\circ}{2} = 78^\circ$ (o gabarito $2x = 156^\circ$).

*O ângulo no centro, 100°, é o dobro do ângulo na circunferência, 50°

Use unidades padrão de medida e conceitos relacionados (G14). Identifique as faces, superfícies, arestas e vértices de cubos, paralelepípedos, prismas, cilindros, pirâmides, cones e esferas (G12); interprete — e construa no Nível Superior — plantas e elevações de formas 3D (G13): para um paralelepípedo $4 \times 3 \times 2$, a planta é $4 \times 3$, a elevação frontal elevada $4 \times 2$, a elevação lateral $3 \times 2$. Meça segmentos de reta e ângulos em figuras geométricas, incluindo interpretação de mapas e desenhos em escala e uso de rumo (G15): rumos de três algarismos medidos no sentido horário a partir do norte — leste $090^\circ$, e o inverso de $070^\circ$ é $070^\circ + 180^\circ = 250^\circ$; on a 1 : 10000 map, 3 cm represents 300 m.

Conhecer e aplicar as fórmulas de área para triângulos ($\tfrac12 b \times$ altura perpendicular), paralelogramos e trapézios, e volume de paralelepípedos retangulares e outros prismas retos incluindo cilindros (G16): um trapézio com lados paralelos 6 e 10 e altura 4 tem área $\tfrac12(6+10) \times 4 = 32$ cm²; um prisma triangular com área da base 12 cm² and length 10 cm has volume 120 cm³. Know the circle formulae (G17): $C = 2\pi r = \pi d$, $A = \pi r^2$; um círculo de raio-4 tem circunferência $8\pi$ e área $16\pi$; o semicírculo sobre ele tem área $8\pi$ e perímetro $4\pi + 8$; um anel circular com raios 5 e 3 tem área $\pi(25 - 9) = 16\pi$. Adicional fundamental: área de superfície e volume de esferas, pirâmides, cones e sólidos compostos, incl. tronco — um cone com $r = 3$, $h = 4$ tem geratriz 5, volume $12\pi$, curved area $15\pi$ and total $24\pi$; a sphere with $r = 3$ has volume $36\pi$ e área de superfície $36\pi$; um tronco de um cone-$6,8$ (geratriz 10) menos um cone semelhante-$3,4$ (geratriz 5) tem volume $96\pi - 12\pi = 84\pi$. Soluções em termos de $\pi$ podem ser solicitadas.

Calcular comprimentos de arco, ângulos e áreas de setores (G18, fundamental adicional): em $r = 6$ e $\theta = 120^\circ$ a fração é $\tfrac13$, logo o arco é $4\pi$ e a área do setor é $12\pi$; um setor de raio 6 e área $9\pi$ tem fração $\tfrac14$, logo $\theta = 90^\circ$.

Exemplo resolvido: 1H Junho 2024 Q12, adaptado. Um setor de raio 12 cm tem ângulo $60^\circ$: arco $= \tfrac{60}{360} \times 2 \times 12 \times \pi = 4\pi$ cm — mostre a quantidade do círculo completo e a fração antes de multiplicar.

Aplique congruência e semelhança, incluindo as relações entre comprimentos, áreas e volumes em figuras semelhantes (G19; Superior): a $k : k^2 : k^3$ escada com fator de escala $k$.

Exemplo resolvido: 2H Junho 2024 Q25, adaptado. Um prisma triangular retângulo tem razão de arestas $a : b : c : d = 3 : 4 : 5 : 12$ e volume 1125 cm³. Escreva as arestas como $3k, 4k, 5k, 12k$: volume $= \tfrac12(3k)(4k)(12k) = 72k^3 = 1125$, então $k^3 = 15.625$ e $k = 2.5$. Comprimento total das arestas $= 2(3+4+5)k + 3 \times 12k = 60k = 150$ cm (duas de cada aresta da seção transversal, três arestas de comprimento).

*Tromba = cone inteiro − cone pequeno; o cone pequeno tem metade da altura, portanto ⅛ do volume

Conheça o teorema de Pitágoras $a^2 + b^2 = c^2$ e as razões trigonométricas (G20) — $\sin\theta = \tfrac{\text{opposite}}{\textbf{hypotenuse}}$, $\cos\theta = \tfrac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}$, $\tan\theta = \tfrac{\text{opposite}}{\text{adjacent}}$ — and apply them to find ângulos e comprimentos em triângulos retângulos em figuras 2D; Nível Superior aplica-os (e, quando possível, regras de triângulos gerais) em figuras 2D E 3D. Uma escada 3-4-5 apoiada 3 m afastada da parede atinge $c = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ m de altura. Em 3D, isole o triângulo retângulo: um paralelepípedo retângulo $3 \times 4 \times 12$ tem diagonal da base $\sqrt{9+16} = 5$, diagonal espacial $\sqrt{25 + 144} = 13$, e a diagonal espacial encontra a base em $\tan\alpha = \tfrac{12}{5}$, logo $\alpha \approx 67.4^\circ$.

Exemplo resolvido: 2H Junho 2024 Q18, adaptado. Em um triângulo retângulo, o hipotenusa é 23.7 e $x$ é o lado adjacente ao ângulo assinalado $52^\circ$: $\cos 52^\circ = \tfrac{x}{23.7}$ (rearranjo da regra dos senos $\tfrac{x}{\sin 38^\circ} = \tfrac{23.7}{\sin 90^\circ}$ também funciona), portanto $x = 23.7 \cos 52^\circ = 14.6$ (1 casas decimais).

Conheça o valor exato de $\sin\theta$ e $\cos\theta$ para $\theta = 0^\circ, 30^\circ, 45^\circ, 60^\circ, 90^\circ$ e o valor exato de $\tan\theta$ para $0^\circ, 30^\circ, 45^\circ, 60^\circ$ (G21, fundação adicional) — derivá-los do triângulo equilátero bissectado ($1, \sqrt3, 2$) e do triângulo retângulo isósceles ($1, 1, \sqrt2$): $\sin 30^\circ = \tfrac12$, $\cos 30^\circ = \tfrac{\sqrt3}{2}$, $\tan 30^\circ = \tfrac1{\sqrt3}$, $\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \tfrac{\sqrt2}{2}$, $\tan 60^\circ = \sqrt3$; $\tan 90^\circ$ é indefinido.

Exemplo resolvido: 1H Junho 2024 Q25, adaptado. Mostre que $6\sin 30^\circ + 2\cos 30^\circ \times 4\tan 30^\circ$ é um número inteiro: $6 \times \tfrac12 + \sqrt3 \times \tfrac4{\sqrt3} = 3 + 4 = 7$ — os radicais cancelam-se antes de qualquer arredondamento.

Nível Superior conhece e aplica a lei dos senos $\tfrac{a}{\sin A} = \tfrac{b}{\sin B} = \tfrac{c}{\sin C}$ and the cosine rule $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$ (G22), e a fórmula da área $A = \tfrac12 ab\sin C$ com o ângulo incluído entre $a$ e $b$ (G23). Lados 6 e 8 envolvendo $60^\circ$ resultam em $c^2 = 36 + 64 - 96 \times \tfrac12 = 52$ so $c = 2\sqrt{13}$, and area $\tfrac12 \times 6 \times 8 \times \tfrac{\sqrt3}{2} = 12\sqrt3$. Sine rule: with $a = 4$ opposite $A = 30^\circ$ e $B = 45^\circ$, $b = \tfrac{4\sin 45^\circ}{\sin 30^\circ} = 4\sqrt2$. Um arcosseno pode fornecer um ângulo agudo e um suplemento obtuso — verifique a soma dos ângulos antes de escolher. soma antes de escolher.

Exemplo resolvido: Nível Superior. $a = 7$, $b = 10$, $A = 40^\circ$: $\sin B = \tfrac{10 \sin 40^\circ}{7} = 0.918$, logo $B = 66.7^\circ$ OU $113.3^\circ$ — a calculadora mostra apenas o agudo. Ambos mantêm a soma dos ângulos legal ($C = 73.3^\circ$ ou $26.7^\circ$), logo DOIS triângulos se encaixam nos dados e o resposta ambígua deve ser fornecida. A ambiguidade só ocorre quando o lado oposto dado é o mais CURTO ($a < b$) e $A$ é agudo — um lado maior está voltado para um ângulo maior, logo $a \geq b$ força $B \leq A$ e elimina o suplementar; um esboço de dez segundos resolve isso antes de qualquer cálculo. esboço resolve isso antes de qualquer cálculo.

Describe translations as 2D vectors (G24) — column notation, the top entry horizontal. Aplique adição e subtração de vetores, multiplicação por um escalar, and diagrammatic and column representations (G25): with $\mathbf a = (4,1)$ and $\mathbf b = (1,3)$, $\mathbf a + \mathbf b = (5,4)$ and $2\mathbf a - \mathbf b = (7, -1)$; from $A = (1,2)$ to $B = (5,5)$, $\overrightarrow{AB} = (4,3)$ com length 5. Higher uses vectors to construct geometric arguments and proofs: a scalar multiple $\overrightarrow{MN} = \tfrac12\overrightarrow{AB}$ proves $MN$ paralelo a $AB$ e metade de seu comprimento (vetores posição médios dos pontos médios); colineares pontos precisam de uma relação de múltiplo escalar E um ponto em comum.

Exemplo resolvido: 2H Junho 2024 Q23, adaptado. Com $\overrightarrow{CD} = 6\mathbf a + \mathbf b$, $\overrightarrow{CE} = 14\mathbf a - 3\mathbf b$ e $\overrightarrow{CF} = 16\mathbf a - 4\mathbf b$: o deslocamento $\overrightarrow{DE} = (14\mathbf a - 3\mathbf b) - (6\mathbf a + \mathbf b) = 8\mathbf a - 4\mathbf b$, enquanto $\overrightarrow{EF} = (16\mathbf a - 4\mathbf b) - (14\mathbf a - 3\mathbf b) = 2\mathbf a - \mathbf b$. Portanto $\overrightarrow{DE} = 4\,\overrightarrow{EF}$ — paralelo com um ponto comum $E$, então $DEF$ é uma linha reta.

Resolva problemas geométricos em eixos coordenados (G11): comprimentos horizontal/vertical subtraindo coordenadas, diagonais pelo teorema de Pitágoras, pontos médios pela média — $A(1,2)$, $B(5,2)$, $C(5,5)$, $D(1,5)$ tem $AB = 4$, $BC = 3$, diagonal $AC = 5$ e diagonais que se encontram no ponto médio comum $(3, 3.5)$: um retângulo.

• Termos e notações convencionais; rotulagem de triângulos; diagramas a partir de descrições escritas (G1).
• Construções com régua e compasso, incluindo $60^\circ$; problemas de lugar geométrico; menor distância (G2).
• Fatos angulares em um ponto/reta/opostos pelo vértice; alternos e correspondentes com justificativas; somas de polígonos derivadas (G3).
• Propriedades de quadriláteros e triângulos derivadas e aplicadas (G4); critérios de congruência LLL LAL ALA RHA (G5; Q12 âncora); cadeias de conjectura-derivar-provar, incluindo Pitágoras e ângulos da base isósceles (G6).
• Transformações, incluindo fatores de escala fracionários e negativos; mudança e invariância sob combinações (G7–G8).
• Partes do círculo nomeadas (G9; ancoragem Q1); teoremas do círculo aplicados E provados no Nível Superior (G10; ancoragem Q22).
• Geometria em eixos coordenados (G11); faces/arestas/vértices de sólidos (G12); plantas e elevações (G13); unidades (G14); mapas, desenhos em escala e rumos (G15).
• Areas and prism/cylinder volumes (G16); circle measures, spheres, cones, pyramids and frustums, exact $\pi$ answers (G17); arcs and sectors (G18; Q12 anchor); the $k : k^2 : k^3$ ladder (G19; Q25 anchor).
• Regra do seno com o caso ambíguo: ambos os ângulos quando o lado oposto é o menor; faça um esboço primeiro (G22, H).
• Pitágoras e razões trigonométricas em 2D e 3D (G20; âncora Q18); valores trigonométricos exatos (G21; âncora Q25); leis do seno e cosseno (G22); $\tfrac12 ab \sin C$ (G23).
• Traduções como vetores; aritmética vetorial; provas geométricas, incluindo colinearidade (G24–G25; ancoragem Q23).

Notas de fronteira: a Folha de Fórmulas anexa contém a área do trapézio, volume de prisma, circunferência/área do círculo, Pitágoras, as três razões trigonométricas, as regras do leis do cosseno e $\tfrac12 ab\sin C$ — ela NÃO carrega fórmulas de arco/setor, volumes de cone/pirâmide/esfera, valores trigonométricos exatos ou teoremas do círculo; esses devem ser conhecidos. As justificativas angulares devem citar o teorema, nunca formas por letras. Exemplos resolvidos são adaptadas das provas de June Higher 2024 (veja as evidências de avaliação no meta) ou originais.