Razão, proporção e taxas de variação

Matemática AQA GCSE 8300 tópico 3.3 (Especificação Versão 1.0, 12 setembro 2014, primeiros exames 2017). Linhas Fundamentais R1–R16 estão em três níveis; o apenas Superior Superior incluem unidades compostas (densidade, pressão) em contextos numéricos E algébricos (R1), working with percentages above 100% and original-value problems (R9), $k : k^2 : razões de semelhança k^3$ (R12), construção de equações para proporção direta e inversa (R13), taxa instantânea de variação como gradiente de uma tangente (R15), e processos iterativos gerais além de juros compostos (R16). O conjunto de Junho 2024 Superior fornece âncoras verificadas abaixo.

Essencial para o tópico 3.3:

Alterne livremente entre unidades padrão relacionadas (tempo, comprimento, área, volume/capacidade, massa) e unidades compostas (velocidade, taxas de pagamento, preços) em contextos numéricos; fundamento adicional adiciona densidade e pressão, e o Superior as trabalha em contextos numéricos E algébricos — um cilindro de volume $V = 2x^3$ e massa $m = 5x^2$ tem densidade $\tfrac{5x^2}{2x^3} = \tfrac{5}{2x}$.

A notação de razão reduz-se à forma mais simples ($45 : 60 = 3 : 4$); expresse uma quantidade como a fraction of another (fraction above or below 1); divide a quantity in a part : part ou razão parte : todo — £350 em $2 : 5$ resulta em £100 e £250. Expresse uma relação multiplicativa como razão ou fração (R6); proporção como igualdade de razões (R7); relacione razões com frações e funções LINEARES (R8: o método unitário e $y = kx$ são a mesma escada). Aplique a razão a contextos reais — conversão, comparação, escalonamento, mesma escada). Aplique a razão a contextos reais — conversão, comparação, escala, mistura, concentrações, problemas de melhor valor/melhor compra (R5): compare preços unitários antes de decidir.

Exemplo resolvido. Melhor compra: um saco de 2.5 kg custa £6.40 (preço unitário £6.40 ÷ 2.5 = £2.56/kg) contra uma caixa de 400 g a £1.12 (£1.12 ÷ 0.4 = £2.80/kg) — o saco maior oferece melhor custo-benefício, e a comparação só funciona se AMBOS estiverem por quilograma. Indique os preços unitários: o examinador quer ver a divisão, não apenas a escolha.

Percentagem é partes por cento; interprete percentagens e variações percentuais como frações/decimais e MULTIPLICATIVAMENTE (R9). Fundamento adicional: expresse uma quantidade como percentagem de outra, compare duas quantidades, trabalhe acima de 100%, aumento/diminuição percentual, problemas de valor original e juros simples. A fator multiplicativo disciplina: +12% equivale a ×1.12; −17% equivale a ×0.83; o valor original divide o final pelo fator multiplicativo.

Exemplo resolvido: 2H Junho 2024 Q2, adaptado. A população de uma cidade caiu 12% para 2200. Original $= 2200 \div 0.88 = 2500$. O próprio multiplicador de verificação das MS: $2{,}200{,}000 \div 0.88 = 2.5 \times 10^6$ em forma padrão — mesma divisão, números escalonados.

Resolva problemas de proporção direta e inversa com representações gráficas e ALGÉBRICAS (R10). Nível superior interpreta e CONSTRÓI equações que descrevem proporção (R13): $X \propto Y$ significa $X = kY$; $X$ é inversamente proporcional a $Y$ significa $X = k/Y$. Se $y \propto x^3$ com $y = 24$ vale $x = 2$, então a constante de proporcionalidade é $k = 3$; se $p \propto \tfrac1{x^2}$ com $p = 8$ vale $x = 2$, então $k = 32$ e $p = \tfrac{32}{x^2}$. Reconheça e interprete os gráficos: proporção direta é uma linha reta pela origem (potências superiores curvam-se para cima); proporção inversa é uma curva em formato recíproco (R14 relaciona a inclinação de uma reta à taxa de variação).

Use unidades compostas — velocidade, taxas de pagamento, preço unitário (Nível Fundamental adicional); densidade e pressão (R11), incluindo comparações. Uma jornada de 234 km em 2 h 36 min médias de $234 \div 2.6 = 90$ km/h; £9.20/h por 7.5 h paga £69; comparações de melhor compra divida o preço pela quantidade e compare similar com similar.

Use fatores de escala, diagramas de escala e mapas (R2, incl. problemas geométricos). Compare comprimentos, áreas e volumes usando notação de razão e fatores de escala (R12): comprimentos $k$ : fatores de escala de área $k^2$ : volumes $k^3$, com conexões à semelhança incluindo razões trigonométricas; Nível Superior estende-se para a escada do $k : k^2 : k^3$ em problemas — estátuas semelhantes de alturas $3 : 5$ têm volumes na razão $27 : 125$, então uma estátua de 216 cm³ menor escala para $216 \times \tfrac{125}{27} = 1000$ cm³.

Interprete a inclinação de um gráfico de linha reta como taxa de variação (R14) — em um gráfico distância-tempo é velocidade; em um gráfico velocidade-tempo a inclinação é aceleração e a ÁREA é distância. Nível Superior (R15) lê a inclinação em um ponto na CURVA como taxa de variação instantânea: trace a tangente e utilize sua declividade como elevação/avanço — e aplica taxas médias (corda) e instantâneas (tangente) em contextos numéricos, algébricos e gráficos.

Monte, resolva e INTERPRETE problemas de crescimento e decaimento, incluindo juros compostos (R16): $A = P\left(1 \pm \tfrac r{100}\right)^n$. £2000 a 3% de juros compostos por 4 anos cresce para $2000 \times 1.03^4 = £2251.02$; um carro avaliado em £12000 que perde 15%/ano decai para $12000 \times 0.85^3 = £7369.50$.

Exemplo resolvido: 2H Junho 2024 Q10, adaptado. Uma casa valendo £90000 sobe 3% depois 8%: $90000 \times 1.03 \times 1.08 = £100116$ — acima de £100000, então sim. O MS's rota do multiplicador: $1.03 \times 1.08 = 1.1124 > 1.111\ldots = 100000/90000$. Maior adiciona processos iterativos gerais: $x_{n+1} = f(x_n)$ ciclos para repetições porcentagens — uma quantidade que ganha 5% em cada ciclo itera $x_{n+1} = 1.05x_n$, e o limite (se houver) resolve $x = f(x)$. Interprete as respostas no contexto: arredonde razoavelmente e indique a unidade.

• Conversões de unidades e unidades compostas, incluindo densidade e pressão, de forma algébrica em Nível Superior (R1, R11).
• Fatores de escala, diagramas e mapas (R2); quantidades como frações; notação de razão, repartição, problemas de contexto real e melhor compra (R3–R5).
• Relações multiplicativas como razão/fração; proporcionalidade como igualdade de razões; razões para frações e funções lineares (R6–R8).
• Multiplicadores percentuais, incluindo acima de 100%, variação, valor original e juros simples (R9; âncora Q2).
• Proporcionalidade direta e inversa graficamente e algebricamente; interpretar e construir equações de proporcionalidade (R10, R13).
• Gradientes como taxas de variação; corda (taxa média) e tangente (taxa instantânea) (R14–R15).
• Razões de comprimento : área : volume $k : k^2 : k^3$ com vínculos de semelhança (R12).
• Crescimento e declínio, incluindo juros compostos; processos iterativos gerais com interpretação (R16; âncora Q10).

Notas de fronteira: a Folha de Fórmulas não fornece nada sobre este tópico; comparações de melhor compra devem mostrar preços unitários; processos iterativos de Nível Superior incluem verificações de convergência. Exemplos resolvidos são adaptados das provas de Nível Superior de junho 2024 (consulte as evidências de avaliação do meta) ou são originais.