Estatística

Matemática AQA GCSE 8300 tópico 3.6 (especificação Versão 1.0, 12 setembro 2014, primeiros exames 2017). Linhas S1–S6 dividem-se em três níveis; as linhas adicionais de fundamentação inferem propriedades populacionais a partir de uma amostra enquanto conhecendo as limitações da amostragem (S1) e tabelas e gráficos de linha para dados dados de série temporal (S2); a linha exclusiva do Nível Superior são histogramas com intervalos IGUAIS e DESIGUAIS classes e gráficos de frequência acumulada (S3), com box plots, quartis e amplitude interquartil como adição Superior à S4. O conjunto de Junho 2024 Superior fornece âncoras verificadas abaixo.

Fundamental para o tópico 3.6:

Inferir propriedades de populações ou distribuições a partir de uma amostra, sabendo as limitações da amostragem (S1, fundamental adicional): uma amostra é um subconjunto; um censo cobre toda a população; a seleção aleatória reduz viés de seleção, mas censo cobre toda a população; seleção aleatória reduz viés de seleção mas nunca elimina variabilidade amostral ou não-resposta. De uma amostra aleatória de 80 24 sugere sobre $\tfrac{24}{80} = 0.3$ pedestres — uma estimativa, não uma contagem. Uma amostra de conveniência de um clube esportivo superrepresenta estudantes ativos; uma amostra voluntária online 600 sugere cerca de 180 pedestres — uma estimativa, não uma contagem. Uma amostra de conveniência de um clube esportivo superrepresenta estudantes ativos; uma pesquisa online voluntária a amostra ignora não respondentes, independentemente do número de respostas recebidas. Aplique estatística para descrever uma população (S5): indique o que a amostra sustenta e o que pode tornar extrapolação é confiável. Conheça os termos dados primários, dados secundários, discreto dados e dados contínuos (número de irmãos é discreto; tempo de viagem é contínuo mesmo quando registrado em minutos inteiros).

Interprete e construa tabelas, gráficos e diagramas (S2): tabelas de frequência, gráficos de barras, gráficos de pizza e pictogramas para dados categóricos, linha vertical para dados numéricos discretos não agrupados — e, no nível fundamental adicional, tabelas e gráficos de linhas para dados de séries temporais — conhecendo seu uso adequado, incluindo a escolha de diagramas estatísticos apropriados. O ângulo de um setor de gráfico de pizza é $\tfrac fn \times 360^\circ$: de 40 alunos com 10 andando a pé, 15 de ônibus e 15 de bicicleta, os ângulos são $90^\circ$, $135^\circ$, $135^\circ$. Séries temporais organize os pontos e ligue-os de um a outro; um gráfico de dispersão nunca é ligado ordem das observações.

Exemplo resolvido: 3H Junho 2024 Q8, adaptado. Uma tabela de seis valores tem média $(8 + 9 + 9 + 6 + 9 + 10) \div 6 = 8.5$; um setor de gráfico de pizza de 162° representa $\tfrac{162}{360} \times 100 = 45\%$. Uma questão combinando "quatro vezes a média" com a porcentagem resulta em: $4 \times 8.5 + 45 = 34 + 45 = 79$.

Superior (S3): construir e interpretar diagramas para discretos agrupados e contínuos — histogramas com intervalos de classe iguais e desiguais e gráficos de frequência acumulada. A ÁREA do histograma é a frequência, logo a altura (densidade) é frequência ÷ largura da classe: classes $0 \le x < 10$, $10 \le x < 20$, $20 \le x < 40$ com frequências 20, 30, 20 têm densidades 2, 3, 1 — a última barra larga é a mais curta, mas ainda contém 20. Um gráfico de frequência acumulada plota cada limite superior de classe contra o total acumulado, começando em zero: para essas classes os pontos são $(0,0)$, $(10,20)$, $(20,50)$, $(40,70)$; a mediana lê-se em 35, resultando em $10 + \tfrac{35-20}{30} \times 10 = 15$. Valores dentro das classes são estimativas por interpolação.

Exemplo resolvido: Nível superior. Do mesmo gráfico ($n = 70$): $Q_1$ lê-se em $17.5$ — $10 \times \tfrac{17.5}{20} = 8.75$; $Q_3$ lê-se em $52.5$ — $20 + \tfrac{52.5-50}{20} × 20 = 22.5$; so $IQR = 22.5 - 8.75 = 13.75$. 'Quantos acima de 25?' lê-se em 25: $50 + \tfrac{5}{20} \times 20 = 55$, logo $70 - 55 = 15$ — o gráfico responde a perguntas de contagem que a tabela não oferece.

Interpretar, analisar e comparar distribuições de conjuntos de dados univariados empíricos por meio de representação gráfica adequada e medidas apropriadas de tendência central — mediana, média, moda e classe modal — e dispersão: amplitude, incluindo consideração de valores atípicos (S4). De uma tabela de frequências, a média é $\tfrac{\sum fx}{\sum f}$: valores 1, 2, 3 com frequências 2, 5, 3 resultam em $\tfrac{2 + 10 + 9}{10} = 2.1$; dados agrupados usam pontos médios, logo o resultado é uma estimativa. O valor incomum em 2, 4, 4, 6, 24 eleva a média para 8 enquanto a mediana permanece 4.

Exemplo resolvido: 2H Junho 2024 Q13, adaptado. Uma tabela de comprimentos: 15 valores de 7.2, 18 de 7.6 e 7 de 8 resultam em $\sum fx = 108 + 136.8 + 56 = 300.8$; média $= 300.8 \div 40 = 7.52$ — mantenha os produtos exatos (valores aproximados $fx$ perdem o ponto do método).

Nível Superior adiciona diagramas em caixa, quartis e intervalo interquartil: um diagrama em pontos mínimo, $Q_1$, mediana, $Q_3$, máximo; $IQR = Q_3 - Q_1$ descreve a metade central. Compare a MEDIANA para um valor típico e o QI para consistência, no contexto, com as unidades.

Exemplo resolvido: 2H Junho 2024 Q16, adaptado. Um diagrama de caixa com menor valor 2.4 cm, primeiro quartil 4 cm, mediana 6 cm, terceiro quartil 7 cm e maior valor 9 cm — cinco pontos, um retângulo com bigodes.

Exemplo resolvido: 1H Junho 2024 Q16, adaptado. Idades de dois clubes: "o mediana de idades do clube de natação é menor, logo sua média de idades é menor" E "o intervalo interquartil do clube de natação é maior, logo suas idades são menos consistentes" — uma comparação exige AMBAS uma afirmação sobre a média e sobre a dispersão.

*Mesma mediana 8; B tem o menor IQR (4 contra 6), mas a amplitude maior

Usar e interpretar gráficos de dispersão de dados bivariados (S6): reconhecer correlação positiva, negativa, nenhuma, fraca e forte; fundamentação adicional sabe que a correlação NÃO indica causalidade; traçar linhas estimadas de melhor ajuste pelo meio do padrão (equilibrando pontos, não necessariamente pela origem) e fazer previsões; interpolar e extrapolar tendências aparentes enquanto conhece os perigos. Horas de estudo 1–5 contra notas 44, 49, 53, 58, 61 com a reta $\hat y = 40 + 4.5x$: prever em $x = 3.6$ interpola ($\hat y = 56.2$); em $x = 10$ a reta fornece 85, mas os ganhos podem estagnar — apresente o intervalo de entrada observado com cada previsão.

• Amostras versus censo; inferência para populações com limitações declaradas; primário/secundário, dados discretos/contínuos (S1, S5).
• Tabelas de frequência, barras/tortas/pictogramas, gráficos de linha vertical, tabelas de séries temporais e gráficos de linhas; escolha de diagramas adequados (S2; âncora Q8).
• Histogramas com larguras iguais e desiguais (área = frequência, densidade = f ÷ largura) e gráficos de frequência acumulada nos limites (S3).
• Média de tabelas com produtos exatos; mediana/moda/classe modal; amplitude e outliers; box plots, quartis, IQR; comparações de mediana e IQR (S4; âncoras Q13, Q16, 1H Q16).
• Gráficos de dispersão: tipos e intensidade de correlação; correlação não é causalidade; linhas de melhor ajuste estimadas; interpolação segura, extrapolação perigosa (S6).

Notas de limite: nenhum conteúdo deste tópico aparece na Folha de Fórmulas anexa — a média, a amplitude, o ângulo do gráfico circular e as relações de densidade devem ser conhecidas. Comparações indicam uma média E uma dispersão com contexto e unidades. Exemplo resolvido adaptado das provas de Nível Superior de junho 2024 (consulte as evidências de avaliação do meta) ou original.