Álgebra

AQA GCSE Matemática 8300 tópico 3.2 (especificação Versão 1.0, 12 setembro 2014, primeiros exames 2017). Linhas de fundamentação abrangem A1–A25 em três níveis (fundamental básico / fundamental adicional / apenas Superior); as adições exclusivas ao Superior são raízes e frações algébricas (A4), identidades e demonstrações (A6), funções inversas e compostas com f, fg e notação f⁻¹ (A7), retas perpendiculares (A9), pontos de virada por completando o quadrado (A11), gráficos cúbicos, recíprocos, exponenciais e trigonométricos (A12), a equação da circunferência com tangentes (A16), fórmula quadrática (A18), linear/quadrática (A19), iteração (A20), notação de conjuntos e regiões de desigualdade gráfica (A22) e sequências quadráticas/geométricas/de raízes (A24–A25). O conjunto de Junho 2024 Superior fornece âncoras verificadas abaixo.

Essencial para o tópico 3.2 (a Folha de Fórmulas fornece apenas a fórmula quadrática):

A notação algébrica escreve $ab$ para $a \times b$, $3y$ para $y + y + y$, $a^2$, $a^3$, $a^2b$, $\tfrac ab$ para $a \div b$ — coeficientes como frações, não decimais — e parênteses; as respostas devem estar na forma mais simples sem que seja solicitado. Substitua em fórmulas, incluindo as científicas (fórmulas não vistas são citadas na questão). A vocabulário — expressão, equação, fórmula, desigualdade, identidade, termo, fator — carrega significado: uma equação pede quais valores funcionam; uma identidade é válida para todo valor.

Simplifique e manipule agrupando termos semelhantes, multiplicando um único termo por um parêntese, retirando fatores comuns e usando as leis de expoentes. Nível Básico adicional adiciona desenvolver dois binômios e fatorar $x^2 + bx + c$ com a diferença de dois quadrados. Avançado adiciona raízes quadradas e frações algébricas: expandir e simplificar $(3 + \sqrt2)(1 - 2\sqrt2) = 3 - 6\sqrt2 + \sqrt2 - 4 = -1 - 5\sqrt2$; fatorizar $6x^2 - 7x - 3 = (3x + 1)(2x - 3)$.

Uma identidade afirma equivalência para TODOS os valores: $(x + 2)^2 \equiv x^2 + 4x + 4$, e o 3H Junho 2024 âncora pergunta exatamente isso ("é verdadeiro para todos os valores de $x$"). Provas expandem e comparam ambos os lados — exemplos numéricos nunca provam uma identidade. Reorganize fórmulas para alterar o sujeito ($v = u + at \Rightarrow t = \tfrac{v-u}a$), incluindo de outras matérias em palavras ou símbolos.

Uma função mapeia entradas para saídas; interprete expressões simples como funções (A7, Nível Básico). Avançado adiciona a função inversa — inverter as operações, ou trocar e reorganizar — e a composta $\mathrm{fg}(x) = f(g(x))$, aplicar $g$ primeiro, usando a notação $f(x)$, $fg(x)$ e $f^{-1}(x)$. Exemplo resolvido: $f(x) = 3x - 5$, $g(x) = x^2$: $\mathrm{fg}(2) = f(4) = 7$; de $y = 3x - 5$, $x = \tfrac{y+5}3$, logo $f^{-1}(x) = \tfrac{x+5}3$. Verifique $f^{-1}(f(x)) = x$.

Coordenadas nos quatro quadrantes; trace retas a partir de $y = mx + c$. O fundo adicional identifica retas paralelas por gradientes iguais; o Superior encontra a equação por dois pontos ou um ponto com gradiente dado e identifica retas perpendiculares ($m_1 m_2 = -1$): através de $(1, 7)$ e $(2, 9)$ a reta é $y = 2x + 5$, e a perpendicular por $(1, 7)$ é $y - 7 = -\tfrac12(x - 1)$. Identifique gradientes e interceptos graficamente E algebricamente (A10).

Para quadráticas (A11) identifique raízes, interceptos e pontos de virada graficamente; o fundo adicional deduz raízes algebricamente; o Superior deduz pontos de virada por completar o quadrado: $y = x^2 - 6x + 5 = (x - 3)^2 - 4$ tem mínimo $(3, -4)$ e simetria $x = 3$. Reconheça e esboce gráficos lineares e quadráticos (A12); o fundo adicional adiciona cúbicos simples e o recíproco $y = \tfrac1x$ ($x \ne 0$); o Superior adiciona exponenciais $y = k^x$ ($k > 0$) e $y = \sin x$, $\cos x$, $\tan x$ para ângulos de qualquer tamanho. Esboce translações e reflexões de uma função dada (A13) — $y = f(x) + a$ para cima, $y = f(x + a)$ para a esquerda. Trace e interprete gráficos não padrão de contexto real incluindo distância/velocidade/aceleração cinemática (A14, recíproco e exponencial no Superior); estime gradientes e áreas sob os gráficos e interprete-os como taxas e distâncias (A15 — área signed velocidade-tempo dá deslocamento; somando áreas absolutas dá distância total).

Nível Superior A16: o círculo centrado na origem tem $x^2 + y^2 = r^2$, e a tangente em $(x_1, y_1)$ tem inclinação $-\tfrac{x_1}{y_1}$ quando $y_1\ne0$. Quando ambas as inclinações são finitas, a inclinação do raio é $\tfrac{y_1}{x_1}$ e seu produto é $-1$. Em $y_1=0$, a tangente é vertical.

Resolver equações lineares com uma incógnita (A17) — incógnita de ambos os lados, parênteses incluído: $7x - 22 = 4x + 29$ resulta em $3x = 51$ e $x = 17$ (o âncora H de junho de 1 2024 Q8). Quadráticas (A18): fatorar $x^2 + bx + c$ (Fundamental adicional, incluindo rearranjo), para que cada raiz venha de um fator nulo; Nível Superior adiciona completar quadrados e a fórmula quadrática, com o discriminante decidindo a contagem de raízes — $x^2 + 6x + 2 = 0$ resulta em $x = -3 \pm \sqrt7$. Soluções aproximadas a partir de gráficos em todos os níveis.

Exemplo resolvido: Nível Superior. $2x^2 - 5x - 4 = 0$: $b^2 - 4ac = 25 + 32 = 57 > 0$, logo dois raízes distintas; $x = \tfrac{5 \pm \sqrt{57}}{4}$, e apenas na última linha $x = 3.14$ ou $-0.64$ (2 c.p.) — mantenha $\sqrt{57}$ exato até a resposta final, e indique a precisão.

Simultaneidade (A19): duas equações lineares algebrica e graficamente por eliminação (Fundamental).

Exemplo resolvido. $3x + 2y = 16$ e $5x - 2y = 8$: os termos de $y$ têm sinais opostos, logo SOMAR — $8x = 24$, $x = 3$; substituir $9 + 2y = 16$ de volta, resultando em $y = 3.5$. Mesmos sinais: subtrair. Nada corresponde: escalone uma equação primeiro.

Nível Superior adiciona linear/quadrática — $y = 2x + 5$ com $y = x^2$: substituindo fornece $x^2 - 2x - 5 = 0$, logo $x = 1 \pm \sqrt6$ — mantenha ambas as interseções.

Iteração (A20, Superior): resolva numericamente com notação de sufixo — a partir de $x^3 - 3x - 1 = 0$, reorganize $x = \sqrt[3]{3x + 1}$ e itere $x_{n+1} = \sqrt[3]{3x_n + 1}$ em $x_1 = 1$: $x_2 = 1.587$, $x_3 = 1.793$, $x_4 = 1.855$, $x_5 = 1.872$, convergindo para a raiz $1.879$ (3 d.p.). Mostre valores até uma precisão especificada e verifique o valor final na equação original.

Traduza situações para álgebra (A21) — deduza e resolva, incluindo geometria e problemas contextuais.

Exemplo resolvido. Ali tem 4 anos a mais que Ben; Cara tem o dobro da idade de Ben Ben; a soma das idades é 44. Seja Ben $x$: $x + (x + 4) + 2x = 44$, logo $4x = 40$, $x = 10$ — Ben 10, Ali 14, Cara 20; verifique $10 + 14 + 20 = 44$. Responda à pergunta pedido (as idades), não apenas $x$.

Desigualdades (A22): resolver desigualdades lineares em uma variável (Fundamental) com representação na reta numérica (círculo aberto estrito, círculo fechado incluído); Superior resolve desigualdades lineares em uma ou duas variáveis e desigualdades quadráticas, com notação de conjuntos e regiões gráficas — $x^2 - x - 6 > 0$ fatorado em $(x - 3)(x + 2) > 0$, logo $x < -2$ ou $x > 3$, escrito $\{x{:}\ x < -2\} \cup \{x{:}\ x > 3\}$; linhas tracejadas para desigualdades estritas.

Gerar termos a partir de regras termo-para-termo e posição-para-termo, incluindo padrões e diagramas (A23). Reconhecer números triangulares, quadrados e cúbicos e progressões aritméticas simples progressões (A24); Fundamento adicional inclui sequências tipo Fibonacci, sequências quadráticas sequências e progressões geométricas $ar^n$ ($r$ um racional positivo); Superior adiciona outras sequências definidas recursivamente e razões irracionais. Deduzir termos gerais (A25): linear $an + b$ (Fundamento), quadrática $an^2 + bn + c$ no Superior — para $5, 9, 17, 29, 45, \ldots$ the second difference is $4$, so $a = 2$ and the sequence is $2n^2 - 2n + 5$ (verifique $n = 4$: $32 - 8 + 5 = 29$).

• Notação $ab$, $3y$, $a^2$, $\tfrac ab$; substituição em fórmulas científicas; vocabulário incluindo identidade (A1–A3).
• Agrupe termos, parênteses, fatores comuns, leis dos expoentes; dois binômios e $x^2 + bx + c$ (Fundamental); raízes quadradas e frações algébricas (Superior) (A4).
• Fórmulas padrão e isolando variáveis (A5); identidades, argumentos e demonstrações (A6).
• Funções com entradas/saídas; inversas e compostas com $f$, fg, $f^{-1}$ notação (A7, Superior).
• Coordenadas, plotagem, retas paralelas (Fundamento); equação por dois pontos/ponto+declive, retas perpendiculares (Superior) (A8–A9).
• Declives e interceptos em ambos os sentidos (A10); raízes, interceptos, pontos de virada — completando quadrados no Superior (A11).
• Esboçar gráficos lineares, quadráticos, cúbicos, recíprocos, exponenciais e trigonométricos; translações/reflexões; contextos reais e gráficos cinemáticos; interpretação de declive/área (A12–A15).
• Circule $x^2 + y^2 = r^2$ com gradientes tangentes (A16, Superior).
• Equações lineares em ambos os lados (âncora Q8); quadráticas por fatoração, fórmula e completação do quadrado; simultaneidade linear e linear/quadrática mantendo ambas as raízes (A17–A19).
• Iteração com notação de sufixo até precisão especificada (A20); equações de modelagem e contexto (A21); desigualdades com retas numéricas, notação de conjuntos e regiões gráficas (A22).
• Tipos de sequências incluindo Fibonacci, quadrática e geométrica com razões iracionais; termos n-ésimos lineares e quadráticos (A23–A25).

Notas de fronteira: a Folha de Fórmulas fornece a fórmula quadrática; respostas de iteração devem indicar a precisão; convenções gráficas para desigualdades (tracejado estrito, sólido incluído) são obrigatórias. Os exemplos resolvidos acima foram adaptados das provas de Junho 2024 Superior (consulte as evidências de avaliação dos metadados) ou são originais.