Probabilidade

Matemática GCSE AQA 8300 tema 3.5 (especificação Versão 1.0, 12 setembro 2014, primeiros exames 2017). Linhas Foundation P1–P9 correm em três níveis; o adicional linhas de base são amostras empíricas não tendenciosas tendendo para teóricas teóricas (P5), diagramas de árvore como dispositivo sistemático (P6) e a probabilidade de eventos independentes e DEPENDENTES combinados com suas subjacentes subjacentes (P8); a linha exclusiva do Nível Superior é probabilidade condicional através de frequências esperadas com tabelas cruzadas, diagramas de árvore e diagramas de Venn (P9). O conjunto Higher de junho 2024 fornece âncoras verificadas abaixo.

Conceito essencial para o tema 3.5:

Registre, descreva e analise a frequência dos resultados de probabilidade experimentos usando tabelas e árvore de frequências (P1) — probabilidades escritas como frações, decimais ou porcentagens. Aplique ideias de aleatoriedade, justiça e eventos igualmente prováveis para calcular RESULTADOS ESPERADOS de múltiplos futuros futuros (P2): para uma probabilidade declarada $p$, a contagem esperada em $n$ ensaios futuros é $np$ — uma média de longo prazo, nunca uma garantia. Um girador pousando vermelho 18 vezes em 60 giros estima $P(\text{red}) = \tfrac{18}{60} = 0.3$, logo 200 giros futuros esperam $0.3 \times 200 = 60$ vermelhos; 48 ou 54 caras em 100 lançamentos justos é possível mesmo que 50 seja esperado.

Exemplo resolvido: 3H Junho 2024 Q10, adaptado. A probabilidade de chuva em um dia de junho numa cidade é 0.38. De 150 dias, o número esperado de dias secos: $1 - 0.38 = 0.62$, depois $0.62 \times 150 = 93$.

Entenda que AMOSTRAS EMPÍRICAS não tendem ao teórico distribuição com aumento da amostra (P5) — 6 caras em 10 arremessos estimam 0.6; 502 em 1000 estimam 0.502 — amostras maiores são mais estáveis, nunca exatas.

Exemplo resolvido: 2H Junho 2024 Q7, adaptado. Quatro alunos jogam uma moeda um número diferente de vezes; um obtém 52 caras em 200 lançamentos. A melhor estimativa de $P(\text{head})$ é $\tfrac{52}{200}$ — ela vem do maior número de lançamentos.

Relacione frequências relativas esperadas à probabilidade teórica usando linguagem adequada e a escala de probabilidade de 0 a 1 (P3); aplique a propriedade de que as probabilidades de um conjunto exaustivo de resultados (mutuamente exclusivos) ou eventos somam 1 (P4). Se vermelho, azul e verde forem exaustivos com probabilidades 0.3 e 0.45, a terceira é $1 - 0.75 = 0.25$.

Exemplo resolvido: 2H Junho 2024 Q4(b), adaptado. Uma lista de probabilidades alegada para um girador soma 1.1 — impossível: as probabilidades de um conjunto exaustivo de resultados mutuamente exclusivos somam 1 (0.1 a mais).

Exemplo resolvido: 3H Junho 2024 Q16, adaptado. Dois dados são lançados 72 vezes; um total de 7 ocorre 14 vezes. Teórico $= \tfrac{6}{36} = \tfrac16$ (esperado $72 \times \tfrac16 = 12$); frequência relativa $= \tfrac{14}{72} = \tfrac7{36}$, que excede $\tfrac16$. Este resultado isolado não estabelece viés: variação amostral comum pode explicar uma diferença em relação à frequência esperada.

Enumere conjuntos e combinações de conjuntos SISTEMATICAMENTE, usando tabelas, grade e diagramas de Venn, incluindo diagramas de árvore no nível adicional de fundação (P6). Construa espaços de possibilidade teóricos para experimentos individuais e combinados com resultados igualmente prováveis e use-os para calcular probabilidades teóricas (P7): uma moeda e um dado fornecem 12 resultados ordenados igualmente prováveis, cara-com-par é $\tfrac3{12} = \tfrac14$; dois dados fornecem 36 pares ordenados — total sete tem $\tfrac6{36} = \tfrac16$ e pelo menos onze tem $\tfrac3{36} = \tfrac1{12}$. Diga se a ordem importa e por que os resultados listados são igualmente prováveis, antes de dividir as contagens.

Exemplo resolvido: 3H Junho 2024 Q22, adaptado. Um código usa quatro diferentes de cinco: $5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120$ códigos possíveis — conte sistematicamente por cada etapa, nunca $5^4 = 625$, o que permite dígitos repetidos. (A contagem coincide com $5! = 120$ apenas porque, uma vez escolhidos quatro dígitos, o quinto é forçado.)

Em uma turma de 30, 18 pedala, 12 nada e 7 faz ambos: as regiões de Venn preenchem sobreposição-em-primeiro — apenas ciclismo 11, apenas natação 5, pelo menos um $= 23$, nenhum 7; a tabela cruzada verifica 18, 12, 30. União, interseção e complemento traduzem as palavras ambos, ou/ao menos um, apenas e nenhum em regiões contadas; sombreie a região correta.

Exemplo resolvido: 2H Junho 2024 Q9, adaptado. Em um diagrama de Venn de dois conjuntos, "ambos A e B" destaca a INTERSEÇÃO — apenas a lente de sobreposição.

Calcule a probabilidade de eventos combinados independentes e dependentes, incluindo usando diagramas de árvore e outras representações, e conhecer os fundamentos (P8) — incluindo QUANDO SOMAR e quando multiplicar: multiplique ao longo de um caminho (estágios sucessivos), some através de caminhos disjuntos (mutuamente exclusivos) rotas). Uma bolsa com 3 contadores vermelhos e 2 azuis: com reposição $P(RR) = \tfrac35 \times \tfrac35 = \tfrac9{25}$; sem reposição $P(RR) = \tfrac35 \times \tfrac24 = \tfrac3{10}$ e $P(\text{one of each}) = \tfrac35 \times \tfrac24 + \tfrac25 \times \tfrac34 = \tfrac35$. Independentes contexto (reposição, ensaios separados) antes de usar um produto simples; dois eventos disjuntos com probabilidade positiva NÃO são independentes. eventos disjuntos com probabilidade positiva não são independentes.

Exemplo resolvido: 3H Junho 2024 Q12(b), adaptado. Uma máquina falha em um dado com probabilidade 0.05, independentemente de cada dia. $P(\textpelo menos uma falha em dois dias}) = 1 - 0.95 \times 0.95 = 1 - 0.9025 = 0.0975$ — a rota complementar supera somar os três caminhos de falha.

Maior (P9): calcular e interpretar probabilidade condicional através de frequências esperadas com tabelas de dupla entrada, diagramas de árvore e diagramas de Venn — frequências com tabelas duplas, diagramas de árvore e diagramas de Venn — RESTRINGE o denominador ao grupo dado. Da turma de $P(A \mid B) = \tfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$ ($P(B) > 0$ ciclo, RESTRIGE o denominador ao grupo dado. Da turma de 30 (18 ciclo, 12 natação, 7 ambos): $P(\text{swim} \mid \text{cycle}) = \tfrac7{18}$ enquanto $P(\text{cycle} \mid \text{swim}) = \tfrac7{12}$ — invertendo a condição altera o denominador, e nenhum é igual à probabilidade incondicional $\tfrac{12}{30}$. Com frequências esperadas: uma condição que afeta 20% de 1000 pessoas, teste positivo para 90% daqueles que têm e 10% dos que não têm, fornece $180 + 80 = 260$ positivos, dos quais $\tfrac{180}{260} = \tfrac9{13} \approx 0.692$ têm a condição — não 90%. Dado-positivo e positivo-dado-condição são perguntas diferentes.

Exemplo resolvido: Nível Superior. A bolsa 3-vermelho-2-azul, sem reposição, INVERTIDA: dado que o SEGUNDO contador é vermelho, qual é a probabilidade do primeiro ser azul? $P(\text{second R}) = \tfrac35 \times \tfrac24 + \tfrac25 \times \tfrac34 = \tfrac{12}{20}$; $P(\text{blue then red}) = \tfrac25 × \tfrac34 = \tfrac6{20}$; so $P(\text{first B} \mid \text{second R}) = \tfrac6{20} ÷ \tfrac{12}{20} = \tfrac12$. A contagem concorda: 12 dos 20 pares ordenados terminam em vermelho; 6 desses começam com azul.

*Dado um resultado positivo, use a coluna positiva: 180 de 260, não 180 de 200

• Tabelas de frequência e árvores de probabilidade para experimentos; probabilidades como frações, decimais e porcentagens (P1).
• Aleatoriedade, equidade, eventos igualmente prováveis; resultados esperados de múltiplos experimentos futuros (P2; Q10 âncora: $0.62 \times 150 = 93$).
• Frequência relativa versus probabilidade teórica na escala de 0 a 1 (P3; Q16 âncora: $\tfrac{14}{72}$ vs $\tfrac16$).
• Resultados exaustivos e mutuamente exclusivos somam 1; complementares (P4; Q4b âncora).
• Amostras empíricas imparciais tendem à teoria com amostras maiores (P5; Q7 âncora: $\tfrac{52}{200}$ das mais repetições).
• Enumeração sistemática com tabelas, grades, diagramas de Venn e árvores (P6; Q22 âncora: $5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120$).
• Espaços de possibilidade teóricos para experimentos únicos e combinados igualmente prováveis (P7; Q4a âncora: $\tfrac26$).
• Eventos combinados independentes e dependentes; multiplique ao longo dos caminhos, some rotas disjuntas; pressupostos declarados (P8; Q12b âncora: $1 - 0.95^2 = 0.0975$).
• Probabilidade condicional via frequências esperadas com tabelas cruzadas, árvores e diagramas de Venn (P9: $\tfrac7{18}$ vs $\tfrac7{12}$).

Notas de limite: nada aqui aparece na Folha de Fórmulas; "esperado" é uma média de longo prazo; justifique a independência pelo contexto antes de multiplicar. Exemplos resolvidos são adaptados do junho 2024 papéis Superior ou originais.