Potencial Elétrico

Quando você empurra duas cargas iguais juntas, você realiza trabalho 功 contra a força elétrica. Esse trabalho é armazenado pelo par como energia potencial elétrica 电势能:

$U_E$ é definido como o trabalho que uma força externa deve realizar para trazer as cargas de muito longe até uma distância $r$ uma da outra. Os sinais carregam a física:

• Cargas iguais: $U_E>0$. Um empurrão externo foi necessário para aproximá-las. Se liberadas, elas voarão para longe, e a energia armazenada se tornará energia cinética 动能.
• Cargas opostas: $U_E<0$. O par está ligado. Você deve fornecer $|U_E|$ de trabalho para separá-las até o infinito.

A força elétrica é uma força conservativa 保守力: o trabalho que ela realiza depende apenas dos pontos inicial e final, não do caminho, e é igual a $-\Delta U_E$.

Para um sistema 系统 de várias cargas, some a energia potencial de cada par distinto:

Exemplo resolvido. Três cargas $+2.0\ \mu\text{C}$ estão nos vértices de um triângulo equilátero com lados $0.30\ \text{m}$. Cada par armazena $U=\dfrac{kq^2}{r}=\dfrac{(9.0\times10^{9})(2.0\times10^{-6})^2}{0.30}=0.12\ \text{J}$. Há três pares, então $U_{\text{total}}=3\times0.12\ \text{J}=0.36\ \text{J}$. Este é o trabalho necessário para montar o triângulo a partir do infinito – e a energia cinética que as cargas compartilhariam se todas as três fossem liberadas.

Potencial elétrico 电势 é energia potencial elétrica por unidade de carga em um ponto no espaço. É medido em volts ($1\ \text{V}=1\ \text{J/C}$):

O potencial é uma escalar 标量: tem um sinal, mas nenhuma direção. Isso torna $V$ muito mais fácil de manipular do que o campo $\vec{E}$. Para várias cargas pontuais 点电荷, use sobreposição escalar 叠加 – some os potenciais com seus sinais:

Exemplo resolvido. O potencial $0.10\ \text{m}$ de uma carga pontual $+3.0\ \text{nC}$ é $V=\dfrac{kq}{r}=\dfrac{9.0\times10^{9}(3.0\times10^{-9})}{0.10}=270\ \text{V}$. Agora adicione uma carga $-3.0\ \text{nC}$ $0.30\ \text{m}$ do mesmo ponto: ela contribui com $\dfrac{9.0\times10^{9}(-3.0\times10^{-9})}{0.30}=-90\ \text{V}$, então o total é $270-90=180\ \text{V}$. Apenas uma soma com sinal – sem componentes vetoriais para resolver.

Distribuições de carga contínuas

Para uma distribuição de carga contínua 连续电荷分布, divida-a em pequenas peças $dq$, trate cada peça como uma carga pontual e integre 积分:

Esta é uma integral escalar, portanto geralmente é muito mais fácil do que a integral de campo. A AP espera que você lidasse com quatro formas usando cálculo: um anel fino (em um ponto em seu eixo), um arco (em seu centro), uma linha ou fio finito (colineal, ou em sua bissetriz perpendicular) e um fio ou cilindro infinito (a uma distância de seu eixo).

Exemplo resolvido (anel de carga). Um anel fino de raio $R$ carrega carga total $Q$. Para um ponto $P$ no eixo a uma distância $z$ do centro, cada elemento $dq$ está à mesma distância $r=\sqrt{R^2+z^2}$ de $P$. A distância é constante, então sai da integral:

Em uma FRQ, diga que $r$ é o mesmo para cada elemento – essa afirmação é o passo avaliado. A mesma ideia dá $V=kQ/R$ no centro de qualquer arco, independentemente do seu ângulo.

De potencial a campo

Potencial e campo contêm a mesma informação, ligados por uma derivada em cada direção e por uma integral de caminho:

O campo é o negativo gradiente 梯度 do potencial: $\vec{E}$ aponta de alto potencial para baixo potencial, "montanha abaixo". Onde $V$ muda rapidamente, o campo é forte.

Exemplo resolvido. Ao longo do eixo $x$, $V(x)=3x^{2}-2x$ (volts, com $x$ em metros). Então $E_x=-\dfrac{dV}{dx}=2-6x\ \text{V/m}$. Em $x=0.50\ \text{m}$, $E_x=-1.0\ \text{V/m}$: o campo lá aponta na direção $-x$.

A diferença de potencial 电势差 entre dois pontos é a mudança na energia potencial por unidade de carga movida entre eles: $\Delta V=\Delta U_E/q$. Uma bateria cria uma diferença de potencial quimicamente: reações internas separam cargas positivas de negativas e mantêm os terminais fixamente $\Delta V$ separados.

Mapas equipotenciais

Uma linha equipotencial 等势面 (também chamada de isolinha 等值线) une pontos que compartilham o mesmo potencial. Quatro regras permitem ler qualquer mapa:

• Isolinhas são perpendiculares 垂直 às linhas de campo 电场线 em todos os pontos onde cruzam.
• $\vec{E}$ aponta de alto $V$ para baixo $V$ – nunca ao longo de uma isolinha. Mover uma carga ao longo de uma isolinha não requer trabalho.
• Isolinhas próximas significam um campo forte: $E\approx-\Delta V/\Delta x$.
• Você pode esboçar o mapa de campo a partir de um mapa de isolinhas, e o mapa de isolinhas a partir de um mapa de campo.

Habilidade de prova. Dado um mapa com isolinhas a cada $10\ \text{V}$ espaçadas cerca de $2\ \text{cm}$, estime $E\approx\dfrac{10}{0.02}=500\ \text{V/m}$, apontando da linha de valor maior para a menor. O trabalho que um agente externo realiza movendo uma carga $q$ lentamente de $A$ para $B$ é $W=q(V_B-V_A)$ – o caminho percorrido não importa.

Quando uma carga $q$ se move entre dois pontos que diferem em potencial por $\Delta V$, a energia potencial do sistema carga-campo muda por

Se apenas a força elétrica atua, a energia total é conservada, então a energia cinética muda pela quantidade oposta:

Observe os dois sinais juntos: uma carga positiva acelera quando se move para baixo potencial, enquanto uma carga negativa acelera quando se move para alto potencial. Ambos são apenas o sistema trocando energia potencial por energia cinética. Esta é a forma como aceleradores de partículas dão energia a partículas carregadas, e fundamenta a análise energética em circuitos.

Exemplo resolvido. Um próton ($q=1.6\times10^{-19}\ \text{C}$, $m=1.67\times10^{-27}\ \text{kg}$) começa em repouso e é acelerado através de uma queda de potencial de $500\ \text{V}$ (ele se move para baixo potencial, então $\Delta V=-500\ \text{V}$ e $\Delta K=-q\,\Delta V=+8.0\times10^{-17}\ \text{J}$). Igualando $\Delta K=\tfrac12 mv^2$:

Habilidade de prova. Escolha métodos energéticos, não cinemática, sempre que o campo for não uniforme ou a trajetória curvar: apenas os potenciais dos pontos finais importam. Uma cadeia típica de FRQ é $q\,\Delta V \to \Delta K \to v$, com uma linha de justificativa: "a força elétrica é conservativa, então a energia é conservada."

• Relacione campo e potencial por $V=-\int \vec E\cdot d\vec l$ e $\vec E=-\nabla V$ (em 1-D, $E_x=-\tfrac{dV}{dx}$).
• Potencial é uma escalar — some contribuições com sinais, sem componentes vetoriais necessárias.
• Energia potencial de um par é $U=\tfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\tfrac{q_1 q_2}{r}$; use conservação de energia para a velocidade de uma carga.
• Saiba que nenhum trabalho é realizado movendo-se ao longo de uma equipotencial, que é perpendicular a $\vec E$.
• Escolha o zero do potencial (geralmente o infinito) e declar-o.