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Cargas Elétricas, Campos e Lei de Gauss

Física C: Eletricidade e Magnetismo do AP · Tópico 8

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9:52

Cargas Elétricas, Campos e Lei de Gauss

Um raio atinge um carro. Dentro, as pessoas não sentem absolutamente nada. Por quê? A carcaça metálica ao redor delas é um condutor. Carga corre sobre sua superfície externa…

Narração em inglês · Legendas em inglês + 中文 gravadas

8.1

Carga Elétrica e Força Elétrica

Programa

Objetivo de Aprendizagem 8.1.A: Descrever a força elétrica resultante das interações entre objetos ou sistemas carregados.

  • 8.1.A.1 Carga é uma propriedade fundamental de toda a matéria.
    • 8.1.A.1.i A carga é uma grandeza escalar e é descrita como positiva ou negativa.
    • 8.1.A.1.ii A magnitude da carga de um único elétron ou próton, a carga elementar $e$, pode ser considerada a menor quantidade indivisível de carga.
    • 8.1.A.1.iii A carga de um elétron é $-e$ e a carga de um próton é $+e$, e um nêutron não possui carga elétrica.
    • 8.1.A.1.iv Uma carga pontual é um modelo no qual o tamanho físico de um objeto ou sistema carregado é desprezível no contexto da situação sendo analisada.
  • 8.1.A.2 A lei de Coulomb descreve a força eletrostática entre dois objetos carregados como diretamente proporcional à magnitude de cada uma das cargas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre os objetos.
    • Equação relevante: $\left| \vec{F}_E \right| = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} \dfrac{|q_1 q_2|}{r^2} = k \dfrac{|q_1 q_2|}{r^2}$
  • 8.1.A.3 A direção da força eletrostática depende dos sinais das cargas dos objetos interagentes e está ao longo da linha de separação entre os objetos.
    • 8.1.A.3.i Dois objetos com cargas do mesmo sinal exercem forças repulsivas um sobre o outro.
    • 8.1.A.3.ii Dois objetos com cargas de sinais opostos exercem forças atrativas um sobre o outro.
  • 8.1.A.4 Forças elétricas são responsáveis por algumas das propriedades macroscópicas de objetos nas experiências cotidianas. No entanto, o grande número de interações de partículas que ocorrem torna mais conveniente tratar as forças cotidianas em termos de forças não fundamentais chamadas forças de contato, como força normal, atrito e tensão.

Objetivo de Aprendizagem 8.1.B: Descrever as forças elétricas e gravitacionais resultantes de interações entre objetos carregados com massa.

  • 8.1.B.1 Forças eletrostáticas podem ser atrativas ou repulsivas, enquanto forças gravitacionais são sempre atrativas.
  • 8.1.B.2 Para quaisquer dois objetos que possuem massa e carga elétrica, a magnitude da força gravitacional é geralmente muito menor que a magnitude da força eletrostática.
  • 8.1.B.3 Forças gravitacionais dominam em escalas maiores, mesmo sendo mais fracas que as forças eletrostáticas, porque sistemas em grandes escalas tendem a ser eletricamente neutros.

Objetivo de Aprendizagem 8.1.C: Descrever a permissividade elétrica de um material ou meio.

  • 8.1.C.1 Permissividade elétrica é uma medida do grau em que um material ou meio é polarizado na presença de um campo elétrico.
  • 8.1.C.2 A polarização elétrica pode ser modelada como o rearranjo induzido de elétrons por um campo elétrico externo, resultando em uma separação de cargas positivas e negativas dentro de um material ou meio.
  • 8.1.C.3 O vácuo tem um valor constante de permissividade elétrica, $\varepsilon_0$, que aparece em relações físicas.
  • 8.1.C.4 A permissividade da matéria tem um valor diferente do do vácuo que surge da composição e arranjo da matéria.
    • 8.1.C.4.i Em um dado material, a permissividade elétrica é determinada pela facilidade com que os elétrons podem mudar de configurações dentro do material.
    • 8.1.C.4.ii Condutores são feitos de materiais condutores electricamente onde os portadores de carga se movem facilmente; isolantes são feitos de materiais não condutores electricamente onde os portadores de carga não se movem facilmente.

Declaração de limite: AP Physics C: Eletricidade & Magnetismo espera apenas que os estudantes realizem cálculos da força elétrica entre quatro ou menos objetos ou sistemas interagentes carregados. A análise da força elétrica resultante de mais cargas é permitida em situações de alta simetria. Observe que espera-se que os estudantes calculem os campos elétricos de distribuições de carga, conforme descrito nos Tópicos 8.4 e 8.6.

Fonte: College Board AP Course and Exam Description

Carga elétrica 电荷 existe em positiva e negativa; cargas semelhantes se repelem, opostas se atraem. A carga é quantizada 量子化 – toda carga é um múltiplo inteiro da carga elementar 基本电荷 $e=1.6\times10^{-19}\ \text{C}$ – e obedece à conservação de carga 电荷守恒: a carga nunca é criada nem destruída, apenas transferida. A força entre duas cargas pontuais 点电荷 é regida pela Lei de Coulomb 库仑定律:

$$\vec{F}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_1 q_2}{r^2}\,\hat{r},$$

uma força de quadrado inverso 平方反bid ao longo da linha que as une, com $\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}=k=9.0\times10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$. Para várias cargas (AP usa quatro ou menos, a menos que simetria ajude), some os vetores força atuando na carga de interesse – superposição 叠加.

A carga é uma propriedade fundamental 基本属性 da matéria, e uma carga pontual é um modelo que ignora o tamanho de um objeto carregado. A constante $\varepsilon_0$ é a permissividade do vácuo 真空介电常数 – uma propriedade material do vácuo. A permissividade da matéria difere de $\varepsilon_0$, definida pela facilidade com que o material polariza, razão pela qual um dielétrico entre cargas enfraquece a força. Note também que, embora a força elétrica seja muito mais forte que a gravidade, esta domina em escalas astronômicas porque corpos grandes são quase neutros.

Exemplo resolvido. Duas cargas $+2.0\ \mu\text{C}$ situam-se a $0.30\ \text{m}$ de distância: resultando em $F=\dfrac{kq_1q_2}{r^2}=\dfrac{9.0\times10^{9}(2.0\times10^{-6})^2}{(0.30)^2}=0.40\ \text{N}$, repulsivo.

Exemplo resolvido (vetores). Cargas $+3.0\ \mu\text{C}$ e $-3.0\ \mu\text{C}$ estão situadas em dois cantos de um ângulo reto, cada uma a uma distância $0.30\ \text{m}$ de uma carga $+1.0\ \mu\text{C}$ no vértice. Cada uma exerce $F=\dfrac{(9.0\times10^{9})(3.0\times10^{-6})(1.0\times10^{-6})}{0.09}=0.30\ \text{N}$ – uma um empurrão, outra um puxão, em ângulo reto entre si. A força resultante é $F_{\text{net}}=\sqrt{0.30^2+0.30^2}=0.42\ \text{N}$, apontando entre elas. Nunca some magnitudes cegamente: primeiro as componentes.

Explorar

Explore o campo de uma carga fonte

Altere o sinal e tamanho da carga. As linhas apontam para fora da positiva e para dentro da negativa, e o aglomerado de suas $1/r^2$ perto da carga reflete por que a força de Coulomb $F = k\,|q_1 q_2|/r^2$ enfraquece com a distância.

8.2

Carga Elétrica e o Processo de Carregamento

Programa

Objetivo de Aprendizagem 8.2.A: Descrever o comportamento de um sistema usando a conservação da carga.

  • 8.2.A.1 A carga líquida ou distribuição de carga de um sistema pode mudar em resposta à presença ou alterações na carga líquida ou distribuição de carga de outros sistemas.
    • 8.2.A.1.i A carga líquida de um sistema pode mudar devido ao atrito ou contato entre sistemas.
    • 8.2.A.1.ii A separação de cargas induzidas ocorre quando a força eletrostática entre dois sistemas altera a distribuição de cargas dentro dos sistemas, resultando na polarização de um ou ambos os sistemas.
    • 8.2.A.1.iii A separação de cargas induzidas pode ocorrer em sistemas neutros.
  • 8.2.A.2 Qualquer alteração na carga líquida de um sistema deve-se à transferência de carga entre o sistema e seu entorno.
    • 8.2.A.2.i O carregamento de um sistema geralmente envolve a transferência de elétrons para e do sistema.
    • 8.2.A.2.ii A carga líquida de um sistema será constante, a menos que haja uma transferência de carga para ou do sistema.
  • 8.2.A.3 O aterramento envolve conectar eletricamente um objeto carregado a um sistema muito maior e aproximadamente neutro (ex.: Terra).

Fonte: College Board AP Course and Exam Description

Um condutor 导体 permite que a carga se mova livremente; um isolante 绝缘体 a mantém fixa. Objetos ganham carga líquida de três formas:

  • Carregamento por atrito 摩擦起电: o atrito transfere elétrons de uma superfície para a outra.
  • Carregamento por condução 传导起电: tocar em um objeto carregado compartilha carga do mesmo sinal.
  • Carregamento por indução 感应起电: uma carga próxima empurra a carga do condutor para longe; aterrize 接地 o lado distante, remova o fio de aterramento primeiro, e o condutor fica com o sinal oposto – tudo sem contato.

Um isolante não passa carga, mas pode desenvolver polarização 极化: suas moléculas alongam-se ou giram de modo que uma face fique ligeiramente positiva e a outra ligeiramente negativa. É por isso que um pente carregado atrai pedaços de papel neutros. Um electróscópio 验电器 mostra carga líquida quando suas lâminas se repelem; em qualquer condutor isolado, o excesso de carga reside inteiramente na superfície externa.

Explorar

Explore o carregamento por fricção

A fricção transfere elétrons para o objeto, tornando-o negativo. Um objeto carregado então atrai uma parede neutra ou cabelo (por polarização) mas repele outro objeto com carga similar — a mesma transferência de elétrons por trás de fricção, condução e indução.

8.3

Campos Elétricos

Programa

Objetivo de Aprendizagem 8.3.A: Descrever o campo elétrico produzido por um objeto carregado ou configuração de cargas pontuais.

  • 8.3.A.1 Os campos elétricos podem originar-se de objetos carregados.
  • 8.3.A.2 O campo elétrico em um ponto dado é a razão entre a força elétrica exercida sobre uma carga de prova no ponto e a carga dessa carga de prova.
    • Equação relevante: $\vec{E} = \dfrac{\vec{F}_E}{q}$
    • 8.3.A.2.i Uma carga de prova é uma carga pontual de magnitude suficientemente pequena tal que sua presença não afeta significativamente um campo elétrico em sua vizinhança.
    • 8.3.A.2.ii Um campo elétrico aponta para longe de cargas positivas isoladas e para cargas negativas isoladas.
    • 8.3.A.2.iii A força elétrica exercida sobre uma carga de prova positiva por um campo elétrico está na mesma direção do campo elétrico.
  • 8.3.A.3 O campo elétrico é uma quantidade vetorial e pode ser representado no espaço usando mapas de campo vetorial.
    • 8.3.A.3.i O campo elétrico líquido em uma localização dada é a soma vetorial dos campos elétricos individuais criados por objetos carregados próximos.
    • 8.3.A.3.ii Mapas de campo elétrico usam vetores para representar a magnitude e a direção do campo elétrico em muitas localizações dentro de uma região dada.
    • 8.3.A.3.iii Diagramas de linhas de campo elétrico são modelos simplificados de mapas de campo elétrico e podem ser usados para determinar a magnitude relativa e a direção do campo elétrico em qualquer posição no diagrama.

Objetivo de Aprendizagem 8.3.B: Descrever o campo elétrico gerado por condutores ou isolantes carregados.

  • 8.3.B.1 Em equilíbrio eletrostático, o excesso de carga de um condutor é distribuído na superfície do condutor, e o campo elétrico dentro do condutor é zero.
    • 8.3.B.1.i Na superfície de um condutor carregado, o campo elétrico é perpendicular à superfície.
    • 8.3.B.1.ii O campo elétrico fora de uma esfera isolada com distribuição de carga esfericamente simétrica é o mesmo que o campo elétrico devido a uma carga pontual com a mesma carga líquida que a esfera localizada no centro da esfera.
  • 8.3.B.2 Em equilíbrio eletrostático, o excesso de carga de um isolante é distribuído tanto no interior do isolante quanto na superfície, e o campo elétrico dentro do isolante pode ter um valor diferente de zero.

Fonte: College Board AP Course and Exam Description

O campo elétrico de um dipolo
Uma bobina Tesla coroada por um anel metálico, lançando longos raios violeta no ar
Uma bobina Tesla projeta raios: eleva a tensão a ponto de ionizar o ar circundante, e a carga salta através dela como descarga visível

O campo elétrico 电场 em um ponto é a força por unidade de carga que uma pequena carga de teste 检验电荷 sentiria ali:

$$\vec{E}=\frac{\vec{F}}{q},\qquad \vec{E}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r^2}\,\hat{r}\ \text{(point charge)}.$$

Uma carga colocada em um campo sente $\vec{F}=q\vec{E}$ – cargas positivas ao longo do campo, cargas negativas contra ele. Campos de diversas fontes somam-se como vetores (novamente superposição). As linhas de campo elétrico 电场线 tornam o campo visível: partem de cargas positivas e apontam para negativas, sua densidade indica a intensidade, e nunca se cruzam.

Padrões de linhas de campo elétrico para placas paralelas, um dipolo e uma carga pontual
Padrões de linhas de campo elétrico para placas paralelas, um dipolo e uma carga pontual
Linhas de campo elétrico de um dipolo apontam da carga positiva para a negativa
Linhas de campo elétrico de um dipolo apontam da carga positiva para a negativa

Em um campo uniforme 均匀, uma carga sente uma força constante, acelerando uniformemente – lançada lateralmente, segue uma parábola, assim como um projétil na gravidade.

Uma carga atravessando um campo uniforme segue uma trajetória parabólica
Uma carga atravessando um campo uniforme segue uma trajetória parabólica
Uma pessoa tocando um gerador de Van de Graaff com o cabelo em pé
A carga se distribui pelo domo e nos cabelos; cargas semelhantes se repelem, então os fios se afastam
Explorar

Explore as linhas de campo de uma carga pontual

Defina a carga como positiva ou negativa. As linhas de campo começam na positiva e terminam na negativa, nunca se cruzam, e se concentram onde $\vec{E}$ é mais forte — a densidade das linhas é proporcional à magnitude do campo.

Vocabulário Treinar
Inglês Chinês Pinyin
Electric charge/ɪˈlektrɪk tʃɑːdʒ/ 电荷 diàn hè
quantized/ˈkwɒntaɪzd/ 量子化 liàng zǐ huà
elementary charge/ˌelɪˈmentəri tʃɑːdʒ/ 基本电荷 jī běn diàn hè
conservation of charge/ˌkɒnsəˈveɪʃn ɒv tʃɑːdʒ/ 电荷守恒 diàn hè shǒu héng
point charges/pɔɪnt ˈtʃɑːdʒɪz/ 点电荷 diǎn diàn hè
Coulomb's law/ˈkuːlɒmz lɔː/ 库仑定律 kù lún dìng lǜ
inverse-square/ɪnˈvɜːs skweə/ 平方反比 píng fāng fǎn bǐ
superposition/ˌsuːpəpəˈzɪʃn/ 叠加 dié jiā
fundamental property/ˌfʌndəˈmentl ˈprɒpəti/ 基本属性 jī běn shǔ xìng
permittivity of free space/ˌpɜːmɪˈtɪvəti ɒv friː speɪs/ 真空介电常数 zhēn kōng jiè diàn cháng shù
conductor/kənˈdʌktə/ 导体 dǎo tǐ
insulator/ˈɪnsjuːleɪtə/ 绝缘体 jué yuán tǐ
Charging by friction/ˈtʃɑːdʒɪŋ baɪ ˈfrɪkʃn/ 摩擦起电 mó cā qǐ diàn
Charging by conduction/ˈtʃɑːdʒɪŋ baɪ kənˈdʌkʃn/ 传导起电 chuán dǎo qǐ diàn
Charging by induction/ˈtʃɑːdʒɪŋ baɪ ɪnˈdʌkʃn/ 感应起电 gǎn yìng qǐ diàn
ground/ɡraʊnd/ 接地 jiē dì
polarization/ˌpəʊləraɪˈzeɪʃn/ 极化 jí huà
electroscope/ɪˌlektrəʊˈskəʊp/ 验电器 yàn diàn qì
electric field/ɪˈlektrɪk fiːld/ 电场 diàn chǎng
test charge/test tʃɑːdʒ/ 检验电荷 jiǎn yàn diàn hè
Field lines/fiːld laɪnz/ 电场线 diàn chǎng xiàn
uniform/ˈjuːnɪfɔːm/ 均匀 jūn yún
continuous charge distribution/kənˈtɪnjuːəs tʃɑːdʒ ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/ 连续电荷分布 lián xù diàn hè fēn bù
linear charge density/ˈlɪnɪə tʃɑːdʒ ˈdensɪti/ 线电荷密度 xiàn diàn hè mì dù
surface charge density/ˈsɜːfɪs tʃɑːdʒ ˈdensɪti/ 面电荷密度 miàn diàn hè mì dù
volume charge density/ˈvɒljuːm tʃɑːdʒ ˈdensɪti/ 体电荷密度 tǐ diàn hè mì dù
symmetry/ˈsɪmətri/ 对称性 duì chèn xìng
8.4

Campos Elétricos de Distribuições de Carga

Programa

Objetivo de Aprendizagem 8.4.A: Descrever o campo elétrico resultante de uma dada distribuição de carga.

  • 8.4.A.1 Expressões para o campo elétrico de distribuições de carga especificadas podem ser encontradas usando integração e o princípio da superposição.
    • Equação relevante: $\vec{E} = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} \displaystyle\int \dfrac{dq}{r^2} \hat{r}$
  • 8.4.A.2 Considerações de simetria de certas distribuições de carga podem simplificar a análise do campo elétrico resultante dessas distribuições de carga.

Declaração de Escopo: AP Physics C: Eletricidade e Magnetismo espera apenas que os alunos usem cálculo para encontrar o campo elétrico resultante das seguintes distribuições de carga e localizações: um fio ou cilindro infinito uniformemente carregado a uma distância de seu eixo central, um anel fino de carga em uma localização ao longo do eixo do anel, um arco semicircular ou parte de um arco semicircular em seu centro, e um fio finito ou linha de carga em um ponto colinear com a linha de carga ou em uma localização ao longo de sua bissetriz perpendicular.

Fonte: College Board AP Course and Exam Description

Para uma distribuição contínua de carga 连续电荷分布, divida o objeto em partes ⟨$dq$⟩ e integre seus campos de carga pontual:

$$\vec{E}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int \frac{dq}{r^2}\,\hat{r}.$$

Escreva ⟨$dq$⟩ usando a densidade correta: ⟨$\lambda\,dl$⟩ com a densidade linear de carga 线电荷密度 (uma linha ou anel), ⟨$\sigma\,dA$⟩ com a densidade superficial de carga 面电荷密度, ou ⟨$\rho\,dV$⟩ com a densidade volumétrica de carga 体电荷密度. Then use simetria 对称性 para cancelar componentes antes de integrar – essa frase geralmente vale pontos. Casos de cálculo do AP: uma linha finita (ponto colinear ou mediatriz perpendicular), um fio ou cilindro infinito, um anel em seu eixo, e um arco em seu centro.

Exemplo resolvido (anel, no eixo). Um anel de raio $R$ carrega carga $Q$. Em um ponto $z$ ao longo do eixo, cada elemento está a uma distância $\sqrt{R^2+z^2}$, e por simetria as componentes laterais se cancelam, restando apenas a parte axial ($\cos\alpha=z/\sqrt{R^2+z^2}$):

$$E_z=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int\frac{dq}{R^2+z^2}\cdot\frac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Qz}{(R^2+z^2)^{3/2}}.$$

Verifique os limites: $E=0$ no centro ($z=0$), e longe ($z\gg R$) ele torna-se $kQ/z^2$ – uma carga pontual, como deve ser.

8.5

Fluxo Elétrico

Programa

Objetivo de Aprendizagem 8.5.A: Descrever o fluxo elétrico através de uma área arbitrária ou forma geométrica.

  • 8.5.A.1 Fluxo descreve a quantidade de uma dada grandeza que passa por uma área dada.
  • 8.5.A.2 Para um campo elétrico $\vec{E}$ que é constante através de uma área $\vec{A}$, o fluxo elétrico através da área é definido como $\Phi_E = \vec{E} \bullet \vec{A}$.
    • 8.5.A.2.i A direção do vetor área é definida como perpendicular ao plano da superfície e para fora de uma superfície fechada.
    • 8.5.A.2.ii O sinal do fluxo é dado pelo produto escalar do vetor do campo elétrico e do vetor da área.
  • 8.5.A.3 O fluxo elétrico total passando por uma superfície é definido pela integral de superfície do campo elétrico sobre a superfície.
    • Equação relevante: $\Phi_E = \displaystyle\int \vec{E} \cdot d\vec{A}$

Fonte: College Board AP Course and Exam Description

Fluxo elétrico e lei de Gauss

Fluxo elétrico 电通量 mede quanto campo passa através de uma superfície:

$$\Phi_E=\int \vec{E}\cdot d\vec{A}.$$

Para um campo uniforme através de uma área plana, $\Phi_E=EA\cos\theta$, onde o vetor área 面积矢量 é perpendicular à superfície. O fluxo é positivo onde linhas de campo saem de uma superfície fechada e negativo onde elas entram – apenas a componente perpendicular de $\vec{E}$ conta.

Fluxo elétrico através de uma superfície depende do ângulo entre o campo e a normal da superfície
Fluxo elétrico através de uma superfície depende do ângulo entre o campo e a normal da superfície
Vocabulário Treinar
Inglês Chinês Pinyin
Electric flux/ɪˈlektrɪk flʌks/ 电通量 diàn tōng liàng
area vector/ˈeərɪə ˈvektə/ 面积矢量 miàn jī shǐ liàng
Gauss's law/ˈɡaʊsɪz lɔː/ 高斯定律 gāo sī dìng lǜ
8.6

Lei de Gauss

Programa

Objetivo de Aprendizagem 8.6.A: Descrever as propriedades de uma distribuição de carga aplicando a Lei de Gauss.

  • 8.6.A.1 A Lei de Gauss relaciona o fluxo elétrico através de uma superfície gaussiana à carga envolvida por essa superfície.
    • Equações Relevantes: $\Phi_E = \dfrac{q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}$ e $\displaystyle\oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = \dfrac{q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}$
  • 8.6.A.2 Uma superfície gaussiana é uma superfície tridimensional fechada.
  • 8.6.A.3 O fluxo elétrico total através de uma superfície gaussiana é independente do tamanho da superfície gaussiana se a quantidade de carga envolvida permanecer constante.
  • 8.6.A.4 Superfícies gaussianas são tipicamente construídas de modo que o campo elétrico gerado pela carga envolvida seja perpendicular ou paralelo a diferentes regiões da superfície gaussiana, resultando em uma integral de superfície simplificada.
  • 8.6.A.5 Se uma função de densidade de carga for dada para uma distribuição de carga, a carga total pode ser determinada integrando a densidade de carga sobre o comprimento (uma dimensão), área (duas dimensões) ou volume (três dimensões) da distribuição de carga. Por exemplo: $Q_{\text{total}} = \displaystyle\int \rho(\vec{r})\, dV$
  • 8.6.A.6 As equações de Maxwell são o conjunto de equações que descrevem completamente o eletromagnetismo. A Lei de Gauss é a primeira equação de Maxwell.
    • Equação relevante: $\displaystyle\oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = \dfrac{q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}$

Declaração de Escopo: AP Physics C: Eletricidade e Magnetismo espera apenas que os alunos apliquem quantitativamente a Lei de Gauss a cargas pontuais e distribuições de carga que possuem simetria esférica, cilíndrica ou plana.

Fonte: College Board AP Course and Exam Description

Lei de Gauss 高斯定律 – a primeira das equações de Maxwell – relaciona o fluxo através de qualquer superfície fechada com a carga dentro dela:

$$\oint \vec{E}\cdot d\vec{A}=\frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}.$$

Ela é válida para qualquer superfície fechada, mas resolve para $E$ apenas quando a simetria permite escolher uma superfície gaussiana 高斯面 na qual $E$ é constante e perpendicular (ou paralela, contribuindo zero). As três simetrias testadas pela AP: simetria esférica 球对称 (esfera concêntrica), simetria cilíndrica 柱对称 (cilindro coaxial) e simetria planar 平面对称 (uma "caixa de pílula" que atravessa).

Uma superfície gaussiana é escolhida para combinar com a simetria da carga
Uma superfície gaussiana é escolhida para combinar com a simetria da carga

Exemplo resolvido (esfera). Fora de uma esfera de carga total $Q$, uma superfície gaussiana esférica de raio $r$ dá $E(4\pi r^2)=Q/\varepsilon_0$, então $E=\dfrac{kQ}{r^2}$ – idêntico a uma carga pontual no centro. Dentro de uma esfera sólida uniformemente carregada de raio $R$, a superfície envolve apenas $Q_{\text{enc}}=Q\,r^3/R^3$, então $E=\dfrac{kQr}{R^3}$: zero no centro, crescendo linearmente até a superfície.

Exemplo resolvido (fio). Para um fio infinito com carga por comprimento $\lambda$, tome um cilindro coaxial de raio $r$ e comprimento $L$. As extremidades não contribuem ($\vec{E}\perp d\vec{A}$), então $E(2\pi rL)=\dfrac{\lambda L}{\varepsilon_0}$ e $E=\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}$. O mesmo método de caixa de pílula dá o campo de uma folha infinita, $E=\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}$, uniforme em ambos os lados.

Habilidade de prova. Uma resposta completa da lei de Gauss tem quatro partes: nomeie a superfície, declare o argumento de simetria (por que $E$ é constante e perpendicular nela), conte $Q_{\text{enc}}$, depois resolva. Pular a frase de simetria perde o ponto de raciocínio – e lembre-se que a lei de Gauss também explica por que $E=0$ dentro de qualquer condutor em equilíbrio.

Vocabulário Treinar
Inglês Chinês Pinyin
Gaussian surface/ˈɡaʊʃn ˈsɜːfɪs/ 高斯面 gāo sī miàn
spherical symmetry/sˈferɪkl ˈsɪmətri/ 球对称 qiú duì chèn
cylindrical symmetry/sɪˈlɪndrɪkl ˈsɪmətri/ 柱对称 zhù duì chèn
planar symmetry/ˈpleɪnə ˈsɪmətri/ 平面对称 píng miàn duì chèn
8.6

Dicas de prova

  • Use a lei de Coulomb $F=\tfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\tfrac{q_1 q_2}{r^2}$ e sobreponha forças como vetores (componentes, não magnitudes).
  • Para uma carga contínua, integre $d\vec E$ sobre $dq=\lambda\,dl,\ \sigma\,dA,\ \rho\,dV$; use simetria para cancelar componentes.
  • O campo aponta para fora de cargas positivas e para dentro de cargas negativas; desenhe as linhas de campo corretamente.
  • Distinga a força sobre uma carga ($\vec F=q\vec E$) do campo que a carga cria.
  • Mantenha a constante $k=\tfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}$ correta e verifique as unidades.

Aulas interativas sobre este tópico

Passe por ele passo a passo, com exercícios de verificação instantânea.

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