삼각함수 및 극함수

학습 목표 3.1.A: 언어적 표현을 바탕으로 주기적 관계의 그래프를 그립니다.

• 3.1.A.1 입력값이 증가함에 따라 출력값이 연속된 동일한 길이의 구간에서 반복 패턴을 보이면 두 측면 사이에 주기적 관계를 식별할 수 있습니다.
• 3.1.A.2 주기적 관계의 그래프는 해당 관계의 단일 주기의 그래프를 통해 그릴 수 있습니다.

학습 목표 3.1.B: 언어적 표현을 바탕으로 주기함수의 주요 특징을 설명합니다.

• 3.1.B.1 함수의 주기(period) 는 모든 $x$에 대해 $f(x + k) = f(x)$가 성립하는 가장 작은 양의 값 $k$입니다. 따라서 주기함수의 거동은 너비가 $k$인 임의의 구간으로 완전히 결정됩니다.
• 3.1.B.2 주기(period)는 연속된 동일한 길이의 출력값을 조사하여 패턴이 반복되기 시작하는 지점을 찾아 추정할 수 있습니다.
• 3.1.B.3 주기함수는 증가 구간과 감소 구간, 서로 다른 오목도, 다양한 변화율 등의 다른 함수의 특성을 나타낸다. 그러나 주기함수에서는 한 주기 내에서 발견되는 모든 특성이 이후 모든 주기에 동일하게 나타난다.

학습 목표 3.2.A: 단위원을 사용하여 각도의 사인, 코사인, 탄젠트를 구하세요.

• 3.2.A.1 좌표평면에서 각도가 표준 위치에 있을 때, 꼭짓점이 원점과 일치하고 한 변이 양의 $x$축과 일치합니다. 다른 변을 종단 변이라고 합니다. 양수 및 음수 각도 측정값은 각각 양의 $x$축에서 반시계 방향 및 시계 방향으로 회전함을 나타냅니다. 표준 위치에 있는 종단 변이 동일한 각도는 정수 번의 회전만큼 차이납니다.
• 3.2.A.2 표준 위치의 각도에 대한 라디안 측정값은 원점을 중심으로 하는 원의 호 길이가 해당 각자에 의해서 형성되는 원의 반지름에 대한 비율입니다. 반지름이 $1$인 단위원에서는 라디안 측정값은 형성된 호의 길이와 같습니다.
• 3.2.A.3 Given an angle in standard position and a circle centered at the origin, there is a point, $P$, where the terminal ray intersects the circle. The sine of the angle is the ratio of the vertical displacement of $P$ from the $x$-axis to the distance between the origin and point $P$. Therefore, for a unit circle, the sine of the angle is the $y$-coordinate of point $P$.
• 3.2.A.4 표준 위치의 각도와 원점을 중심으로 하는 원이 주어졌을 때, 종단 변이 원과 만나는 점 $P$이 존재합니다. 이 각도의 코사인(cosine) 은 $P$의 $y$축으로부터의 수평 이동거리와 원점에서 점 $P$까지의 거리와의 비율입니다. 따라서 단위원에서는 이 각도의 코사인은 점 $P$의 $x$좌표입니다.
• 3.2.A.5 Given an angle in standard position, the tangent of the angle is the slope, if it exists, of the terminal ray. Because the slope of the terminal ray is the ratio of the vertical displacement to the horizontal displacement over any interval, the tangent of the angle is the ratio of the $y$-coordinate to the $x$-coordinate of the point at which the terminal ray intersects the unit circle; alternately, it is the ratio of the angle's sine to its cosine.

학습 목표 3.3.A: 원점을 중심으로 하는 원 위의 점의 좌표를 구하세요.

• 3.3.A.1 표준 위치에서 측정이 $\theta$인 각도와 원점을 중심으로 반지름이 $r$인 원이 주어졌을 때, 종단 변이 원과 만나는 점 $P$이 존재합니다. 점 $P$의 좌표는 $(r\cos\theta, r\sin\theta)$입니다.
• 3.3.A.2 등변삼각형과 정삼각형의 기하학적 성질을 이용하고, 각도의 사분면에 따른 값의 부호를 고려하면, 다중각이 $\dfrac{\pi}{4}$과 $\dfrac{\pi}{6}$ 라디안의 배수이며 종단 변이 축 위에 있지 않은 각도에 대한 코사인 및 사인의 정확한 값을 구할 수 있습니다.

학습 목표 3.4.A: 단위원을 사용하여 사인과 코사인 함수의 표현을 만드세요.

• 3.4.A.1 Given an angle of measure $\theta$ in standard position and a unit circle centered at the origin, there is a point, $P$, where the terminal ray intersects the circle. The sine function, $f(\theta) = \sin\theta$, gives the $y$-coordinate, or vertical displacement from the $x$-axis, of point $P$. The domain of the sine function is all real numbers.
• 3.4.A.2 As the input values, or angle measures, of the sine function increase, the output values oscillate between $-1$ and $1$, taking every value in between and tracking the vertical distance of points on the unit circle from the $x$-axis.
• 3.4.A.3 Given an angle of measure $\theta$ in standard position and a unit circle centered at the origin, there is a point, $P$, where the terminal ray intersects the circle. The cosine function, $f(\theta) = \cos\theta$, gives the $x$-coordinate, or horizontal displacement from the $y$-axis, of point $P$. The domain of the cosine function is all real numbers.
• 3.4.A.4 코사인 함수의 입력값, 즉 각도의 크기가 커질수록 출력값은 $-1$와 $1$ 사이에서 진동하며, 그 사이의 모든 값을 취하고 단위원 위의 점들의 수평 거리를 $y$축에 따라 나타냅니다.

학습 목표 3.5.A: 사인과 코사인의 주요 특성을 식별합니다.

• 3.5.A.1 사인파 함수란 $f(\theta) = \sin\theta$에 가산 및 산 변환을 가한 임의의 함수를 말합니다. 사인과 코사인 함수는 모두 $\cos\theta = \sin\left(\theta + \dfrac{\pi}{2}\right)$를 갖는 사인파 함수입니다.
• 3.5.A.2 사인파 함수의 주기와 주파수는 서로 역수 관계이다. $f(\theta) = \sin\theta$와 $g(\theta) = \cos\theta$의 주기는 $2\pi$이고, 주파수는 $\dfrac{1}{2\pi}$이다.
• 3.5.A.3 삼각함수의 진폭은 최대값과 최소값의 차이의 절반입니다. $f(\theta) = \sin\theta$ 및 $g(\theta) = \cos\theta$의 진폭은 $1$입니다.
• 3.5.A.4 사인파 함수의 그래프의 중선(midline)은 함수의 최대값과 최소값의 평균(산술 평균)에 의해 결정됩니다. $y = \sin\theta$과 $y = \cos\theta$의 그래프의 중선은 $y = 0$입니다.
• 3.5.A.5 입력값이 증가함에 따라 조화함수 그래프는 오목 아래(O-shaped)와 오목 위(U-shaped) 사이를 진동합니다.
• 3.5.A.6 $y = \sin\theta$의 그래프는 원점 주위의 회전 대칭성을 가지므로 홀함수입니다. $y = \cos\theta$의 그래프는 $y$축에 대해 반사 대칭성을 가지므로 짝함수입니다.

학습 목표 3.6.A: 조화함수의 진폭, 수직 이동, 주기, 위상 이동을 식별합니다.

• 3.6.A.1 $f(\theta) = a\sin(b(\theta + c)) + d$ 또는 $g(\theta) = a\cos(b(\theta + c)) + d$ 형태로 쓸 수 있는 함수, 여기서 $a, b, c,$와 $d$는 실수이고 $a \neq 0$인 함수들은 조화함수이며 사인과 코사인의 변환입니다. 가법 및 곱법 변환은 두 함수 모두에 동일하게 적용되는데, 이는 삼함수가 삼함수를 $-\dfrac{\pi}{2}$만큼 위상 이동시킨 것과 같기 때문입니다.
• 3.6.A.2 삼함수 $f(\theta) = \sin\theta$의 가법 변환 $g(\theta) = \sin\theta + d$의 그래프는 삼함수 $f$의 그래프, 기준선 포함하여,를 $d$만큼 수직 이동한 것입니다. 삼함수에 같은 변환을 적용해도 동일한 결과가 나옵니다.
• 3.6.A.3 삼함수 $f(\theta) = \sin\theta$의 가법 변환 $g(\theta) = \sin(\theta + c)$의 그래프는 삼함수 $f$의 그래프를 $-c$만큼 수평 이동(위상 이동)한 것입니다. 삼함수에 같은 변환을 적용해도 동일한 결과가 나옵니다.
• 3.6.A.4 삼함수 $f(\theta) = \sin\theta$의 곱법 변환 $g(\theta) = a\sin\theta$의 그래프는 삼함수 $f$의 그래프를 수직 확장하며, 진폭이 $|a|$배 differ합니다. 삼함수에 같은 변환을 적용해도 동일한 결과가 나옵니다.
• 3.6.A.5 삼함수 $f(\theta) = \sin\theta$의 곱법 변환 $g(\theta) = \sin(b\theta)$의 그래프는 삼함수 $f$의 그래프를 수평 확장하며, 주기가 $\left|\dfrac{1}{b}\right|$배 differ합니다. 삼함수에 같은 변환을 적용해도 동일한 결과가 나옵니다.
• 3.6.A.6 $y = f(\theta) = a\sin(b(\theta + c)) + d$의 그래프는 진폭이 $|a|$, 주기가 $\left|\dfrac{1}{b}\right|2\pi$이며, 중위선($y = 0$)으로부터 수직 이동량이 $d$이고 위상 이동량이 $-c$입니다. 코사인함수에 동일한 변환을 적용해도 같은 결과가 나옵니다.

학습 목표 3.7.A: 주기적 현상에 대한 조화함수 모델을 구성합니다.

• 3.7.A.1 최대값 또는 최소값 출력이 반복되기 시작하는 입력 값의 가장 작은 구간, 즉 연속된 최대값이나 최소값 사이의 입력 값 구간을 사용하여 삼각함수 모델의 주기 및 주파수를 결정하거나 추정할 수 있습니다.
• 3.7.A.2 최대값과 최소값의 출력값을 사용하여 조화함수 모델의 진폭과 수직 이동을 결정하거나 추정할 수 있습니다.
• 3.7.A.3 실제 입력-출력 값 쌍을 조화함수 모델이 생성하는 입력-출력 값 쌍과 비교하여 모델의 위상 이동을 결정하거나 추정할 수 있습니다.
• 3.7.A.4 기술(technology)을 사용하여 핵심 값을 추정하거나 조화회귀 분석을 수행함으로써 데이터셋에 대한 조화함수 모델을 구성할 수 있습니다.
• 3.7.A.5 데이터셋을 모델링하는 조화함수는 종종 맥락적 정의역 내에서만 유용하며, 독립 변수의 값을 사용하여 종속 변수의 값을 예측하는 데 사용할 수 있습니다.

학습 목표 3.8.A: 단원을 사용하여 탄젠트함수의 표현을 구성합니다.

• 3.8.A.1 원점을 중심으로 하는 단원과 표준 위치에 있는 크기가 $\theta$인 각도가 주어졌을 때, 말단 반사선이 원과 만나는 점 $P$이 존재합니다. 탄젠트함수 $f(\theta) = \tan\theta$는 말단 반사선의 기울기를 나타냅니다.
• 3.8.A.2 종각 위의 두 점 사이의 $y$값의 변화량이 $x$값의 변화량으로 나뉜 비율이 종각의 기울기이므로, 탄젠트 함수는 또한 사인 함수를 코사인 함수로 나눈 비율이기도 합니다. 따라서 $\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$이며, 이는 $\cos\theta \neq 0$일 때 성립합니다.

학습 목표 3.8.B: 탄젠트 함수의 주요 특성을 설명합니다.

• 3.8.B.1 끝선의 기울기 값은 원의 반전(½ 회전)마다 반복되므로, 탄젠트 함수의 주기는 $\pi$입니다.
• 3.8.B.2 탄젠트 함수는 $\theta = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$인 입력 값에서 주기적 비점근적(asymptotic) 거동을 보이며, 이는 $k$의 정수 값일 때 $\cos\theta = 0$이기 때문입니다.
• 3.8.B.3 탄젠트 함수는 증가하며, 연속된 두 비점근적 선(asymptotes) 사이에서 그래프가 아래로 볼록(concave down)에서 위로 볼록(concave up)으로 변합니다.

학습 목표 3.9.A: 제한된 정의역에서 사인, 코사인 및 탄젠트 함수의 역함수의 해석적 및 그래프 표현을 구성합니다.

• 3.9.A.1 역삼각함수는 대응 삼각함수와 입출력 값이 바뀐 것이므로, 역삼각함수의 출력 값은 일반적으로 각도 크기로 해석되고, 입력 값은 대응 삼각함수의 범위에 있는 값입니다.
• 3.9.A.2 역삼각함수는 아크사인, 아크코사인, 아크탄젠트라고 불리며, 기호로는 $\sin^{-1}x, \cos^{-1}x,$와 $\tan^{-1}x$로도 표기된다. 해당 삼각함수가 주기함수이므로 제한된 정의역을 가져야만 역함수를 가질 수 있다.
• 3.9.A.3 각 역함수를 정의하기 위해 사인 함수의 정의역은 $\left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]$로, 코사인 함수의 정의역은 $[0, \pi]$로, 탄젠트 함수의 정의역은 $\left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right)$로 제한됩니다.

학습 목표 3.10.A: 삼각함수가 포함된 방정식과 부등식을 풉니다.

• 3.10.A.1 역삼각함수는 삼각함수가 포함된 방정식과 부등식을 푸는 데 유용하지만, 정의역 제한으로 인해 해를 수정해야 할 수 있습니다.
• 3.10.A.2 삼각함수는 주기적이므로 삼각방정식의 해는 종종 무한히 많습니다.
• 3.10.A.3 맥락적 시나리오에서 발생하는 삼각방정식과 부등식에는Often 맥락으로부터 추론할 수 있는 정의역 제한이 있어 해의 수가 제한됩니다.

학습 목표 3.11.A: 사인과 코사인의 비를 포함하는 함수의 주요 특성을 식별할 수 있다.

• 3.11.A.1 정색함수 $f(\theta) = \sec\theta$는 역함수 관계에 있으며, 여기서 $\cos\theta \neq 0$이다.
• 3.11.A.2 코사인 함수 $f(\theta) = \csc\theta$는 사인 함수의 역수이며, 여기서 $\sin\theta \neq 0$이다.
• 3.11.A.3 정색함수와 정.population함수의 그래프는 각각 코사인과 사인이 0이 되는 지점에 수직점근선을 가지며, 범위는 $(-\infty, -1] \cup [1, \infty)$이다.
• 3.11.A.4 코탄젠트 함수 $f(\theta) = \cot\theta$는 탄젠트 함수의 역수이며, 여기서 $\tan\theta \neq 0$입니다. 또한, $\cot\theta = \dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}$로 표기할 수 있으며, 여기서 $\sin\theta \neq 0$입니다.
• 3.11.A.5 코탄젠트 함수의 그래프는 정의역 값이 $\tan\theta = 0$인 지점에 수직 점근선을 가지며, 연속된 점근선 사이에서 감소합니다.

학습 목표 3.12.A: 피타고라스 항등식을 사용하여 삼각함수 표현을 동등한 형태로 바꾼다.

• 3.12.A.1 원단위원에 좌표 $(\cos\theta, \sin\theta)$를 가지는 점을 갖는 직각삼각형에 피타고라스 정리를 적용하면 피타고라스 항등식 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$이 성립한다.
• 3.12.A.2 피타고라스 항등식은 삼각함수가 포함된 다른 형태로 대수적으로 변형될 수 있으며, 예로 $\tan^2\theta = \sec^2\theta - 1$와 같이, 적절한 정의역 제한 하에서 삼각관계(예: $\arcsin x = \arccos\left(\sqrt{1 - x^2}\right)$)를 증명하는 데 사용할 수 있습니다.

학습 목표 3.12.B: 사인과 코사인의 합 항등식을 사용하여 삼각함수 표현을 동등한 형태로 바꾼다.

• 3.12.B.1 사인의 합 항등식은 $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$입니다.
• 3.12.B.2 코사인의 합 항등식은 $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$입니다.
• 3.12.B.3 사인과 코사인의 합 항등식은 차 항등식 및 이중각 항등식으로도 사용될 수 있습니다.
• 3.12.B.4 삼각함수의 성질, 알려진 삼각항등식 및 기타 대수적 성질을 사용하여 추가적인 삼각항등식을 검증할 수 있습니다.

학습 목표 3.12.C: 삼각함수의 동치 해석적 표현을 사용하여 방정식을 풉니다.

• 3.12.C.1 특정 삼각함수 표현의 동등한 형태는 정보를 더 쉽게 접근할 수 있게 한다.
• 3.12.C.2 동치 삼각형태는 삼각방정식과 부등식을 푸는 데 유용할 수 있습니다.

학습 목표 3.13.A: 직교좌표계와 극좌표계를 사용하여 평면상의 점의 위치를 결정합니다.

• 3.13.A.1 극좌표계는 원점 중심의 원 그리드와 원점을 지나는 선을 기반으로 합니다. 극좌표는 순서쌍 $(r, \theta)$로 정의되며, 여기서 $|r|$는 점이 위치한 원의 반지름을, $\theta$는 표준 위치에서 끝단선이 점을 포함하는 각의 크기를 나타냅니다. 극좌표계에서 같은 점은 여러 가지 방식으로 표현될 수 있습니다.
• 3.13.A.2 극좌표계에서의 점의 좌표 $(r, \theta)$는 $x = r\cos\theta$과 $y = r\sin\theta$을 사용하여 직교좌표계의 좌표 $(x, y)$로 변환할 수 있습니다.
• 3.13.A.3 직교좌표계에서의 점의 좌표 $(x, y)$는 $r = \sqrt{x^2 + y^2}$와 $\theta = \arctan\left(\dfrac{y}{x}\right)$을 사용하여 극좌표계의 좌표 $(r, \theta)$로 변환할 수 있으며, 이때 $x < 0$에 대해 $x > 0$ 또는 $\theta = \arctan\left(\dfrac{y}{x}\right) + \pi$입니다.
• 3.13.A.4 복소수는 복소평면 위의 점으로 이해할 수 있으며, 해당 직각좌표계 또는 극좌표에 의해 결정됩니다. 복소수의 직각좌표가 $(a, b)$일 때, 이는 $a + bi$로 표현될 수 있습니다. 복소수의 극좌표가 $(r, \theta)$일 때, 이는 $(r\cos\theta) + i(r\sin\theta)$로 표현될 수 있습니다.

학습 목표 3.14.A: 극함수의 그래프를 그리세요.

• 3.14.A.1 극좌표에서 함수 $r = f(\theta)$의 그래프는 입력값이 각도 측정값이고 출력값이 반지름인 값들의 입출력 쌍으로 구성됩니다.
• 3.14.A.2 극함수 $r = f(\theta)$의 도메인은 그래프상에서 주어진 부분으로 제한할 수 있으며, 원하는 각도와 반지름에 해당하는 끝점을 선택하여 구현합니다.
• 3.14.A.3 극함수 $r = f(\theta)$의 형태에서 그래프를 그릴 때, 입력값의 변화는 양의 $x$축에서의 각도 측정값 변화에 대응하고, 출력값의 변화는 원점으로부터의 거리 변화에 대응합니다.

학습 목표 3.15.A: 극함수의 그래프 특성을 설명하세요.

• 3.15.A.1 극함수 $r = f(\theta)$가 양수이면서 증가하거나, 음수이면서 감소하는 경우, $f(\theta)$과 원점 사이의 거리는 증가합니다.
• 3.15.A.2 극함수 $r = f(\theta)$가 양수이면서 감소하거나, 음수이면서 증가하는 경우, $f(\theta)$과 원점 사이의 거리는 감소합니다.
• 3.15.A.3 극함수 $r = f(\theta)$가 한 구간 내에서 증가에서 감소로, 혹은 감소에서 증가로 변할 때, 이 함수는 해당 구간에 대해 상대적 극값을 가지며, 이는 원점에 상대적으로 가장 가깝거나 가장 먼 점에 해당합니다.
• 3.15.A.4 The average rate of change of $r$ with respect to $\theta$ over an interval of $\theta$ is the ratio of the change in the radius values to the change in $\theta$ over an interval of $\theta$. Graphically, the average rate of change indicates the rate at which the radius is changing per radian.
• 3.15.A.5 The average rate of change of $r$ with respect to $\theta$ over an interval of $\theta$ can be used to estimate values of the function within the interval.