三角関数および極座標関数

学習目標 3.1.A: 言語表現に基づく周期関係のグラフを作成する。

• 3.1.A.1 入力値が増加するにつれて、出力値が連続した等しい長さの区間で繰り返しパターンを示す場合、ある文脈の2つの側面の間に周期関係が存在すると特定できる。
• 3.1.A.2 周期関係のグラフは、その関係の単一サイクルのグラフから作成できる。

学習目標 3.1.B: 言語表現に基づき、周期関数の重要な特徴を説明する。

• 3.1.B.1 関数の 周期 は、定義域内のすべての $x$ に対して $f(x + k) = f(x)$ が成り立つ最小の正の値 $k$ である。したがって、周期関数の振る舞いは幅 $k$ のいかなる区間によっても完全に決定される。
• 3.1.B.2 周期は、連続する等しい長さの出力値を検証し、パターンが繰り返され始める場所を見つけることで推定できる。
• 3.1.B.3 周期関数は、増減区間や異なる凹性、および様々な変化率など、他の関数の特徴を持つことがある。しかし、周期関数においては、関数の1つの周期で見られる特徴は、すべての周期に現れる。

学習目標 3.2.A： 単位円を用いて角度の正弦、余弦、正接を求める。

• 3.2.A.1 座標平面上で、角度が標準位置にあるのは、頂点が原点と一致し、片方の辺が正の $x$ 軸と一致するときです。もう一方の辺は終辺と呼ばれます。正および負の角度測定値は、それぞれ反時計回りと時計回りに正の $x$ 軸から回転することを示します。標準位置にある終辺を共有する角度は、整数周回数だけ異なります。
• 3.2.A.2 標準位置にある角度のラジアン測定値は、原点を中心とする円の弧長（その角度によって切り取られる）と、その円の半径の比です。半径が $1$ の単位円では、ラジアン測定値は切り取られた弧の長さと同じです。
• 3.2.A.3 標準位置にある角度と原点-centeredの円が与えられたとき、終辺が円と交わる点 $P$ が存在します。この角度の正弦は、$P$ の $x$ 軸からの垂直方向の変位と、原点と点 $P$ との間の距離の比です。したがって、単位円の場合、この角度の正弦は点 $P$ の $y$ 座標となります。
• 3.2.A.4 標準位置にある角度と原点-centeredの円が与えられたとき、終辺が円と交わる点 $P$ が存在します。この角度の余弦は、$P$ の $y$ 軸からの水平方向の変位と、原点と点 $P$ との間の距離の比です。したがって、単位円の場合、この角度の余弦は点 $P$ の $x$ 座標となります。
• 3.2.A.5 標準位置にある角度の正接は、その傾き（存在する場合）です。終辺の傾きは、任意の区間における垂直方向の変位と水平方向の変位の比であるため、この角度の正接は、終辺が単位円と交わる点の $y$ 座標と $x$ 座標の比、あるいは等しく、この角度の正弦と余弦の比となります。

学習目標 3.3.A： 原点-centeredの円上の点の座標を求める。

• 3.3.A.1 標準位置にある測定値 $\theta$ の角度と、原点-centeredで半径 $r$ の円が与えられたとき、終辺が円と交わる点 $P$ が存在します。点 $P$ の座標は $(r\cos\theta, r\sin\theta)$ です。
• 3.3.A.2 二等辺直角三角形や正三角形の幾何学、および角度の象限に基づいた値の符号に注意しながら、多倍角（$\dfrac{\pi}{4}$ および $\dfrac{\pi}{6}$ ラジアン）で終辺が軸上にない角度の余弦と正弦の正確な値を求めることができます。

学習目標 3.4.A： 単位円を用いて正弦関数と余弦関数の表現を作成する。

• 3.4.A.1 標準位置にある測定値 $\theta$ の角度と、原点-centeredの単位円が与えられたとき、終辺が円と交わる点 $P$ が存在します。正弦関数 $f(\theta) = \sin\theta$ は、点 $P$ の $y$ 座標、すなわち $x$ 軸からの垂直方向の変位を与えます。正弦関数の定義域はすべての実数です。
• 3.4.A.2 正弦関数の入力値、すなわち角度の大きさが増加するにつれ、出力値は $-1$ と $1$ の間で振動し、その間のすべての値を取り、単位円上の点の $x$ 軸からの垂直距離を追跡する。
• 3.4.A.3 標準位置にある大きさ $\theta$ の角と原点を中心とする単位円が与えられたとき、終辺が円と交わる点 $P$ が存在する。余弦関数 $f(\theta) = \cos\theta$ は、点 $P$ の $x$ 座標、すなわち $y$ 軸からの水平変位を与える。余弦関数の定義域はすべての実数である。
• 3.4.A.4 余弦関数の入力値、すなわち角度の大きさが増加するにつれ、出力値は $-1$ と $1$ の間で振動し、その間のすべての値を取り、単位円上の点の $y$ 軸からの水平距離を追跡する。

学習目標 3.5.A: 正弦関数と余弦関数の主要な特徴を特定する。

• 3.5.A.1 調和関数とは、$f(\theta) = \sin\theta$ に対する加算および乗法的変換を含む任意の関数を指す。正弦関数と余弦関数はどちらも調和関数であり、$\cos\theta = \sin\left(\theta + \dfrac{\pi}{2}\right)$ を持つ。
• 3.5.A.2 正弦曲線の周期と周波数は互いに逆数である。関数 $f(\theta) = \sin\theta$ と $g(\theta) = \cos\theta$ の周期は $2\pi$ であり、周波数は $\dfrac{1}{2\pi}$ である。
• 3.5.A.3 調和関数の振幅は、最大値と最小値の差の半分である。$f(\theta) = \sin\theta$ と $g(\theta) = \cos\theta$ の振幅は $1$ である。
• 3.5.A.4 正弦曲線のグラフの中線は、関数の最大値と最小値の平均、すなわち算術平均によって決定される。関数 $y = \sin\theta$ と $y = \cos\theta$ のグラフの中線は $y = 0$ である。
• 3.5.A.5 入力値が増加するにつれ、調和関数のグラフは上に凸（凹）と下に凸（凸）の間で振動する。
• 3.5.A.6 $y = \sin\theta$ のグラフは原点について回転対称であり、したがって奇関数である。$y = \cos\theta$ のグラフは $y$ 軸について反射対称であり、したがって偶関数である。

学習目標 3.6.A: 調和関数の振幅、垂直シフト、周期、位相シフトを特定する。

• 3.6.A.1 ⟨$f(\theta) = a\sin(b(\theta + c)) + d$⟩ または ⟨$g(\theta) = a\cos(b(\theta + c)) + d$⟩ の形に書ける関数は、$a, b, c,$ と $d$ が実数であり $a \neq 0$ である場合、調和関数であり、正弦関数および余弦関数の変換である。加算および乗法的変換は正弦関数と余弦関数で同じである。なぜなら、余弦関数は正弦関数に対して $-\dfrac{\pi}{2}$ 単位の位相シフトを持つからである。
• 3.6.A.2 正弦関数 $f(\theta) = \sin\theta$ の加算変換 $g(\theta) = \sin\theta + d$ のグラフは、$f$ のグラフ、中線を含めて、$d$ 単位だけ垂直に平行移動したものである。同様の余弦関数への変換も同じ結果をもたらす。
• 3.6.A.3 正弦関数 $f(\theta) = \sin\theta$ の加算変換 $g(\theta) = \sin(\theta + c)$ のグラフは、$f$ のグラフを $-c$ 単位だけ水平に平行移動（位相シフト）させたものである。同様の余弦関数への変換も同じ結果をもたらす。
• 3.6.A.4 正弦関数 $f(\theta) = \sin\theta$ の乗法的変換 $g(\theta) = a\sin\theta$ のグラフは、$f$ のグラフの垂直拡大であり、振幅が $|a|$ 倍異なる。同様の余弦関数への変換も同じ結果をもたらす。
• 3.6.A.5 正弦関数 $f(\theta) = \sin\theta$ の乗法的変換 $g(\theta) = \sin(b\theta)$ のグラフは、$f$ のグラフの水平拡大であり、周期が $\left|\dfrac{1}{b}\right|$ 倍異なる。同様の余弦関数への変換も同じ結果をもたらす。
• 3.6.A.6 $y = f(\theta) = a\sin(b(\theta + c)) + d$ のグラフは、振幅が $|a|$ 単位、周期が $\left|\dfrac{1}{b}\right|2\pi$ 単位、$y = 0$ から $d$ 単位だけ垂直シフトされた中線を持ち、位相シフトが $-c$ 単位である。同様の余弦関数への変換も同じ結果をもたらす。

学習目標 3.7.A: 周期的現象の調和関数モデルを構築する。

• 3.7.A.1 最大または最小の出力値が繰り返し始める最初の入力値区間、すなわち連続する最大値または連続する最小値の間での入力値区間を用いて、調和関数モデルの周期と周波数を決定または推定できる。
• 3.7.A.2 最大および最小の出力値を用いて、調和関数モデルの振幅と垂直シフトを決定または推定できる。
• 3.7.A.3 実際の入力-出力値のペアを、調和関数モデルによって生成される入力-出力値のペアと比較することで、モデルの位相シフトを決定または推定できる。
• 3.7.A.4 調和関数モデルは、技術を用いて主要な値を推定するか、調和回帰を行うことで、データセットに対して構築できる。
• 3.7.A.5 データセットをモデル化する調和関数は、通常、その文脈における定義域のみで有用であり、独立変数の値から従属変数の値を予測するために使用できる。

学習目標 3.8.A: 単位円を用いて正接関数の表現を構築する。

• 3.8.A.1 標準位置にある大きさ $\theta$ の角と原点を中心とする単位円が与えられたとき、終辺が円と交わる点 $P$ が存在する。正接関数 $f(\theta) = \tan\theta$ は、終辺の傾きを与える。
• 3.8.A.2 終辺の傾きがその線上の任意の2点における $y$ 値の変化量と $x$ 値の変化量の比であるため、正接関数は正弦関数と余弦関数の比としても表される。したがって、$\cos\theta \neq 0$ において $\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ が成立する。

学習目標 3.8.B: 正接関数の主要な特性を説明する。

• 3.8.B.1 終端線の傾きの値は円の半周ごとに繰り返されるため、正接関数の周期は $\pi$である。
• 3.8.B.2 正接関数は、整数 $k$ の入力値 $\theta = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$ で周期的な漸近線挙動を示し、それらの値において $\cos\theta = 0$ であるためである。
• 3.8.B.3 正接関数は増加し、連続する漸近線の間にグラフが下に凸から上に凸に変化する。

学習目標 3.9.A: 定義域を制限した正弦関数、余弦関数、および正接関数の逆関数の解析的およびグラフ的な表現を構成する。

• 3.9.A.1 逆三角関数では、入出力の値が対応する三角関数と入れ替わるため、逆三角関数の出力値は角度の大きさと解釈されることが多く、入力は対応する三角関数の値域内の値となる。
• 3.9.A.2 逆三角関数はそれぞれ arcsine（アークサイン）、arccosine（アークコサイン）、arctangent（アークタンジェント） と呼ばれ（また $\sin^{-1}x, \cos^{-1}x,$ および $\tan^{-1}x$ で表される）、対応する三角関数は周期を持つため、定義域が制限されていない限り逆関数として定義できない。
• 3.9.A.3 それぞれの逆関数を定義するために、正弦関数の定義域は $\left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]$ に、余弦関数の定義域は $[0, \pi]$ に、正接関数の定義域は $\left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right)$ に制限される。

学習目標 3.10.A: 三角関数を含む方程式および不等式を解く。

• 3.10.A.1 逆三角関数は、三角関数を含む方程式や不等式の解法に有用だが、定義域の制限により解を修正する必要がある場合がある。
• 3.10.A.2 三角関数は周期関数であるため、三角方程式には通常無限に多くの解が存在する。
• 3.10.A.3 具体的な文脈から生じる三角方程式や不等式では、文脈から暗黙に推測される定義域の制限があり、これにより解の数が限定されることが多い。

学習目標 3.11.A: 正弦と余弦の商を含む関数の重要な特徴を識別する。

• 3.11.A.1 接線関数 $f(\theta) = \sec\theta$ は、余弦関数の逆数であり、$\cos\theta \neq 0$ のとき成立する。
• 3.11.A.2 余割関数 $f(\theta) = \csc\theta$ は、正弦関数の逆数であり、$\sin\theta \neq 0$ のとき成立する。
• 3.11.A.3 接線および余割関数のグラフは、それぞれ余弦および正弦がゼロとなる位置に垂直漸近線を持ち、値域は $(-\infty, -1] \cup [1, \infty)$ である。
• 3.11.A.4 余切関数 $f(\theta) = \cot\theta$ は、正接関数の逆数であり、$\tan\theta \neq 0$ のとき成立する。同様に、$\cot\theta = \dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}$ であり、$\sin\theta \neq 0$ のとき成立する。
• 3.11.A.5 余切関数のグラフは、$\tan\theta = 0$ となる定義域の値において垂直漸近線を持ち、連続する漸近線の間に減少する。

学習目標 3.12.A: ピタゴラスの恒等式を用いて三角表达式を同等な形に変換する。

• 3.12.A.1 ピタゴラスの定理は、単位円上の点の座標が $(\cos\theta, \sin\theta)$ である直角三角形に適用でき、ピタゴラスの恒等式 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ を導く。
• 3.12.A.2 ピタゴラスの恒等式は、$\tan^2\theta = \sec^2\theta - 1$ など三角関数を含む他の形に代数的に変形可能であり、適切な定義域の制限とともに、$\arcsin x = \arccos\left(\sqrt{1 - x^2}\right)$ などの他の三角関係を確認するために使用できる。

学習目標 3.12.B: 正弦および余弦の和の公式を用いて三角表达式を同等な形に変換する。

• 3.12.B.1 正弦の和の公式は $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$ である。
• 3.12.B.2 余弦の和の公式は $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$ である。
• 3.12.B.3 正弦および余弦の和の公式は、差の公式および二倍角の公式としても使用できる。
• 3.12.B.4 三角関数の性質、既知の三角恒等式、および他の代数的性質を用いて、追加の三角恒等式を検証できる。

学習目標 3.12.C: 三角関数の同等な解析的表現を用いて方程式を解く。

• 3.12.C.1 三角表达式を含む特定の同等な形は、情報をより入手しやすくすることがある。
• 3.12.C.2 同等な三角形式は、三角方程式や不等式の解法に有用である可能性がある。

学習目標 3.13.A: 直交座標および極座標の両方を用いて平面上の点の位置を決定する。

• 3.13.A.1 極座標系は、原点を中心とする円のグリッドおよび原点を通る直線に基づいている。極座標は順列 $(r, \theta)$ で定義され、$|r|$ は点が位置する円の半径を、$\theta$ は標準的な位置にある角度の大きさ（その終辺が点を含む）を表す。極座標系では、同じ点を複数の方法で表せる。
• 3.13.A.2 極座標系における点の座標 $(r, \theta)$ は、$x = r\cos\theta$ および $y = r\sin\theta$ を用いて、直交座標系における座標 $(x, y)$ に変換できる。
• 3.13.A.3 直交座標系における点の座標 $(x, y)$ は、$r = \sqrt{x^2 + y^2}$ および $\theta = \arctan\left(\dfrac{y}{x}\right)$ を用いて、極座標系における座標 $(r, \theta)$ に変換できる（$x > 0$ または $\theta = \arctan\left(\dfrac{y}{x}\right) + \pi$ の場合、$x < 0$ について）。
• 3.13.A.4 複素数は複素平面上の点として理解でき、対応する直交座標または極座標によって決定されます。複素数が直交座標 $(a, b)$ を持つ場合、それは $a + bi$ と表せます。複素数が極座標 $(r, \theta)$ を持つ場合、それは $(r\cos\theta) + i(r\sin\theta)$ と表せます。

学習目標 3.14.A： 極関数のグラフを描く。

• 3.14.A.1 極座標における関数 $r = f(\theta)$ のグラフは、入力が角度の測定値で出力が半径である値の入出力ペアから構成される。
• 3.14.A.2 極関数 $r = f(\theta)$ の定義域は、視覚的に与えられており、希望する部分に制限できます。これは、希望する角度と半径に対応する端点を選択することで達成されます。
• 3.14.A.3 関数 $r = f(\theta)$ の形での極関数を描画する場合、入力値の変化は正の $x$ 軸からの角度測定値の変化に対応し、出力値の変化は原点からの距離の変化に対応します。

学習目標 3.15.A： 極関数のグラフの特性を説明する。

• 3.15.A.1 極関数 $r = f(\theta)$ が正で増加しているか、負で減少している場合、$f(\theta)$ と原点との間の距離は増加します。
• 3.15.A.2 極関数 $r = f(\theta)$ が正で減少しているか、負で増加している場合、$f(\theta)$ と原点との間の距離は減少します。
• 3.15.A.3 極関数 $r = f(\theta)$ において、ある区間で関数が増加から減少へ、あるいは減少から増加へ変化する場合、その関数は区間内に相対極を持ちます。これは原点に対して比較的近接または遠方にある点に対応します。
• 3.15.A.4 $r$ の $\theta$ に対する平均変化率は、$\theta$ の区間内における半径値の変化量と $\theta$ の$\theta$ の区間内の変化量の比である。グラフ的に、平均変化率はラジアンあたりの半径の変化率を示している。
• 3.15.A.5 $r$ の $\theta$ に対する$\theta$ の区間内の平均変化率は、その区間内の関数の値を推定するために使用できる。