1 · Bilangan dan aljabar

Lembar kerja ini mencakup topik HL terpilih untuk kursus yang pertama kali dinilai pada 2021; ini bukan seluruh silabus.

Prasyarat: baca kuantitas dan satuan yang ditentukan, serta gunakan aritmatika dan kondisi model di bawah ini.

Contoh-contoh ini orisinal dan fiksi: mereka bukan pengukuran nyata atau investigasi mahasiswa sungguhan.

Bisakah kita mengisi tanpa sisa?

• Seorang pemasok mengemas 72 pensil dan 90 pulpen ke dalam tas hadiah yang identik. Bagaimana cara menghindari sisa-sisa?
• Pelajaran ini mempelajari faktor prima: bilangan prima yang membagi bilangan bulat secara tepat.

Metode

• Faktor prima mengungkap struktur bersama.
• Gunakan pangkat faktor prima terkecil yang sama untuk FPB dan terbesar untuk KPK.
• Perkirakan sebelum menghitung; gunakan tanda kurung untuk mempertahankan urutan operasi.

Contoh terpecahkan

Contoh:

72=2^3×3^2 dan 90=2×3^2×5. FPB mereka adalah 2×9=18. Buat 18 tas dengan 4 pensil dan 5 pulpen masing-masing. KPK mereka adalah 2^3×3^2×5=360.

Di mana hal itu gagal

• FPB membagi kedua bilangan; KPK adalah kelipatan dari keduanya.
• Mereka menjawab pertanyaan yang berbeda.
• Estimasi desimal bukan pecahan eksak.

Tidak benar: FPB dari dua bilangan bulat positif selalu lebih besar dari salah satu bilangan tersebut. FPB membagi kedua bilangan, sehingga tidak pernah bisa lebih besar dari bilangan yang lebih kecil: FPB dari 72 dan 90 adalah 18.

Menerapkannya

• Untuk soal tanpa kalkulator, pertahankan pecahan eksak dan tunjukkan penyederhanaan.
• Untuk soal dengan kalkulator, masukkan ekspresi penuh dan bandingkan dengan estimasi Anda.

Dalam kursus Anda

• Analisis dan Pendekatan HL, kursus pertama yang dinilai pada 2021.

Kunci:

• Faktor prima: Bilangan prima yang membagi bilangan bulat secara tepat.
• Faktor prima mengungkap struktur bersama.
• Perhatikan: FPB membagi kedua bilangan; KPK adalah kelipatan dari keduanya.

Tulis dari FPB 6

• Temukan FPB dan KPK dari 18 dan 30.
• FPB lebih kecil dari kedua bilangan bulat tersebut.

Sekecil apa panjang mikroskopis?

• Mikrokop merekam panjang 0.000072 meter. Representasi ringkas harus mempertahankan ukurannya tetap benar.
• Pelajaran ini mempelajari indeks: Pangkat ke mana basis dinaikkan.

Metode

• Untuk basis positif yang sama, perkalian menjumlahkan indeks dan pembagian menguranginya.
• Indeks negatif berarti resiprokal; indeks pecahan mewakili akar.
• Bentuk baku memiliki 1≤a<10.

Contoh terpecahkan

Contoh:

0.000072=7.2×10^(-5). Juga 16^(3/4)=(16^(1/4))^3=2^3=8. Sederhanakan √72=6√2, kemudian rasionalisasi $1/\sqrt{2}$=√2/2.

Di mana hal itu gagal

• Hukum indeks tidak mengubah penjumlahan menjadi satu pangkat tunggal: 2^3+2^4=24, bukan 2^7.
• Jangan membulatkan bentuk akar ketika jawaban eksak diminta.

Tidak benar: Untuk setiap a positif, a^2+a^3 sama dengan a^5. Hukum indeks hanya menjumlahkan pangkat saat suku-suku dikalikan: 2²+2³=12, tetapi 2⁵=32.

Menerapkannya

• Periksa pangkat sepuluh terhadap jumlah asli.
• Gunakan bentuk akar untuk geometri eksak, dan bulatkan hanya panjang akhir ketika soal meminta desimal.

Dalam kursus Anda

• Analisis dan Pendekatan HL, kursus pertama yang dinilai pada 2021.
• Kertas 1 tanpa kalkulator: pertahankan pecahan, bentuk akar, dan π secara eksak serta tunjukkan setiap langkah. Pada kertas yang menggunakan kalkulator, tetap tuliskan ekspresi sebelum nilainya.

Kunci:

• Indeks: Pangkat ke mana basis dinaikkan.
• Untuk basis positif yang sama, perkalian menjumlahkan indeks dan pembagian menguranginya.
• Perhatikan: hukum indeks tidak mengubah penjumlahan menjadi satu pangkat tunggal: 2^3+2^4=24, bukan 2^7.

Tulis dari 8 pangkat 2/3

• Hitung 8 pangkat 2/3.
• Kuadrat ditambah pangkat tiga bukan sama dengan pangkat lima.

Apakah perubahan menambah atau mengalikan?

• Rencana tabungan menambah ¥30 lebih banyak setiap minggu; model populasi tumbuh sebesar 5% setiap tahun. Selisih yang sama dan rasio yang sama memerlukan model yang berbeda.
• Pelajaran ini mempelajari rasio umum: Pengali konstan antara suku-suku berturut-turut dalam barisan geometri.

Metode

• Untuk barisan aritmatika, u_n=a+(n-1)d dan S_n=n(2a+(n-1)d)/2.
• Untuk barisan geometri, u_n=ar^(n-1) dan S_n=a(1-r^n)/(1-r).
• Jumlah tak hingga barisan geometri hanya ada jika |r|<1.

Contoh terpecahkan

Contoh:

Untuk a=5,d=3,n=8, u_8=5+7×3=26 dan S_8=8(10+21)/2=124. Untuk a=12,r=1/2, jumlah tak hingga S=12/(1-1/2)=24. Untuk u_(n+1)=2u_n+1 dengan u_1=1, suku berikutnya adalah 3,7,15.

Di mana hal itu gagal

• Suku pertama berindeks 1, sehingga eksponennya adalah n-1.
• Barisan adalah daftar; deret adalah jumlah.
• Barisan geometri dapat bergantian tanda dan tetap konvergen.

Tidak benar: Setiap deret geometri memiliki jumlah tak hingga yang terbatas. Jumlah tak hingga hanya ada ketika −1<r<1; untuk r=2 suku-sukunya membesar tanpa batas.

Menerapkannya

• Jelaskan apakah konteks membenarkan perubahan aditif atau perkalian.
• Dalam keuangan, bedakan setoran tunggal dari serangkaian setoran sebelum memilih rumus jumlah.

Dalam kursus Anda

• Analisis dan Pendekatan HL, kursus pertama yang dinilai pada 2021.
• Kertas 1 tanpa kalkulator: pertahankan pecahan, bentuk akar, dan π secara eksak serta tunjukkan setiap langkah. Pada kertas yang menggunakan kalkulator, tetap tuliskan ekspresi sebelum nilainya.

Kunci:

• Rasio umum: Pengali konstan antara suku-suku berturut-turut pada barisan geometri.
• Untuk barisan aritmatika, u_n=a+(n-1)d dan S_n=n(2a+(n-1)d)/2.
• Perhatikan: suku pertama memiliki indeks 1, sehingga eksponennya adalah n-1.

Tulis dari suku ke-4 17

• Barisan aritmatika memiliki suku pertama 8 dan beda umum 3.
• Temukan suku ke-4. Deret geometri tak hingga memerlukan rasio penyebut dengan nilai mutlak di bawah 1.

Bisakah kita memulihkan harga asli?

• Sebuah mantel dipotong harganya sebesar 20% menjadi ¥240. Diskon berlaku pada harga asli, bukan pada harga jual.
• Pelajaran ini mempelajari pengali: Faktor yang melakukan perubahan persentase dalam satu perkalian.

Metode

• Peningkatan p% memiliki pengali 1+p/100; penurunan memiliki pengali 1-p/100.
• Balik persentase dengan membagi pengalinya.
• Dalam rasio, temukan terlebih dahulu jumlah total bagian.

Contoh terpecahkan

Contoh:

Misalkan harga asli adalah P. Modelnya adalah harga jual=0.8P. Oleh karena itu P=240/0.8=300. Peningkatan 20% kemudian menghasilkan 240×1.2=288, sehingga kedua perubahan tersebut saling meniadakan.

Di mana hal itu gagal

• Persentase menggunakan basis yang dinyatakan.
• Mengurangkan persentase kehilangan basis tersebut.
• Untuk perubahan majemuk, kalikan pengalinya; jangan tambahkan persentasenya.

Tidak benar: Penurunan 20% diikuti kenaikan 20% tidak mengembalikan harga awal. Kenaikan 20% diambil dari jumlah yang lebih kecil: 100×0.8×1.2=96, bukan 100.

Menerapkannya

• Untuk proporsional langsung gunakan y=kx; untuk proporsional terbalik gunakan y=k/x.
• Hitung k dari pasangan yang diketahui sebelum menggunakan nilai baru.
• Nyatakan apa yang Anda tetapkan tetap konstan.

Dalam kursus Anda

• Analisis dan Pendekatan HL, kursus pertama yang dinilai pada 2021.
• Kertas 1 tanpa kalkulator: pertahankan pecahan, bentuk akar, dan π secara eksak serta tunjukkan setiap langkah. Pada kertas yang menggunakan kalkulator, tetap tuliskan ekspresi sebelum nilainya.

Kunci:

• Pengali: Faktor yang melakukan perubahan persentase dalam satu perkalian.
• Peningkatan p% memiliki pengali 1+p/100; penurunan memiliki pengali 1-p/100.
• Perhatikan: Persentase menggunakan basis yang dinyatakan.

Tulis dari harga akhir 240

• Harga 250 turun sebesar 20 persen dan kemudian naik sebesar 20 persen.
• Temukan harga akhir. Kedua perubahan tersebut tidak saling menghilangkan.

Bagaimana jika akarnya bukan bilangan real?

• Persamaan x²+1=0 tidak memiliki akar real. Memperluas sistem bilangan memungkinkan kita merepresentasikan dan menghitung kedua akarnya.
• Pelajaran ini mempelajari konjugat kompleks: Bilangan yang diperoleh dengan membalik tanda bagian imajiner.

Metode

• Tulis z=a+bi dengan i²=-1.
• Konjugatnya adalah a-bi dan z dikali konjugatnya=a²+b².
• Modulusnya adalah √(a²+b²); argumen memerlukan kuadran yang tepat.
• Akar konjugat muncul pada polinomial dengan koefisien real.

Contoh terpecahkan

Contoh:

Untuk z=3+4i, |z|=5 dan konjugat z=3-4i. Resiproknya adalah (3-4i)/25. Untuk x²-6x+13=0, akarnya adalah 3±2i. Mengalikan dengan konjugat membuat penyebut kompleks menjadi real.

Di mana hal itu gagal

• Akar kuadrat dari suatu jumlah bukan merupakan jumlah dari akar-akar kuadratnya.
• Invers tangen saja mungkin mengembalikan kuadran yang salah.
• Jangan keliru antara modulus dengan modulus kuadrat.

Tidak benar: Untuk a+bi, modulusnya selalu a+b. Modulusnya adalah √(a²+b²): untuk 3+4i nilainya adalah 5, bukan 7.

Menerapkannya

• Gambar sumbu real secara horizontal dan sumbu imajiner secara vertikal.
• Untuk perkalian, modulus dikalikan dan argumen dijumlahkan; pangkat memperluas pola geometris ini melalui teorema de Moivre.

Dalam kursus Anda

• Analisis dan Pendekatan HL, kursus pertama yang dinilai pada 2021.
• Kertas 1 tanpa kalkulator: pertahankan pecahan, bentuk akar, dan π secara eksak serta tunjukkan setiap langkah. Pada kertas yang menggunakan kalkulator, tetap tuliskan ekspresi sebelum nilainya.

Kunci:

• Konjugat kompleks: Bilangan yang diperoleh dengan membalik tanda bagian imajiner.
• Tulis z=a+bi dengan i²=-1.
• Waspadai: akar kuadrat dari suatu jumlah bukan merupakan jumlah dari akar-akar kuadratnya.

Tulis dari modulus 13

• Temukan modulus dari 5 ditambah 12 i.
• Modulus bukan merupakan jumlah dari kedua bagian tersebut.

Bagaimana perubahan kecil mempengaruhi pangkat?

• Perubahan pengukuran kecil mempengaruhi pangkat dari suatu besaran. Ekspansi dapat menunjukkan ukuran efek pertama dan kedua.
• Pelajaran ini mempelajari koefisien binomial: Jumlah cara memilih sejumlah objek tertentu dari suatu himpunan.

Metode

• Untuk bilangan bulat positif n, (a+b)^n adalah perluasan binomial terbatas.
• Untuk n bukan bilangan bulat, jabarkan (1+x)^n sebagai 1+nx+n(n-1)x²/2+... dengan |x|<1.
• Keluarkan konstanta sebelum menggunakan bentuk ini.

Contoh terpecahkan

Contoh:

(1+2x)^5=1+10x+40x²+80x³+80x⁴+32x⁵. Untuk (1+x)^(-1), tiga suku pertama adalah 1-x+x²; pada x=0.1 ini menghasilkan 0.91 dibandingkan dengan nilai eksak 1/1.1≈0.909091.

Di mana hal itu gagal

• Perluasan dalam 2x memerlukan |2x|<1 untuk deret tak hingga, bukan sekadar |x|<1.
• Perluasan bilangan bulat positif bersifat terbatas dan tidak memiliki batasan konvergensi tersebut.

Tidak benar: Setiap perluasan binomial adalah polinomial terbatas, termasuk pangkat yang bukan bilangan bulat positif. Untuk pangkat negatif atau pecahan, perluasan tersebut adalah deret tak hingga, valid hanya untuk |x|<1.

Menerapkannya

• Nyatakan rentang keabsahan bersama dengan pendekatan.
• Pertahankan cukup suku untuk mendukung akurasi yang diminta, dan bedakan koefisien dari seluruh suku yang mengandung x.

Dalam kursus Anda

• Analisis dan Pendekatan HL, kursus pertama yang dinilai pada 2021.
• Kertas 1 tanpa kalkulator: pertahankan pecahan, bentuk akar, dan π secara eksak serta tunjukkan setiap langkah. Pada kertas yang menggunakan kalkulator, tetap tuliskan ekspresi sebelum nilainya.

Kunci:

• Koefisien binomial: Banyak cara memilih sejumlah objek tertentu dari suatu himpunan.
• Untuk bilangan bulat positif n, (a+b)^n adalah perluasan binomial terbatas.
• Perhatikan: perluasan dalam 2x memerlukan |2x|<1 untuk deret tak hingga, bukan sekadar |x|<1.

Tulis dari koefisien 54

• Temukan koefisien x pangkat dua dalam (1 plus 3x) dipangkatkan 4.
• Ekspansi binomial hanya terbatas jika pangkatnya merupakan bilangan bulat non-negatif.

Bisakah polinomial menggantikan fungsi eksponensial di dekatnya?

• Di sekitar titik yang diketahui, fungsi yang rumit dapat digantikan dengan pendekatan polinomial. Pendekatan ini memerlukan pusat dan skala yang valid.
• Pelajaran ini mempelajari polinomial Taylor: Polinomial yang dibentuk dari turunan-fturunan suatu fungsi pada pusat yang dipilih.

Metode

• Tentang x=a, f(x)=f(a)+f prime(a)(x-a)+f double prime(a)(x-a)²/2!+... ketika ekspansi berlaku.
• Pada a=0 ini adalah ekspansi Maclaurin.
• Penjumlahan hingga juga dapat disederhanakan melalui pembatalan atau rumus penjumlahan standar.

Contoh terpecahkan

Contoh:

Tiga suku pertama dari e^x adalah 1+x+x²/2. Pada x=0.1 ini menghasilkan 1.105, mendekati e^0.1≈1.105170. Untuk jumlah k² dari k=1 hingga 5, rumus n(n+1)(2n+1)/6 memberikan hasil 5×6×11/6=55.

Di mana hal itu gagal

• Faktorial berada di penyebut setiap koefisien Taylor.
• Pusat ekspansi tidak selalu nol.
• Pendekatan yang dekat dengan pusatnya bisa menjadi buruk jauh darinya.

Tidak benar: Polinomial Taylor selalu eksak untuk fungsi asli pada setiap input. Polinomial Taylor adalah pendekatan; biasanya akurat hanya di sekitar pusatnya.

Menerapkannya

• Untuk deret teleskopik, tuliskan beberapa suku dan identifikasi kedua ujung yang tersisa.
• Untuk pendekatan Taylor, nyatakan ordernya dan bandingkan dengan nilai yang diketahui atau estimasi sisa jika diperlukan.

Dalam kursus Anda

• Analisis dan Pendekatan HL, kursus pertama yang dinilai pada 2021.
• Kertas 1 tanpa kalkulator: pertahankan pecahan, bentuk akar, dan π secara eksak serta tunjukkan setiap langkah. Pada kertas yang menggunakan kalkulator, tetap tuliskan ekspresi sebelum nilainya.

Kunci:

• Polinomial Taylor: Polinomial yang dibentuk dari turunan fungsi pada pusat yang dipilih.
• Tentang x=a, f(x)=f(a)+f prime(a)(x-a)+f double prime(a)(x-a)²/2!+... ketika ekspansi berlaku.
• Perhatikan: faktorial berada di penyebut setiap koefisien Taylor.

Tulis dari jumlah kuadrat 30

• Temukan jumlah k kuadrat dari k = 1 sampai 4.
• Gunakan 1 plus x plus x kuadrat dibagi 2 untuk mengestimasi e pangkat 0.2. Polinomial Taylor tidak eksak pada setiap input.

Tulis dari penjumlahan 5050

• Temukan hasil penjumlahan k dari k = 1 hingga 100.
• Pasangan Gauss: 1 + 100, 2 + 99, … menghasilkan 50 pasangan bernilai 101, sehingga 5 050.

Tulis dari estimasi orde dua 1.22

• Gunakan 1 + x + x kuadrat atas 2 pada x = 0.2.
• Estimasi tersebut adalah 1.22 berbanding nilai sebenarnya dekat 1.2214 — suku x pangkat tiga yang hilang dibagi 6 (sekitar 0.0013) adalah besaran galat pemotongan.