4 · Statistik dan probabilitas

Lembar kerja ini mencakup topik HL terpilih untuk kursus yang pertama kali dinilai pada 2021; ini bukan seluruh silabus.

Prasyarat: baca kuantitas dan satuan yang ditentukan, serta gunakan aritmatika dan kondisi model di bawah ini.

Contoh-contoh ini orisinal dan fiksi: mereka bukan pengukuran nyata atau investigasi mahasiswa sungguhan.

Bisakah satu nilai rata-rata menceritakan seluruh kisah?

• Dua kelompok memiliki median yang sama tetapi sebaran yang berbeda. Satu ringkasan tidak dapat mendeskripsikan kedua-dua lokasi dan konsistensi.
• Pelajaran ini mempelajari ketumpahan frekuensi: Frekuensi dibahagikan dengan lebar kelas, digunakan sebagai tinggi histogram.

Metode

• Bandingkan rata-rata dan sebaran yang sesuai dalam konteksnya.
• Histogram menggunakan luas untuk frekuensi, sehingga tinggi = frekuensi / lebar kelas.
• Estimasi berkelompok mengasumsikan nilai representatif di dalam interval.

Contoh terpecahkan

Contoh:

Kelas dari 10 hingga 20 dengan frekuensi 30 mempunyai ketumpahan 30/10=3. Kelas dari 20 hingga 40 dengan frekuensi 20 mempunyai ketumpahan 20/20=1. Bar yang lebih lebar tidak boleh disalahartikan sebagai ketumpahan yang lebih besar. Untuk nilai 2,4,4,6,9, median ialah 4 dan purata ialah 5.

Di mana hal itu gagal

• Batang histogram tertinggi belum tentu memuat jumlah observasi terbanyak.
• Rata-rata berkelompok adalah sebuah estimasi.
• Korelasi tidak membuktikan sebab-akibat, dan ekstrapolasi memperluas beyond rentang yang diamati.

Tidak benar: Tinggi batang histogram selalu sama dengan frekuensinya, bahkan dengan lebar kelas yang tidak sama. Dengan lebar kelas yang tidak sama, tingginya adalah densitas frekuensi; frekuensi adalah luas batang.

Menerapkannya

• Pilih tampilan visual yang sesuai dengan jenis datanya.
• Berikan perbandingan numerik dan maknanya bagi populasi; jangan menyimpulkan presisi lebih tinggi daripada yang didukung oleh sampel.

Dalam kursus Anda

• Analisis dan Pendekatan HL, kursus pertama yang dinilai pada 2021.
• Kertas 1 tanpa kalkulator: pertahankan pecahan, bentuk akar, dan π secara eksak serta tunjukkan setiap langkah. Pada kertas yang menggunakan kalkulator, tetap tuliskan ekspresi sebelum nilainya.

Kunci:

• Kepadatan frekuensi: Frekuensi dibagi lebar kelas, digunakan sebagai tinggi histogram.
• Bandingkan rata-rata dan sebaran yang sesuai dalam konteksnya.
• Perhatikan: Batang histogram tertinggi belum tentu memuat jumlah observasi terbanyak.

Tulis dari rata-rata 7

• Kelas dengan lebar 4 memiliki frekuensi 32.
• Nilai 6, 6, 6, 6 dan 11 memiliki rata-rata dan nilai tengah. Tinggi batang tidak selalu merupakan frekuensi.

Apa yang berubah setelah pengambilan pertama?

• Sebuah tas berisi 3 penghitung merah dan 2 penghitung biru. Mengambil dua tanpa pengembalian mengubah peluang warna kedua.
• Pelajaran ini mempelajari probabilitas bersyarat: Probabilitas suatu peristiwa setelah membatasi ruang sampel pada kondisi yang dinyatakan.

Metode

• Kalikan sepanjang cabang pohon dan jumlahkan cabang-cabang yang saling lepas.
• Dengan pengembalian, komposisi tetap tetap.
• Probabilitas bersyarat adalah P(A given B)=P(A∩B)/P(B), untuk P(B)>0.

Contoh terpecahkan

Contoh:

Tanpa pengembalian, P(dua merah)=3/5×2/4=3/10. P(satu dari masing-masing)=3/5×2/4+2/5×3/4=3/5. Jika P(A∩B)=0.12 dan P(B)=0.3, P(A diberikan B)=0.4.

Di mana hal itu gagal

• Saling eksklusif berarti tanpa tumpang tindih; independen berarti mengetahui satu peristiwa tidak mengubah probabilitas peristiwa lainnya.
• Dua peristiwa yang saling lepas dengan probabilitas positif tidak independen.

Tidak benar: Peristiwa saling eksklusif dengan probabilitas positif harusnya independen. Peristiwa saling eksklusif dengan probabilitas positif bersifat bergantung: jika satu terjadi, yang lain tidak dapat, sehingga P(A and B)=0≠P(A)P(B).

Menerapkannya

• Tabel dua arah membuat penyebut terbatas terlihat jelas.
• Sebelum menggunakan produk P(A)P(B), justifikasikan independensi dari konteks atau informasi yang disediakan.

Dalam kursus Anda

• Analisis dan Pendekatan HL, kursus pertama yang dinilai pada 2021.
• Kertas 1 tanpa kalkulator: pertahankan pecahan, bentuk akar, dan π secara eksak serta tunjukkan setiap langkah. Pada kertas yang menggunakan kalkulator, tetap tuliskan ekspresi sebelum nilainya.

Kunci:

• Probabilitas bersyarat: Probabilitas suatu peristiwa setelah membatasi ruang sampel pada kondisi yang dinyatakan.
• Kalikan sepanjang cabang pohon dan jumlahkan cabang-cabang yang saling lepas.
• Perhatikan: saling eksklusif berarti tanpa tumpang tindih; independen berarti mengetahui satu peristiwa tidak mengubah probabilitas peristiwa lainnya.

Tulis dari probabilitas bersyarat 0.64

• P(A dan B) adalah 0.16 dan P(B) adalah 0.25.
• Temukan P(A given B). Peristiwa saling lepas yang dapat terjadi bukanlah peristiwa independen.

Apa yang membuat penghitungan dapat diprediksi?

• Seorang inspektur kualitas menghitung barang cacat. Jumlahnya acak, tetapi model dapat menggambarkan rentang yang mungkin.
• Pelajaran ini mempelajari nilai ekspektasi: Rata-rata berbobot probabilitas dari variabel acak.

Metode

• Model binomial memerlukan n tetap, uji coba independen, dua hasil, dan p konstan.
• E(X)=np dan Var(X)=np(1-p).
• Untuk model normal gunakan z=(x-μ)/σ.
• Model Poisson mendeskripsikan penghitungan dengan laju konstan dan asumsi independensi yang sesuai.

Contoh terpecahkan

Contoh:

Untuk X binomial(5,0.2), P(X=0)=0.8^5=0.32768, E(X)=1 dan Var(X)=0.8. Untuk kuantitas normal dengan μ=100, σ=15, nilai 130 memiliki z=2. Rata-rata Poisson 3 per jam memberikan rata-rata 6 selama dua jam.

Di mana hal itu gagal

• Tidak setiap hitungan bersifat binomial: perubahan p atau ketergantungan dapat membuatnya tidak valid.
• Untuk variabel kontinu, probabilitas satu nilai pasti adalah nol.
• Koreksi kontinuitas penting saat mengaproksimasi distribusi diskrit dengan distribusi normal.

Tidak benar: Setiap hitungan keberhasilan memiliki distribusi binomial terlepas dari ketergantungan. Model binomial memerlukan percobaan independen dengan probabilitas tetap; percobaan yang bergantung merusaknya.

Menerapkannya

• Tuliskan peristiwa sebagai pertidaksamaan sebelum menggunakan fungsi distribusi kalkulator.
• Bedakan P(X<k), P(X≤k) dan komplemen ekor.
• Nyatakan asumsi dalam konteksnya.

Dalam kursus Anda

• Analisis dan Pendekatan HL, kursus pertama yang dinilai pada 2021.

Kunci:

• Nilai harapan: Rata-rata tertimbang probabilitas dari variabel acak.
• Model binomial memerlukan n tetap, uji coba independen, dua hasil, dan p konstan.
• Perhatikan: tidak setiap hitungan bersifat binomial: perubahan p atau ketergantungan dapat membuatnya tidak valid.

Tulis dari skor-z 3

• Nilai 82 berasal dari distribusi dengan rata-rata 70 dan simpangan baku 4.
• Temukan nilai z. Jumlah binomial memerlukan percobaan yang independen.

Tulis dari jumlah harapan 3

• Model binomial memiliki n = 10 percobaan dengan p = 0.3.
• Jumlah harapan adalah np = 3 — rata-rata berbobot peluang, bukan jaminan akan terjadi 3.

Tulis dari skor-z 2

• Nilai 60 berasal dari distribusi dengan rata-rata 50 dan simpangan baku 5.
• Skor-z adalah 10 ÷ 5 = 2 — dua simpangan baku di atas rata-rata.