2 · Fungsi

Lembar kerja ini mencakup topik HL terpilih untuk kursus yang pertama kali dinilai pada 2021; ini bukan seluruh silabus.

Prasyarat: baca kuantitas dan satuan yang ditentukan, serta gunakan aritmatika dan kondisi model di bawah ini.

Contoh-contoh ini orisinal dan fiksi: mereka bukan pengukuran nyata atau investigasi mahasiswa sungguhan.

Input mana yang diperbolehkan?

• Model akar kuadrat menghasilkan output real hanya untuk beberapa input. Rumusnya saja tidak menentukan fungsi lengkap.
• Pelajaran ini mempelajari domain: Himpunan input yang diizinkan untuk suatu fungsi.

Metode

• Nyatakan domain dan rentang.
• Untuk invers, pastikan fungsi tersebut satu-satu pada domainnya terlebih dahulu.
• Komposisi fg berarti terapkan g terlebih dahulu, lalu f; output perantara harus menjadi input yang diperbolehkan untuk f.

Contoh terpecahkan

Contoh:

Untuk f(x)=√(x-2), x≥2 dan jangkauannya adalah y≥0. Dari y=√(x-2), diperoleh x=y²+2. Dengan demikian f invers(x)=x²+2 dengan x≥0. Untuk g(x)=x+3, fg(1)=f(4)=√2.

Di mana hal itu gagal

• Memangkatkan dua dapat memasukkan solusi ekstraneous (luar).
• Membatasi domain parabola sangat penting sebelum mengklaim adanya fungsi invers.
• Translasi horizontal di dalam f memiliki tanda berlawanan dengan pergerakan grafiknya.

Tidak benar: Setiap fungsi kuadrat pada seluruh bilangan real memiliki fungsi invers. Kuadrat pada seluruh bilangan real adalah banyak-ke-satu (f(1)=f(−1) untuk x²), sehingga domainnya harus dibatasi terlebih dahulu.

Menerapkannya

• Periksa f(f invers(x))=x pada domain invers.
• Gunakan sketsa untuk menguji apakah garis horizontal memotong grafik asli lebih dari sekali.

Dalam kursus Anda

• Analisis dan Pendekatan HL, kursus pertama yang dinilai pada 2021.
• Kertas 1 tanpa kalkulator: pertahankan pecahan, bentuk akar, dan π secara eksak serta tunjukkan setiap langkah. Pada kertas yang menggunakan kalkulator, tetap tuliskan ekspresi sebelum nilainya.

Kunci:

• Domain: himpunan input yang diperbolehkan untuk suatu fungsi.
• Nyatakan domain dan rentang.
• Waspadai: memangkatkan dua dapat memasukkan solusi ekstraneous (luar).

Tulis dari nilai invers 6

• Fungsi 6x plus 1 memetakan 6 ke 37.
• Fungsi kuadrat pada seluruh bilangan real memerlukan domain terbatas agar memiliki fungsi invers.

Mengapa model peluruhan tetap positif?

• Konsentrasi obat turun dengan persentase yang sama setiap jam. Pengurangan konstan akan akhirnya memprediksi jumlah negatif.
• Pelajaran ini mempelajari waktu paruh: Waktu yang dibutuhkan untuk kuantitas yang meluruh turun menjadi setengah dari nilai awalnya.

Metode

• Untuk y=Ae^(kt), k adalah laju proporsional.
• Mengambil logaritma menghasilkan ln y = ln A + kt.
• Logaritma memerlukan argumen positif, dan log(x+y) bukan sama dengan log x + log y.

Contoh terpecahkan

Contoh:

Jika y=80e^(-0.2t), y=40 menghasilkan e^(-0.2t)=1/2. Maka t=ln2/0.2≈3.466. Untuk 3^x=20, x=ln20/ln3. Memplot ln y terhadap t melinearisasi model eksponensial ini.

Di mana hal itu gagal

• Eksponensial yang disesuaikan adalah sebuah model, bukan jaminan.
• Tentukan satuan waktu dan rentang penggunaannya.
• k negatif menggambarkan peluruhan; nilai awal negatif biasanya bertentangan dengan konteks.

Tidak benar: Untuk x dan y positif, ln(x+y) = ln x + ln y. Logaritma dari jumlah tidak memiliki aturan sederhana; aturan perkalian adalah ln(xy) = ln x + ln y.

Menerapkannya

• Bandingkan observasi aktual dengan model.
• Penyimpangan sistematis mungkin menunjukkan perubahan kondisi.
• Dalam laporan, jelaskan arti laju dan nilai awal, alih-alih hanya memberikan persamaan mentah.

Dalam kursus Anda

• Analisis dan Pendekatan HL, kursus pertama yang dinilai pada 2021.
• Kertas 1 tanpa kalkulator: pertahankan pecahan, bentuk akar, dan π secara eksak serta tunjukkan setiap langkah. Pada kertas yang menggunakan kalkulator, tetap tuliskan ekspresi sebelum nilainya.

Kunci:

• Waktu paruh: Waktu yang dibutuhkan agar jumlah yang meluruh turun menjadi setengah dari nilainya awal.
• Untuk y=Ae^(kt), k adalah laju proporsional.
• Waspadai: Eksponensial yang disesuaikan adalah model, bukan jaminan.

Tulis dari 2 dipangkatkan 8

• Selesaikan 2 dipangkatkan x sama dengan 256.
• Jumlah ln 2 dan ln 9 adalah ln 18, bukan logaritma natural dari penjumlahannya.

Tulis dari solusi 3

• Selesaikan 5 dipangkatkan x = 125.
• Kedua ruas sebagai pangkat dari 5: x = 3 — menyamakan basis lebih unggul daripada aturan logaritma dalam kasus ini.

Tulis dari waktu paruh 10 hari

• 200 g zat meluruh menjadi 50 g dalam 20 hari.
• Dua kali pengurangan setengah dalam 20 hari, sehingga waktu paruhnya adalah 10 hari — hitung jumlah pengurangan setengah, bukan pengurangannya.