3 · Geometri dan trigonometri

Lembar kerja ini mencakup topik HL terpilih untuk kursus yang pertama kali dinilai pada 2021; ini bukan seluruh silabus.

Prasyarat: baca kuantitas dan satuan yang ditentukan, serta gunakan aritmatika dan kondisi model di bawah ini.

Contoh-contoh ini orisinal dan fiksi: mereka bukan pengukuran nyata atau investigasi mahasiswa sungguhan.

Apakah volume berskala seperti panjang?

• Sebuah model memiliki panjang sepertiga dari objek aslinya. Berapa kali lebih kecil luas dan volumenya?
• Pelajaran ini mempelajari faktor skala: Pengali yang menghubungkan panjang yang bersesuaian pada bangun yang serupa.

Metode

• Untuk bangun yang serupa dengan faktor skala panjang k, luas berskala oleh k² dan volume oleh k³.
• Nyatakan alasan sudut secara eksplisit.
• Garis singgung lingkaran tegak lurus terhadap jari-jari pada titik sentuhnya.

Contoh terpecahkan

Contoh:

Jika faktor panjang model ke asli adalah 3, luas model 12 cm² menghasilkan 12×3²=108 cm² dan volume model 8 cm³ menghasilkan 8×3³=216 cm³. Silinder dengan r=3, h=5 memiliki volume πr²h=45π.

Di mana hal itu gagal

• Sudut yang sama saja menetapkan kesebangunan, bukan kesamaan ukuran.
• Gunakan panjang bersesuaian dalam urutan yang sama.
• Konversi satuan linear sebelum menghitung luas atau volume, atau kuadratkan/kubikkan faktor konversi dengan benar.

Tidak benar: Mengalikan setiap panjang benda padat dua kali lipat akan menggandakan volumenya. Volume berskala dengan pangkat tiga dari faktor panjang: mengalikan setiap panjang dua kali lipat akan mengalikan volume dengan 8.

Menerapkannya

• Bukti geometri harus menyebutkan teorema yang relevan, mengidentifikasi sudut atau rasio yang sama, dan menarik kesimpulan.
• Gambar skala hanya merupakan bukti ketika tugas memungkinkan pengukuran.

Dalam kursus Anda

• Analisis dan Pendekatan HL, kursus pertama yang dinilai pada 2021.
• Kertas 1 tanpa kalkulator: pertahankan pecahan, bentuk akar, dan π secara eksak serta tunjukkan setiap langkah. Pada kertas yang menggunakan kalkulator, tetap tuliskan ekspresi sebelum nilainya.

Kunci:

• Faktor skala: Pengali yang menghubungkan panjang bersesuaian pada bangun-bangun sebangsa.
• Untuk bangun yang serupa dengan faktor skala panjang k, luas berskala oleh k² dan volume oleh k³.
• Waspadai: sudut yang sama saja menetapkan kesebangunan, bukan kesamaan ukuran.

Tulis dari faktor volume 125

• Faktor skala panjang adalah 5.
• Temukan faktor luas dan faktor volume. Menggandakan panjang tidak menggandakan volume.

Sisi mana yang dibutuhkan tangga?

• Tangga mencapai ketinggian 4 m sementara kakinya berada 3 m dari dinding. Sisi mana yang diketahui, dan sudut mana yang perlu kita cari?
• Pelajaran ini mempelajari hipotenusa: sisi di depan sudut siku-siku dalam segitiga siku-siku.

Metode

• Pada segitiga siku-siku a²+b²=c²; sinθ=sisi depan/miring, cosθ=sisi samping/miring dan tanθ=sisi depan/samping.
• Untuk segitiga lainnya, gunakan aturan sinus atau kosinus, atau luas=ab sin C/2.

Contoh terpecahkan

Contoh:

Panjang tangga adalah c=√(3²+4²)=5 m. Sudutnya terhadap tanah memenuhi tanθ=4/3, sehingga θ≈53.1°. Dengan dua sisi 6 dan 8 yang membentuk sudut 60°, c²=6²+8²-2×6×8 cos60°=52.

Di mana hal itu gagal

• Beri label sisi relatif terhadap sudut yang dipilih.
• Pythagoras memerlukan sudut siku-siku.
• Kesalahan mode sudut pada kalkulator dapat menghasilkan jawaban yang masuk akal namun salah.
• Simpan nilai yang tidak dibulatkan untuk langkah selanjutnya.

Tidak benar: Pythagoras berlaku untuk setiap segitiga, termasuk segitiga tanpa sudut siku-siku. Pythagoras memerlukan sudut siku-siku; untuk segitiga lainnya gunakan aturan kosinus.

Menerapkannya

• Gunakan gambar rencana atau elevasi untuk masalah tiga dimensi sebelum menerapkan aturan segitiga.
• Jelaskan mengapa segitiga yang dipilih memuat panjang atau sudut yang diperlukan.

Dalam kursus Anda

• Analisis dan Pendekatan HL, kursus pertama yang dinilai pada 2021.
• Kertas 1 tanpa kalkulator: pertahankan pecahan, bentuk akar, dan π secara eksak serta tunjukkan setiap langkah. Pada kertas yang menggunakan kalkulator, tetap tuliskan ekspresi sebelum nilainya.

Kunci:

• Miring: Sisi di depan sudut siku-siku dalam segitiga siku-siku.
• Pada segitiga siku-siku a²+b²=c²; sinθ=sisi depan/miring, cosθ=sisi samping/miring dan tanθ=sisi depan/samping.
• Perhatikan: beri label sisi relatif terhadap sudut yang dipilih.

Tulis dari hipotenusa 25

• Segitiga siku-siku memiliki sisi tegak 7 dan 24.
• Temukan hipotenusa dan luas. Teorema Pythagoras hanya berlaku untuk segitiga siku-siku.

Seberapa jauh rim bergerak?

• Roda berputar menyapu busur. Radian memungkinkan sudutnya terhubung langsung dengan jarak yang ditempuh sepanjang rim.
• Pelajaran ini mempelajari radian: sudut yang dibentuk oleh busur yang panjangnya sama dengan jari-jari.

Metode

• Untuk θ dalam radian, panjang busur s=rθ dan luas juring A=r²θ/2.
• Gunakan sin²θ+cos²θ=1 dan identitas sudut untuk menyederhanakan atau menyelesaikan.
• Sebutkan setiap solusi dalam interval yang ditentukan.

Contoh terpecahkan

Contoh:

Untuk r=4 dan θ=π/3, s=4π/3 dan A=8π/3. Menyelesaikan sin x=1/2 pada 0≤x<2π menghasilkan x=π/6 dan 5π/6. Untuk sin2x=1/2, selesaikan terlebih dahulu pada 0≤2x<4π sebelum membagi dengan 2.

Di mana hal itu gagal

• Invers sinus pada kalkulator memberikan satu nilai utama.
• Nilai tersebut tidak memberikan semua solusi.
• Membagi dengan sin x dapat menghilangkan solusi di mana sin x=0; periksa kasus ini terlebih dahulu.

Tidak benar: Nilai invers sinus utama selalu merupakan satu-satunya solusi dalam satu putaran penuh. Sinus mengambil sebagian besar nilai dua kali dalam satu putaran penuh: sin x=0.5 memberikan 30° dan 150°.

Menerapkannya

• Pilih identitas yang menyederhanakan persamaan menjadi satu fungsi trigonometri.
• Pertahankan sudut istimewa yang familiar sedapat mungkin, dan periksa setiap solusi terhadap persamaan awal.

Dalam kursus Anda

• Analisis dan Pendekatan HL, kursus pertama yang dinilai pada 2021.
• Kertas 1 tanpa kalkulator: pertahankan pecahan, bentuk akar, dan π secara eksak serta tunjukkan setiap langkah. Pada kertas yang menggunakan kalkulator, tetap tuliskan ekspresi sebelum nilainya.

Kunci:

• Radian: Sudut yang dibentuk oleh busur dengan panjang sama dengan jari-jari.
• Untuk θ dalam radian, panjang busur s=rθ dan luas juring A=r²θ/2.
• Perhatikan: Invers sinus pada kalkulator memberikan satu nilai utama.

Tulis dari panjang busur 3

• Sebuah lingkaran memiliki jari-jari 6 dan sudutnya 0.5 radian.
• Temukan panjang busur dan luas juring. Nilai invers sinus utama bukan satu-satunya solusi dalam satu putaran penuh.

Mengapa perpindahan lebih pendek daripada jalan kaki?

• Berjalan 4 m ke timur dan 3 m ke utara menghasilkan perpindahan 5 m, meskipun jarak yang ditempuh adalah 7 m.
• Pelajaran ini mempelajari vektor resultan: jumlah vektor yang mewakili gabungan perpindahan atau gaya.

Metode

• Jumlahkan komponen vektor yang bersesuaian.
• Perpindahan dari A ke B adalah OB-OA.
• Vektor sejajar adalah kelipatan skalar.
• Vektor memiliki besaran dan arah; jarak adalah besaran skalar.

Contoh terpecahkan

Contoh:

Dengan a=(4,1) dan b=(1,3), a+b=(5,4). Hasil kali titiknya adalah a·b=4×1+1×3=7. Besaran a adalah √17. Untuk A=(1,2), B=(5,5), AB=(4,3) dan |AB|=5.

Di mana hal itu gagal

• Urutan pengurangan penting: BA=-AB.
• Membuktikan kesejangan memerlukan hubungan perkalian skalar; sketsa saja tidak cukup.
• Perbesaran negatif membalikkan posisi relatif terhadap pusatnya.

Tidak benar: AB dan BA selalu memiliki komponen yang sama. BA bergerak berlawanan arah dengan AB, jadi BA=−AB: setiap komponen mengubah tandanya.

Menerapkannya

• Untuk translasi, setiap titik menggunakan perpindahan yang sama.
• Untuk masalah garis tingkat lanjut, bedakan vektor posisi dari vektor arah dan selesaikan persamaan parameter secara konsisten.

Dalam kursus Anda

• Analisis dan Pendekatan HL, kursus pertama yang dinilai pada 2021.
• Kertas 1 tanpa kalkulator: pertahankan pecahan, bentuk akar, dan π secara eksak serta tunjukkan setiap langkah. Pada kertas yang menggunakan kalkulator, tetap tuliskan ekspresi sebelum nilainya.

Kunci:

• Vektor resultan: Jumlah vektor yang mewakili kombinasi perpindahan atau gaya.
• Jumlahkan komponen vektor yang bersesuaian.
• Waspadai: urutan pengurangan penting: BA=-AB.

Tulis dari komponen-x 9

• Jumlahkan vektor (3, 1) dan (6, 2).
• Temukan besaran dari (6, 8) dan hasil kali skalar. AB dan BA tidak memiliki komponen yang sama.

Tulis dari besaran 5

• Temukan besaran vektor (minus 3, 4).
• Besarannya adalah Pythagoras pada komponen-komponennya: akar dari 9 ditambah 16 = 5.

Tulis dari hasil kali skalar nol

• Temukan hasil kali skalar dari (2, 3) dan (minus 6, 4).
• 2 dikali (minus 6) ditambah 3 dikali 4 = 0 — hasil kali skalar nol berarti vektor-vektor tersebut saling tegak lurus.