5 · Kalkulus

Lembar kerja ini mencakup topik HL terpilih untuk kursus yang pertama kali dinilai pada 2021; ini bukan seluruh silabus.

Prasyarat: baca kuantitas dan satuan yang ditentukan, serta gunakan aritmatika dan kondisi model di bawah ini.

Contoh-contoh ini orisinal dan fiksi: mereka bukan pengukuran nyata atau investigasi mahasiswa sungguhan.

Bagaimana kemiringan pada satu titik?

• Jalan melengkung memiliki kemiringan berbeda di posisi yang berbeda. Gradien rata-rata tidak dapat menggambarkan setiap titik.
• Pelajaran ini mempelajari turunan: Laju perubahan instan, juga gradien garis singgung.

Metode

• Untuk y=ax^n, dy/dx=anx^(n-1).
• Titik stasioner memenuhi dy/dx=0.
• Periksa perubahan tanda turunan, atau turunan kedua jika tidak nol, untuk mengklasifikasikannya.

Contoh terpecahkan

Contoh:

Untuk y=x³-3x, turunan dy/dx=3x²-3. Pada x=1, gradiennya adalah 0 dan y=-2. Turunan keduanya adalah 6x, positif pada x=1, sehingga ini adalah minimum lokal. Pada x=-1, y=2 dan turunan keduanya negatif, memberikan maksimum lokal.

Di mana hal itu gagal

• Turunan nol tidak selalu berarti maksimum atau minimum: y=x³ stasioner di 0 tetapi terus meningkat.
• Titik ujung juga dapat menghasilkan nilai ekstrem pada domain terbatas.

Tidak benar: Setiap titik dengan turunan nol adalah maksimum lokal atau minimum. Turunan nol juga bisa menjadi titik belok: y=x³ pada x=0 bukan maksimum maupun minimum.

Menerapkannya

• Di GCSE/IGCSE gunakan hanya jangkauan polinomial yang diizinkan oleh tingkatan; jangan tambahkan aturan rantai, perkalian, atau pembagian di sana.
• Pada tingkat lanjutan, hubungkan turunan dengan tingkat dan optimasi dengan domain yang valid.

Dalam kursus Anda

• Analisis dan Pendekatan HL, kursus pertama yang dinilai pada 2021.
• Kertas 1 tanpa kalkulator: pertahankan pecahan, bentuk akar, dan π secara eksak serta tunjukkan setiap langkah. Pada kertas yang menggunakan kalkulator, tetap tuliskan ekspresi sebelum nilainya.

Kunci:

• Turunan: Tingkat perubahan sesaat, juga kemiringan garis singgung.
• Untuk y=ax^n, dy/dx=anx^(n-1).
• Perhatikan: Turunan nol tidak selalu berarti maksimum atau minimum: y=x³ stasioner di 0 tetapi terus meningkat.

Tulis dari turunan 8

• Untuk y = x kuadrat dikurangi 10x, temukan turunan pada x = 9.
• Temukan nilai stasioner. Turunan sebesar 0 tidak selalu merupakan titik belok.

Berapa banyak perubahan yang telah terakumulasi?

• Grafik kecepatan memberi tahu kita gerakan pada suatu saat. Bagaimana kita dapat memulihkan perpindahan yang terkumpul seiring waktu?
• Pelajaran ini mempelajari integral tak tentu: Fungsi yang turunannya sama dengan fungsi pengintegrasian (integran) yang diberikan.

Metode

• Untuk n≠-1, integral dari ax^n adalah ax^(n+1)/(n+1)+C.
• Integral tentu adalah akumulasi bertanda.
• Pisahkan pada perubahan tanda jika total luas atau jarak diperlukan.

Contoh terpecahkan

Contoh:

Untuk v(t)=3t²-3 atas 0≤t≤2, perpindahan=[t³-3t]_0^2=2. Karena v berubah tanda pada t=1, jarak=-[t³-3t]_0^1+[t³-3t]_1^2=2+4=6. Konstanta saling menghilangkan hanya untuk integral tertentu.

Di mana hal itu gagal

• Integral dari 1/x adalah ln|x|+C, bukan aturan pangkat dengan n=-1.
• Luas bertanda dapat bernilai nol meskipun total luas yang terjepit positif.

Tidak benar: Integral tentu selalu sama dengan total area positif, bahkan ketika grafik memotong sumbu. Area di bawah sumbu dihitung negatif, sehingga integral tentu bisa lebih kecil dari total area, atau bahkan nol.

Menerapkannya

• Identifikasi arti integral dan sertakan satuan yang benar.
• Laju yang diukur per detik diintegrasikan menjadi besaran mendasar, bukan menjadi laju lain.
• Turunkan antiturunan untuk memverifikasinya.

Dalam kursus Anda

• Analisis dan Pendekatan HL, kursus pertama yang dinilai pada 2021.
• Kertas 1 tanpa kalkulator: pertahankan pecahan, bentuk akar, dan π secara eksak serta tunjukkan setiap langkah. Pada kertas yang menggunakan kalkulator, tetap tuliskan ekspresi sebelum nilainya.

Kunci:

• Antiturunan: Fungsi yang turunannya sama dengan fungsi pengintegralan yang diberikan.
• Untuk n≠-1, integral dari ax^n adalah ax^(n+1)/(n+1)+C.
• Perhatikan: integral dari 1/x adalah ln|x|+C, bukan aturan pangkat dengan n=-1.

Tulis dari integral 9

• Temukan integral dari 2x dari 0 hingga 3.
• Untuk v = t dikurangi 2, dari t = 0 hingga 4, temukan perpindahan dan jarak tempuh. Integral bertanda bukan total jarak.

Apakah ekspresi di dalamnya juga berubah?

• Kurva biaya adalah pangkat dari ekspresi yang berubah. Menurunkan pangkat luar saja melewatkan laju inputnya.
• Pelajaran ini mempelajari aturan rantai: Aturan yang mengalikan turunan luar dengan turunan dalam untuk fungsi komposit.

Metode

• Untuk y=f(g(x)), y prime=f prime(g(x))g prime(x).
• Untuk uv, turunkan menjadi u prime v+uv prime.
• Untuk u/v, gunakan (u prime v-uv prime)/v², di mana v≠0.

Contoh terpecahkan

Contoh:

Untuk y=(3x+1)^4, turunan y=4(3x+1)^3×3=12(3x+1)^3. Pada x=0, gradien adalah 12. Untuk x²+y²=25, turunkan secara implisit: 2x + 2y turunan y = 0, sehingga turunan y = -x/y ketika y≠0.

Di mana hal itu gagal

• Turunan dari hasil kali bukanlah hasil kali dari turunannya.
• Dalam diferensiasi implisit, setiap fungsi turunan dari y membawa faktor dy/dx.
• Penyebut hasil bagi dikuadratkan.

Tidak benar: Turunan dari u(x)v(x) selalu sama dengan u prima dikali v prima. Aturan perkalian adalah (uv)′=u′v+uv′: untuk x·x turunannya adalah 2x, bukan 1×1=1.

Menerapkannya

• Pilih bentuk yang berguna sebelum menurunkan: memperluas polinomial pendek mungkin lebih mudah.
• Untuk laju terkait, tulis hubungannya dalam simbol, turunkan terhadap waktu, lalu substitusikan nilai terukur.

Dalam kursus Anda

• Analisis dan Pendekatan HL, kursus pertama yang dinilai pada 2021.
• Kertas 1 tanpa kalkulator: pertahankan pecahan, bentuk akar, dan π secara eksak serta tunjukkan setiap langkah. Pada kertas yang menggunakan kalkulator, tetap tuliskan ekspresi sebelum nilainya.

Kunci:

• Aturan rantai: Aturan yang mengalikan turunan luar dengan turunan dalam untuk fungsi komposit.
• Untuk y=f(g(x)), y prime=f prime(g(x))g prime(x).
• Waspadai: Turunan dari sebuah perkalian bukan hasil kali dari turunannya.

Tulis dari turunan produk 11

• Untuk y = (2x plus 1)(x plus 3), tentukan turunan pada x = 1.
• Turunan dari hasil kali bukanlah hasil kali dari turunannya.

Bisakah kita mengintegralkan kedua faktor secara terpisah?

• Produk sederhana seperti xe^x tidak dapat diintegralkan dengan mengintegrasikan setiap faktornya secara terpisah.
• Pelajaran ini mempelajari integrasi parsial: Metode integrasi yang didasarkan pada turunan dari suatu produk.

Metode

• Gunakan substitusi ketika turunan dalam muncul sebagai faktor.
• Secara parsial, integral u v' = uv - integral u' v.
• Untuk fungsi rasional, lakukan pembagian terlebih dahulu jika perlu, lalu dekomposisi menjadi pecahan parsial.

Contoh terpecahkan

Contoh:

Untuk integral xe^x dx, ambil u=x dan v'=e^x. Maka integralnya adalah xe^x-e^x+C. Untuk integral 2x/(x²+1) dx, substitusikan w=x²+1, dw=2x dx; jawabannya adalah ln(x²+1)+C.

Di mana hal itu gagal

• Memilih u dan v' dengan baik itu penting: integral yang tersisa harus menjadi lebih sederhana.
• Dalam substitusi tentu, ubah batasnya atau kembalikan ke x sebelum menerapkan batas asli.

Tidak benar: Integral dari suatu perkalian sama dengan hasil kali integral terpisahnya. Perkalian memerlukan metode seperti integrasi parsial atau substitusi: ∫x·x dx=x³/3, bukan (x²/2)(x²/2).

Menerapkannya

• Periksa dengan menurunkan.
• Untuk volume putar sekitar sumbu-x gunakan V=π integral y² dx; jangan menyambungkan kuadrat fungsi dengan integral fungsi.

Dalam kursus Anda

• Analisis dan Pendekatan HL, kursus pertama yang dinilai pada 2021.
• Kertas 1 tanpa kalkulator: pertahankan pecahan, bentuk akar, dan π secara eksak serta tunjukkan setiap langkah. Pada kertas yang menggunakan kalkulator, tetap tuliskan ekspresi sebelum nilainya.

Kunci:

• Integrasi parsial: Metode integrasi berdasarkan turunan dari sebuah perkalian.
• Gunakan substitusi ketika turunan dalam muncul sebagai faktor.
• Perhatikan: memilih u dan v' dengan baik itu penting: integral yang tersisa harus menjadi lebih sederhana.

Tulis dari faktor volume 18

• Garis y = 3 diputar mengelilingi sumbu-x dari 0 hingga 2. Temukan volume dibagi dengan pi.
• Integral dari hasil kali bukanlah hasil kali dari integralnya.

Apa yang ditentukan oleh nilai awal?

• Laju populasi yang tumbuh berbanding lurus dengan ukurannya saat ini. Persamaan laju menggambarkan seluruh keluarga solusi hingga suatu populasi awal disediakan.
• Pelajaran ini mempelajari kondisi awal: Nilai yang ditentukan yang memilih solusi tertentu dari sebuah keluarga solusi.

Metode

• Untuk dy/dx=ky, pisahkan variabel: dy/y=k dx, menghasilkan y=Ae^(kx).
• Gunakan kondisi awal untuk menemukan A.
• Metode Euler mengambil y berikutnya=y+h f(x,y), dengan langkah h yang dipilih.

Contoh terpecahkan

Contoh:

Dengan dy/dx=0.5y dan y(0)=2, maka y=2e^(0.5x). Metode Euler dengan h=0.2 menghasilkan y(0.2)≈2+0.2×1=2.2 dan y(0.4)≈2.2+0.2×1.1=2.42. Nilai kedua yang eksak sekitar 2.4428.

Di mana hal itu gagal

• Kondisi awal menentukan konstanta integrasi; ini bukan pengganti untuk mengintegralkan.
• Membagi dengan y dapat melewatkan solusi ekuilibrium y=0.
• Akurasi Euler bergantung pada ukuran langkah dan persamaan.

Tidak benar: Setiap ukuran langkah memberikan aproksimasi Euler yang sama persis. Metode Euler bergantung pada ukuran langkah; langkah yang lebih kecil biasanya memberikan nilai yang lebih akurat.

Menerapkannya

• Untuk persamaan linear orde dua, gabungkan fungsi komplementer dengan integral parsial yang sesuai, lalu terapkan kondisi awal yang diperlukan.
• Ini adalah ruang lingkup Further Pure; periksa unit yang dinamakan.

Dalam kursus Anda

• Analisis dan Pendekatan HL, kursus pertama yang dinilai pada 2021.
• Kertas 1 tanpa kalkulator: pertahankan pecahan, bentuk akar, dan π secara eksak serta tunjukkan setiap langkah. Pada kertas yang menggunakan kalkulator, tetap tuliskan ekspresi sebelum nilainya.

Kunci:

• Kondisi awal: Nilai yang ditentukan yang memilih solusi tertentu dari suatu keluarga solusi.
• Untuk dy/dx=ky, pisahkan variabel: dy/y=k dx, menghasilkan y=Ae^(kx).
• Perhatikan: kondisi awal menentukan konstanta integrasi; ini bukan pengganti untuk melakukan integrasi.

Tulis dari nilai Euler pertama 4.4

• Gunakan Euler dengan langkah 0.2 untuk y prime = 0.5 y, dimulai dari y = 4.
• Temukan dua pendekatan pertama. Ukuran langkah yang berbeda menghasilkan pendekatan yang berbeda.

Tulis dari nilai Euler kedua 4.84

• Lanjutkan perhitungan yang sama satu langkah lagi.
• Setiap langkah dikalikan dengan 1 + 0.5 × 0.2 = 1.1, sehingga nilainya berurutan 4, 4.4, 4.84.

Tulis dari nilai eksak 4.886

• Selesaikan y' = 0.5 y secara eksak dan evaluasi pada x = 0.4.
• y = 4 e pangkat 0.5 x menghasilkan 4.886 — pendekatan Euler 4.84 mengalami undershoot karena kurva melengkung ke atas.