MM.1 · Coordinate operators, separated modes and stable updates

Menulis Laplacian fungsi radial sebagai f″ menghilangkan satu suku; operator tersebut milik koordinat, bukan simbolnya.

Prasyarat: Aljabar, diferensiasi, dan komponen vektor.

• Gunakan divergensi dan Laplacian dalam sistem koordinat yang dipilih oleh simetri
• Selesaikan masalah nilai batas mode sederhana yang terpisah
• Periksa konvergensi, satuan, dan stabilitas pembaruan numerik asli

Pilih koordinat berdasarkan simetri sebelum menulis operator. Untuk fungsi radial dalam koordinat bola, ∇²f=f″+(2/r)f′, dan divergensi medan radial A=A_r r̂ adalah (1/r²)d(r²A_r)/dr. Periksa: A=k r̂/r² memiliki divergensi (1/r²)dk/dr=0 menjauhi titik asal, dan f=1/r memenuhi ∇²f=f″+2f′/r=2/r³−2/r³=0 menjauhi titik asal. Bentuk Kartesius hanya berlaku untuk ketergantungan Kartesius.

Pemisahan variabel mengubah masalah nilai batas menjadi mode biasa. Untuk senar yang terikat di kedua ujungnya, tulis u=X(x)T(t); persamaan gelombang memberikan X″/X=(1/c²)T″/T=−k², ujung-ujung terikat memaksa X=sin(nπx/L), dan frekuensi yang diperbolehkan adalah ω_n=nπc/L, f_n=nc/(2L). Setiap mode harus memenuhi syarat batas sebelum penjumlahan atas mode apa pun.

An explicit Euler update for y′=−λy is y_{n+1}=(1−λh)y_n, bounded when |1−λh|≤1, i.e. 0<h≤2/λ for λ>0; asymptotic decay needs 0<h<2/λ. With λ=10 /s, h must not exceed 0.2 s; h=0.25 s multiplies by −1.5 each step and diverges with alternating sign. Stability is a property of the recurrence, not of the true solution.

Periksa jawaban numerik dengan tiga cara sebelum mempercayainya: satuan setiap suku (λh harus tak berdimensi), konvergensi saat penyempurnaan (setengahkan h dan bandingkan; error Euler eksplisit adalah orde pertama), dan kasus batas dengan jawaban eksak yang diketahui. Untuk y′=−4y dengan y0=8 dan h=0.2, lima langkah menghasilkan 8×0.2⁵=0.00256 versus nilai eksak 8e^(−4)≈0.1465: stabil tetapi tidak akurat, sehingga perlu disempurnakan.

Medan radial bola memiliki divergensi

Untuk $A_r=Cr$, hasilnya adalah 3C, bukan C. Ujung tali terikat memerlukan $X(0)=X(L)=0$, sehingga $X_n=\sin(n\pi x/L)$ dengan bilangan bulat positif n. Euler untuk $\dot y=-\lambda y$ menghasilkan $y_{n+1}=(1-\lambda h)y_n$. Untuk h positif, stabilitas mutlak terbatas mengizinkan $h\leq2/\lambda$; peluruhan ke nol memerlukan ketaksamaan ketat $0<h<2/\lambda$. Pada titik akhir atas, solusi numerik berosilasi tanpa peluruhan. Stabilitas tidak menjamin akurasi.

Menerapkan Laplacian Kartesius pada fungsi radial, menjumlahkan mode yang melanggar syarat batas, atau memanggil jalanan yang terlihat terbatas sebagai konvergen tanpa merefinasi langkah. Cocokkan operator, batas, dan kondisi stabilitas dengan masalah sebenarnya.

pemisahan variabel: Menyelesaikan persamaan diferensial parsial dengan menuliskan fungsi tak diketahui sebagai hasil kali faktor satu variabel.

kondisi stabilitas: Batasan ukuran langkah yang mencegah perbesaran kesalahan dalam rekurensi numerik.