QM.1 · Scattering, degeneracy and Pauli operators

Gelombang kuantum dapat memantul dari langkah potensial turun meskipun partikel klasik tidak memiliki titik balik di sana.

Prasyarat: 5.

• Sesuaikan gelombang merambat dan fluks melintasi perubahan potensial terbatas
• Hitung keadaan osilator isotropik degenerat
• Evaluasi produk Pauli dan bedakan antikomutasi dari kesamaan

Untuk potensial tetap V dan energi E>V, solusi spasialnya adalah faktor merambat exp(±ikx), dengan k=sqrt[2m(E−V)]/$\hbar$. Pada langkah terbatas dengan massa partikel yang sama, fungsi gelombang dan turunan pertamanya kontinu. Dalam masalah hamburan insiden kiri tanpa berkas masuk dari kanan, solusi jauh-kanan hanya mengandung faktor merambat ke kanan Ae^(ikx). Jika sumur terbatas kembali ke potensial eksternal asli, bilangan gelombang transmisi eksternal sama dengan insiden, meskipun bilangan gelombang interior berbeda. Solusi meluruh eksponensial menggambarkan daerah E<V, bukan setiap sumur potensial.

For a step from V1 to V2 with both regions classically allowed, write incident-plus-reflected amplitude in region 1 and transmitted amplitude in region 2. Continuity gives r=(k1−k2)/(k1+k2) and t=2k1/(k1+k2). Reflection probability is R=|r|²; transmission is T=(k2/k1)|t|² because probability current depends on wave number. Thus R+T=1 for a lossless step. Do not add raw squared transmitted amplitude to R without its current factor. With k2=3k1, R=1/4 and T=3/4 despite a downward step.

Osilator isotropik tiga dimensi terurai menjadi mode x, y, z dengan bilangan bulat tak negatif n_x, n_y, n_z. Energinya adalah (N+3/2)$\hbar$ω, di mana N=n_x+n_y+n_z. Untuk partikel tunggal yang dapat dibedakan dengan spin nol, degenerasi spasial adalah jumlah tripel semacam itu: (N+1)(N+2)/2. Ini menghitung penugasan berbeda, bukan hanya partisi tak berurutan yang berbeda. Untuk N=2, keenam keadaan adalah permutasi dari (2,0,0) dan (1,1,0). Untuk N=3, degenerasinya adalah 10. Kendala spin tambahan atau partikel identik akan mengubah masalah penghitungan ini.

Matriks Pauli adalah σ_x=[[0,1],[1,0]], σ_y=[[0,−i],[i,0]], σ_z=[[1,0],[0,−1]]. Masing-masing kuadratnya sama dengan identitas. Perkalian langsung menghasilkan σ_xσ_y=iσ_z dan σ_yσ_x=−iσ_z, sehingga matriks Pauli yang berbeda saling antikomutasi. Produk siklis x→y→z memiliki i positif; membalikkan urutan mengubah tanda. Identitas umum adalah σ_iσ_j=δ_ijI+iΣε_ijkσ_k. Urutan matriks penting: σ_xσ_z=−iσ_y, bukan iσ_y atau sekadar σ_y. Matriks tanpa dimensi ini menjadi operator spin S_i=$\hbar$σ_i/2, menambahkan satuan fisik dan faktor.

Pada langkah potensial hingga, samakan fungsi gelombang dan turunan untuk massa partikel yang sama.

Probabilitas transmisi menggunakan arus, bukan hanya amplitudo. Untuk $k_2=3k_1$, $r=-1/2$, $t=1/2$. Refleksi terjadi bahkan untuk langkah ke bawah. Tanda fasenya hilang saat mengambil probabilitas.

Probabilitas transmisi memerlukan rasio arus bilangan gelombang. Degenerasi osilator menghitung triplet mode terurut. Jangan membalikkan urutan matriks Pauli tanpa mengubah tandanya.

koefisien refleksi: Fraksi arus-probabilitas yang dipantulkan relatif terhadap arus insiden.

degenerasi: Jumlah keadaan independen yang berbagi energi yang ditentukan.