T.12 · Kelengkapan metrik dan penutupan dari basis

Persiapan GRE tingkat sarjana. Tujuan lokal dalam cakupan ETS yang ditinjau; ini adalah pengajaran orisinal, bukan uji coba resmi atau prediktor skor.

Prasyarat: Aksioma metrik, barisan Cauchy, dan topologi dari basis.

• Periksa metrik tarik balik menggunakan sifat-sifat pemetaannya
• Tentukan kelengkapan melalui citra isometri
• Tentukan tutup menggunakan setiap lingkungan dasar alih-alih intuisi Euclidean

ruang metrik lengkap: Ruang metrik di mana setiap barisan Cauchy konvergen ke titik dalam ruang tersebut.

basis lingkungan: Lingkungan dasar yang cukup untuk menguji sifat topologis lokal.

Untuk pemetaan injektif h:X→R, d(x,y)=|h(x)−h(y)| adalah metrik: simetri dan ketaksamaan segitiga berasal dari R, dan injektivitas memastikan d(x,y)=0 hanya jika x=y. Pemetaan h adalah isometri pada citranya h(X). Jika h tidak injektif, konstruksi ini mungkin hanya pseudometrik. Jarak terbatas tidak membuktikan suatu ruang lengkap, dan himpunan titik yang familiar dapat memiliki perilaku Cauchy yang sangat berbeda di bawah metrik yang berbeda.

Metrik tarik balik lengkap tepat ketika citra h(X) lengkap dalam jarak real biasa. Subset tertutup dari R adalah lengkap. Untuk h(x)=arctan x pada R, citranya adalah (−π/2,π/2), yang melewatkan ujung-ujungnya. Barisan n adalah Cauchy dalam metrik tarik balik karena arctan n→π/2, tetapi tidak ada bilangan real x sehingga arctan x=π/2, sehingga metriknya tidak lengkap. Untuk h(x)=x³, citranya adalah seluruh R dan metrik tarik baliknya lengkap. Kesetaraan topologis saja tidak mempertahankan kelengkapan.

Dalam topologi dengan basis, x terletak dalam tutup A ketika setiap lingkungan terbuka dasar dari x beririsan dengan A. Ini adalah uji keanggotaan, bukan operasi batas Euclidean secara otomatis. Basis harus menutupi ruang, dan untuk titik dalam dua himpunan basis harus ada himpunan basis yang lebih kecil yang memuatnya dalam irisan keduanya. Sebuah titik dapat terletak dalam tutup singleton bahkan ketika ia bukan titik dari singleton itu sendiri; kemungkinan ini bergantung pada topologinya.

Pada X={2,3,4,…}, ambil himpunan dasar U_k={n in X: n divides k}, untuk k≥2. Mereka menutupi X karena x∈U_x; irisannya adalah U_gcd(k,l) ketika gcd minimal 2, atau kosong. Titik x terletak dalam tutup {n} tepat ketika setiap k yang habis dibagi x juga habis dibagi n: ekuivalennya n membagi x. Lebih langsung, lingkungan dasar terkecil U_x memuat n tepat ketika n membagi x, dan setiap lingkungan lain yang memuat x mencakup pembagi-pembagi ini. Jadi tutup dari {8} terdiri dari kelipatan positif dari 8, bukan faktor-faktor dari 8.

Di bawah d(x,y)=|arctan x−arctan y|, barisan bilangan bulat menuju ujung gambar yang hilang daripada titik di R, sehingga ia Cauchy tanpa konvergensi di ruang tersebut. Dalam basis pembagi, 16 terletak dalam closure {8}, karena setiap himpunan dasar yang memuat 16 juga memuat 8. Namun 4 tidak: U_4={2,4} adalah lingkungan dari 4 yang tidak memuat 8. Ini secara eksplisit memisahkan kelipatan dari pembagi.

Batas Cauchy harus berada di ruang yang sama. Kelengkapan adalah sifat metrik, bukan hanya topologis. Untuk penutupan, uji setiap lingkungan dari titik kandidat, alih-alih setiap lingkungan dari nilai tunggal.

Pada $\mathbb R$ bandingkan $d_1(x,y)=|x^3-y^3|$ dan $d_2(x,y)=|\arctan x-\arctan y|$. Buktikan bahwa keduanya adalah metrik dan tentukan kelengkapannya.

Penyelesaian terarah

Kedua pemetaan pendefinisian injektif, memberikan pemisahan positif; jarak mutlak memberikan simetri dan ketaksamaan segitiga. Setiap pemetaan adalah isometri pada citra realnya. Pemetaan kubus memiliki citra seluruh $\mathbb R$, ruang yang lengkap, sehingga d1 lengkap. Citra arctangent adalah interval terbuka $(-\pi/2,\pi/2)$, yang tidak lengkap. Barisan n adalah d2-Cauchy karena arctan n mendekati pi/2, tetapi tidak ada titik real yang memiliki citra tersebut, sehingga tidak memiliki limit d2. Nilai metrik terbatas tidak menyiratkan kelengkapan.

Pada $X=\{2,3,4,\ldots\}$ gunakan basis faktor $U_k=\{n\in X:n\mid k\}$. Temukan tutup dari $\{6\}$ dan interior dari $\{6\}$. Verifikasi kondisi basis, termasuk irisan kosong.

Periksa setelah mencoba

Setiap x thuộc vào Ux. Irisannya adalah $U_{\gcd(k,l)}$ jika gcd minimal dua, dan kosong untuk gcd satu. Jadi sebuah titik dalam irisan memiliki lingkungan dasar di dalamnya. Lingkungan dasar terkecil dari x adalah Ux, terkandung dalam setiap Uk yang memuat x. Ia beririsan dengan {6} tepat ketika $6\mid x$. Oleh karena itu tutupnya adalah $\{6,12,18,\ldots\}$, kelipatan enam. Titik enam bukan interior dari singlettonnya karena U6 juga memuat dua dan tiga. Tidak ada titik lain yang berada dalam singleton itu, jadi interiornya kosong. Perhitungan tutup ini menggunakan semua lingkungan dasar, bukan intuisi Euclidean.