C.11 · Integrasi parsial, pembalikan urutan, dan simetri

Persiapan GRE tingkat sarjana. Tujuan lokal dalam cakupan ETS yang ditinjau; ini adalah pengajaran orisinal, bukan uji coba resmi atau prediktor skor.

Prasyarat: Aturan perkalian, limit tak wajar, dan daerah integrasi planar.

• Turunkan reduksi integral parsial dengan batas titik akhir yang valid
• Balik integral ganda dengan merekonstruksi daerahnya
• Gunakan simetri refleksi sambil memeriksa perilaku titik ujung yang dapat dihilangkan

integral parsial: Identitas integrasi yang diturunkan dari aturan perkalian dengan suku batas.

simetri refleksi: Hubungan antara nilai fungsi integran pada titik-titik yang dicerminkan terhadap titik tengah interval.

Integral parsial berasal dari aturan perkalian: ∫u dv=uv−∫v du. Untuk integral tentu, sertakan suku batas di kedua ujung. Dengan I_n(x)=∫₁ˣ(ln t)^n dt, pilih u=(ln t)^n dan dv=dt. Untuk n≥1, batas bawah hilang, memberikan I_n=x(ln x)^n−n I_(n−1). Tanda tambah akan melanggar identitas terdiferensiasi. Pertahankan batas bawah yang sama dalam rekurensi; mengubahnya akan mengubah konstantanya.

Untuk integral tak wajar, terapkan identitas terlebih dahulu pada batas finite, lalu justifikasi batas limit dan integral yang tersisa. Jika ∫₋∞^∞e^(−x²)dx=√π, tetapkan u=x dan dv=x e^(−x²)dx untuk ∫x²e^(−x²)dx. Karena v=−e^(−x²)/2 dan x e^(−x²)→0 di kedua tak hingga, momen kedua penuh adalah √π/2. Kek genapan memberikan momen setengah garis positif √π/4. Batas yang hilang merupakan bagian dari argumen, bukan sifat otomatis dari setiap integral tak wajar.

Untuk membalik ∫₀¹∫ₓ¹F(x,y)dy dx, deskripsikan segitiga 0≤x≤y≤1, kemudian tulis ulang sebagai ∫₀¹integral dari 0 hingga yF(x,y)dx dy. Baik interval luar maupun batas dalam berubah; menukar simbol saja akan mengubah daerah. Untuk F=e^(y²), mengintegrasikan terhadap x terlebih dahulu menghasilkan ∫₀¹y e^(y²)dy=(e−1)/2. Kontinuitas pada segitiga kompak ini membuat pembalikan urutan menjadi valid; kasus singular atau konvergen bersyarat memerlukan kehati-hatian lebih lanjut.

Jika fungsi terintegrasi pada [a,b] memenuhi f(a+b−x)=−f(x), refleksi menjadikan integralnya sama dengan negatifnya, sehingga nol. Untuk sin(2mx)/sin x pada [0,π] dengan bilangan bulat positif m, refleksi x↦π−x mengubah tanda pembilang dan mempertahankan penyebut. Singularitas titik ujung yang tampak dapat dihilangkan: limitnya adalah 2m di nol dan −2m di π. Periksa limit-limit ini sebelum invoking simetri; pembatalan bukanlah pengganti integritabilitas.

Untuk I₂(x)=∫₁ˣ(ln t)²dt, rekurensi memberikan x(ln x)²−2I₁(x), dengan I₁(x)=x ln x−x+1. Oleh karena itu I₂=x[(ln x)²−2ln x+2]−2. Konstanta −2 memastikan I₂(1)=0. Secara terpisah, membalik integral segitiga e^(y²) menghasilkan faktor y dari panjang-x dalam; melewatkan faktor ini akan mengembalikan kesulitan asli dan mengubah nilainya.

Integrasi tak wajar dengan integrasi parsial memerlukan limit ujung. Rekonstruksi daerah sebelum membalik urutan. Integran yang dipantulkan yang terlihat aneh harus dapat diintegralkan, termasuk apa pun ujung yang dapat dihilangkan.

Evaluasi $\int_0^1\int_x^1 e^{y^2}\,dy\,dx$ dengan membalik urutan. Deskripsikan daerah sebelum dan sesudah pembalikan. Turunkan formula untuk $I_2(x)=\int_1^x(\ln t)^2\,dt$, $x>0$.

Penyelesaian terarah

Daerahnya adalah $0\le x\le y\le1$. Dalam urutan yang dibalik, y berkisar dari nol hingga satu dan x dari nol hingga y. Kontinuitas pada segitiga kompak memungkinkan pembalikan urutan, menghasilkan $\int_0^1 ye^{y^2}\,dy=(e-1)/2$. Integrasi parsial dengan $u=(\ln t)^2$, $dv=dt$ menghasilkan $I_2=x(\ln x)^2-2I_1$. Karena $I_1=x\ln x-x+1$,

Diferensiasi memeriksa fungsi integran; mensubstitusikan x=1 memeriksa konstantanya.

Untuk bilangan bulat positif m, evaluasi $\int_0^{\pi}\sin(2mx)/\sin x\,dx$. Justifikasi keterintegralkan di titik ujung sebelum menggunakan simetri.

Periksa setelah mencoba

Limit titik ujung adalah 2m di nol dan -2m di pi, berdasarkan limit sinus orde pertama. Kedua singularitas dapat dihilangkan, sehingga fungsi integran yang diperluas secara kontinu dapat terintegralkan. Refleksi $x\mapsto\pi-x$ mempertahankan penyebut dan membalik pembilang. Integral sama dengan negatifnya sendiri, sehingga bernilai nol. Pembatalan simetris tidak akan membuktikan konvergensi untuk titik ujung yang benar-benar divergen; limit yang dapat dihilangkan ini sangat penting.