P4 · Pure Mathematics 4

Pure Mathematics 4 (P4) adalah unit matematika murni wajib terakhir untuk International A Level Mathematics dan International A Level Pure Mathematics. P1–P3 diasumsikan dan dapat diuji dalam kertas WMA14/01 (1 jam 30 menit, 75 skor; aturan kalkulator dan buku rumus yang sama). Referensi ini meliputi pembuktian dengan kontradiksi, pecahan parsial, persamaan parametrik, deret binomial umum, turunan implisit dan parametrik, persamaan diferensial, metode integrasi lanjutan, volume putar, dan vektor. deret, diferensiasi implisit dan parametrik, persamaan diferensial, perluasan metode integrasi, volume perputaran, dan vektor.

Wajib diketahui untuk P4 (tidak ada di buku catatan):

Pembuktian dengan kontradiksi mengasumsikan kebalikan dari klaim, menurunkan sebuah ketidakmungkinan, dan menyimpulkan klaim awal. Dua klasik harus diketahui:

Contoh terpecahkan — $\sqrt2$ adalah irasional. (Sebuah bilangan irasional jika tidak ada pecahan $\tfrac pq$ yang sama dengannya.) Misalkan sebaliknya $\sqrt2 = \tfrac pq$ dalam bentuk paling sederhana ($p, q$ bilangan bulat saling prima, $q \ne 0$).

• Kuadratkan: $2 = \tfrac{p^2}{q^2} \implies p^2 = 2q^2$, sehingga $p^2$ genap, sehingga $p$ genap: tulis $p = 2r$.
• Maka $4r^2 = 2q^2 \implies q^2 = 2r^2$, sehingga $q$ juga genap.
• Kedua $p$ dan $q$ genap bertentangan dengan $\tfrac pq$ berada dalam bentuk paling sederhana. $\blacksquare$

Contoh terpecahkan — terdapat tak hingga banyak bilangan prima. Misalkan terbatas banyaknya: $p_1, \ldots, p_k$.

• Pertimbangkan $N = p_1p_2\cdots p_k + 1$. Membagi $N$ dengan setiap $p_i$ meninggalkan sisa 1.
• Jadi $N$ itu sendiri prima atau memiliki faktor prima yang tidak ada dalam daftar — baik cara mana pun sebuah bilangan prima di luar $\{p_1, \ldots, p_k\}$, bertentangan dengan asumsi. $\blacksquare$

Contoh terpecahkan — kontradiksi trigonometri (disesuaikan dari Edexcel IAL WMA14 Juni 2025 Soal10). Buktikan bahwa $\lvert\sin x + \cos x\rvert < 1$ untuk semua $90° < x < 180°$.

• Misalkan tidak: beberapa $x$ dalam jangkauan memiliki $\lvert\sin x + \cos x\rvert \ge 1$. Kuadratkan (kedua sisi non-negatif):
  $$(\sin x + \cos x)^2 \ge 1 \implies \sin^2x + 2\sin x\cos x + \cos^2x \ge 1 \implies 1 + \sin 2x \ge 1 \implies \sin 2x \ge 0$$
• Tapi $90° < x < 180°$ menghasilkan $180° < 2x < 360°$, di mana $\sin 2x < 0$ — sebuah kontradiksi.
• Jadi tidak ada $x$ seperti itu dan $\lvert\sin x + \cos x\rvert < 1$ berlaku sepanjang rentang. $\blacksquare$
• Periksa pada $x = 135°$: $\lvert\tfrac{\sqrt2}2 - \tfrac{\sqrt2}2\rvert = 0 < 1$ ✓; pada $x = 100°$: $\lvert 0.985 - 0.174\rvert = 0.811 < 1$ ✓.

Dekomposisi fungsi rasional menjadi pecahan parsial. Penyebut tetap pada kompleksitas linear berulang: $(ax+b)(cx+d)(ex+f)$ atau $(ax+b)(cx+d)^2$ dengan faktor berulang $(cx+d)$ terbagi di seluruh pangkat; faktor kuadrat tidak diperlukan. Pecahan tak wajar (derajat pembilang $\ge$ penyebutnya) bagi terlebih dahulu.

Contoh terarah — faktor berbeda. Dekomposisikan $\dfrac{5x + 1}{(x+2)(x-1)}$ (dari lembaran P2 keluarga):

• Periksa pada $x = 0$: SRS $= \tfrac1{-2} = -\tfrac12$; SRK $= \tfrac32 - 2 = -\tfrac12$ ✓.

Contoh terarah — faktor berulang. Dekomposisikan $\dfrac{3x^2 + 7x + 6}{x(x+1)^2}$.

• Susun dengan faktor berulang terbagi di kedua pangkat:
  $$\frac{3x^2+7x+6}{x(x+1)^2} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+1} + \frac{C}{(x+1)^2}$$
• Kalikan ke seluruh ruas: $3x^2 + 7x + 6 = A(x+1)^2 + Bx(x+1) + Cx$.
• Pada $x = 0$: $6 = A$. Pada $x = -1$: $3 - 7 + 6 = 2 = -C \Rightarrow C = -2$.
• Bandingkan $x^2$: $3 = A + B \Rightarrow B = -3$.
  $$\frac{3x^2+7x+6}{x(x+1)^2} = \frac{6}{x} - \frac{3}{x+1} - \frac{2}{(x+1)^2}$$
• Periksa pada $x = 1$: SRS $= \tfrac{16}{4} = 4$; SRK $= 6 - \tfrac32 - \tfrac12 = 4$ ✓.

Persamaan parametrik memberikan kedua koordinat melalui parameter $t$: $x = f(t)$, $y = g(t)$. Ubah ke bentuk Cartesian dengan menjadikan $t$ sebagai subjek satu persamaan dan mensubstitusikannya ke persamaan lain (atau dengan memanfaatkan identitas). Jangan pernah lupa nilai yang dikecualikan dari $x$ di mana pemetaan parameter tidak terdefinisi.

Contoh Terpecahkan. Sebuah kurva memiliki $x = 2t$, $y = t^2 - 1$. Temukan persamaan Cartesian.

• Dari $x = 2t$: $t = \dfrac x2$, sehingga
  $$y = \left(\frac x2\right)^2 - 1 = \frac{x^2}{4} - 1$$
• Periksa pada $t = 3$: $(x, y) = (6, 8)$; Cartesian: $36/4 - 1 = 8$ ✓.

Contoh Terpecahkan — titik parametrik dan garis normal (fakta yang diverifikasi dari Edexcel IAL WMA14 Juni 2025 Q5). Kurva parametrik melalui $P(-7, -3)$ pada $t = 2$ dengan $\dfrac{dy}{dx} = -\tfrac45$ di sana (dari $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/dt}{dx/dt}$).

• Gradien garis normal: $-\dfrac{1}{-4/5} = \dfrac54$.
  $$y + 3 = \tfrac54(x + 7) \implies 5x - 4y + 23 = 0$$
• Cek: $5(-7) - 4(-3) + 23 = -35 + 12 + 23 = 0$ ✓.

Untuk setiap rasional $n$ dan $\lvert x \rvert < 1$:

Faktorkan terlebih dahulu: $(a + bx)^n = a^n\left(1 + \tfrac ba x\right)^n$, berlaku untuk $\lvert x\rvert < \left\lvert\tfrac ab\right\rvert$. Dekomposisi fungsi rasional menjadi pecahan parsial, lalu jabarkan setiap bagiannya. Pangkat tidak akan berhenti kecuali $n$ adalah bilangan bulat positif.

Contoh Terpecahkan (disesuaikan dari Edexcel IAL WMA14 Juni 2025 Q8). Jabarkan $\sqrt{4 + x}$ hingga tiga suku tak nol.

• Faktorkan: $\sqrt{4+x} = 2\left(1 + \tfrac x4\right)^{1/2}$, berlaku $\lvert x\rvert < 4$, dengan $n = \tfrac12$:
  $$\left(1 + \frac x4\right)^{1/2} = 1 + \frac12\cdot\frac x4 + \frac{\frac12\left(-\frac12\right)}{2}\left(\frac x4\right)^2 + \cdots = 1 + \frac x8 - \frac{x^2}{128} + \cdots$$
  $$\sqrt{4+x} = 2 + \frac x4 - \frac{x^2}{64} + \cdots$$
• Periksa pada $x = 1$: deret menghasilkan $2 + 0.25 - 0.0156 = 2.234$; benar $\sqrt5 = 2.2361\ldots$ ✓ (suku ketiga menarik nilai dua-suku 2.25 ke dalam 0.002).

Turunan implisit menurunkan kedua ruas terhadap $x$, menganggap $y$ sebagai fungsi $x$: $\dfrac{d}{dx}y^2 = 2y\dfrac{dy}{dx}$, dan hasil kali seperti $xy$ memerlukan aturan hasil kali: $\dfrac{d}{dx}(xy) = y + x\dfrac{dy}{dx}$. Kemudian selesaikan untuk $\dfrac{dy}{dx}$.

Diferensiasi parametrik: $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/dt}{dx/dt}$ ketika $dx/dt\ne0$; jika tidak, periksa tangen langsung.

Contoh terpecahkan — garis singgung implisit (disesuaikan dari Edexcel IAL WMA14 Juni 2025 Q1). Kurva $2y^2 - 6xy + 7\mathrm{e}^{1-2x} = 27$ melalui titik $\left(\tfrac12,\ 4\right)$. Temukan garis singgungnya di sana.

• Turunkan suku demi suku:
  $$4y\frac{dy}{dx} - 6y - 6x\frac{dy}{dx} - 14\mathrm{e}^{1-2x} = 0 \implies \frac{dy}{dx} = \frac{6y + 14\mathrm{e}^{1-2x}}{4y - 6x}$$
• Pada $\left(\tfrac12, 4\right)$: $\mathrm{e}^{1-1} = 1$, sehingga
  $$\frac{dy}{dx} = \frac{24 + 14}{16 - 3} = \frac{38}{13}$$
• Garis singgung: $y - 4 = \tfrac{38}{13}\left(x - \tfrac12\right) \implies 38x - 13y + 33 = 0$.
• Cek: $38\left(\tfrac12\right) - 13(4) + 33 = 19 - 52 + 33 = 0$ ✓.

Bentuk persamaan dari deskripsi laju, kemudian selesaikan persamaan terpisah:

Periksa nilai apa pun yang dibagi saat memisahkan variabel: solusi konstan dapat hilang. Gunakan kondisi batas untuk solusi khusus. Tingkat perubahan terhubung menggunakan aturan rantai: $\dfrac{dV}{dt} = \dfrac{dV}{dr}\cdot\dfrac{dr}{dt}$.

Contoh terpecahkan — bola yang mencair (Edexcel IAL WMA14 Juni 2025 Q2). Sebuah bola berjari-jari $r$ cm memiliki volume $V = \tfrac43\pi r^3$ dan mencair dengan $\dfrac{dV}{dt} = k$ (konstan, dalam cm³ per detik). Tunjukkan $\dfrac{dr}{dt} \propto \dfrac1{r^2}$.

• Turunkan hubungan volume: $\dfrac{dV}{dr} = 4\pi r^2$.
• Aturan rantai: $k = \dfrac{dV}{dt} = 4\pi r^2\dfrac{dr}{dt}$, sehingga
  $$\frac{dr}{dt} = \frac{k}{4\pi r^2} = \frac{k}{4\pi}\cdot\frac{1}{r^2}$$
• Konstanta $\dfrac{k}{4\pi}$ mengalikan $\dfrac{1}{r^2}$: laju penurunan jari-jari berbanding terbalik dengan $r^2$. $\blacksquare$
• Interpretasi: bola kecil hilang secara tidak proporsional cepat—milimeter terakhir mencair paling cepat.

Contoh terpecahkan — persamaan yang dapat dipisahkan (disesuaikan dari Edexcel IAL WMA14 Juni 2025 Q3). Selesaikan $y\dfrac{dy}{dx} = 3\sec 2x\tan 2x$, dengan $y = 4$ pada $x = \tfrac\pi6$.

• Pisahkan: $\displaystyle\int y\,dy = \int 3\sec 2x\tan 2x\,dx$ (sisi kanan diintegrasikan menjadi $\tfrac32\sec 2x$, membalikkan $\dfrac{d}{dx}\sec 2x = 2\sec 2x\tan 2x$):
  $$\frac{y^2}{2} = \frac32\sec 2x + c \implies y^2 = 3\sec 2x + C$$
• Substitusi $\left(\tfrac\pi6, 4\right)$: $16 = 3\sec\tfrac\pi3 + C = 3(2) + C$, sehingga $C = 10$:
  $$y^2 = 3\sec 2x + 10$$
• Cek: $3(2) + 10 = 16 = 4^2$ ✓.

• Substitusi (biasanya diberikan): tulis ulang integral dalam $u$, sesuaikan $dx$ melalui $\dfrac{du}{dx}$, integralkan, lalu substitusikan kembali. Ini adalah aturan rantai yang dibalik.
• Integrasi dengan bagian: $\displaystyle\int u\dfrac{dv}{dx}dx = uv - \int v\dfrac{du}{dx}dx$ — aturan perkalian yang dibalik. Pahami $\displaystyle\int\ln x\,dx = x\ln x - x + c$ dan bagian berulang untuk integral tipe $\int x^2\mathrm{e}^x dx$.
• Pecahan parsial mengubah fungsi rasional menjadi jumlah $\dfrac{A}{ax+b}$ (mengintegrasikan menjadi logaritma) dan $\dfrac{C}{(ax+b)^2}$ (menjadi pangkat).

Contoh terpecahkan — bagian dengan pengulangan yang terlihat. Temukan $\displaystyle\int \mathrm{e}^x\cos x\,dx$ (diperlukan untuk volume putar dengan kurva trigonometri).

• Bagian dengan $u = \mathrm{e}^x$, $\tfrac{dv}{dx} = \cos x$:
  $$\int \mathrm{e}^x\cos x\,dx = \mathrm{e}^x\sin x - \int\mathrm{e}^x\sin x\,dx$$
• Bagian lagi pada integral baru ($u = \mathrm{e}^x$, $\tfrac{dv}{dx} = \sin x$):
  $$= \mathrm{e}^x\sin x + \mathrm{e}^x\cos x - \int\mathrm{e}^x\cos x\,dx$$
• Integral asli muncul kembali; kumpulkan integral tersebut:
  $$2\int\mathrm{e}^x\cos x\,dx = \mathrm{e}^x(\sin x + \cos x) + c \implies \int \mathrm{e}^x\cos x\,dx = \tfrac12\mathrm{e}^x(\sin x + \cos x) + c$$
• Verifikasi dengan menurunkan: $\tfrac12\mathrm{e}^x(\sin x + \cos x) + \tfrac12\mathrm{e}^x(\cos x - \sin x) = \mathrm{e}^x\cos x$ ✓.

Memutar daerah di bawah $y = f(x) \ge 0$ terhadap sumbu-$x$ menghasilkan padatan yang volumenya adalah

volume putar

Kuadratkan fungsi sebelum mengintegralkan, gunakan identitas untuk menangani $\sin^2$/$\cos^2$, dan pisahkan melalui linearitas. Dengan persamaan parametrik, ganti $y^2\,dx$ dengan $y^2\dfrac{dx}{dt}\,dt$ antara nilai parameter; luas di bawah kurva parametrik menggunakan $y\dfrac{dx}{dt}\,dt$.

Contoh terpecahkan — volume dengan identitas (struktur disesuaikan dari Edexcel IAL WMA14 Juni 2025 Q9). Daerah di bawah $y = 3\cos x$ untuk $0 \le x \le \tfrac\pi2$ berotasi sekitar sumbu-$x$; temukan volume eksaknya.

• Cek: rata-rata $\cos^2x$ selama setengah putaran adalah $\tfrac12$, sehingga $V \approx 9\pi \times \tfrac12 \times \tfrac\pi2 = \tfrac{9\pi^2}{4}$ ✓ tepat.

Vektor memiliki besar dan arah, ditulis $\mathbf a = a_1\mathbf i + a_2\mathbf j + a_3\mathbf k$ atau sebagai kolom.

Besar adalah $\lvert\mathbf a\rvert = \sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$; untuk $\mathbf a\ne\mathbf0$, vektor satuan dalam arahnya adalah $\mathbf a/\lvert\mathbf a\rvert$. Vektor nol tidak memiliki arah.

Penjumlahan dan perkalian skalar memiliki makna geometris (translasi, penskalaan, sejajar jika satu merupakan kelipatan yang lain).

Perkalian skalar $\mathbf a\cdot\mathbf b = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$ memberikan sudut antar vektor bukan nol melalui $\cos\theta$. Vektor posisi dari $B$ relatif terhadap $A$ adalah $\overrightarrow{AB} = \mathbf b - \mathbf a$.

Contoh terpecahkan — segitiga 45° (Edexcel IAL WMA14 Juni 2025 Q6, diverifikasi penuh). $A = \mathbf i + 2\mathbf j - 3\mathbf k$, $B = 5\mathbf i + 2\mathbf j + \mathbf k$, $C = 3\mathbf i + \alpha\mathbf j + 5\mathbf k$, dan sudut $BAC = 45°$.

• $\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}4\\0\\4\end{pmatrix}$, sehingga $\lvert\overrightarrow{AB} \rvert = \sqrt{32}$; $\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix}2\\\alpha - 2\\8\end{pmatrix}$.
• Perkalian skalar: $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = 8 + 0 + 32 = 40$.
• Syarat sudut dengan $\cos 45° = \tfrac1{\sqrt2}$:
  $$\frac{40}{\sqrt{32}\sqrt{68 + (\alpha-2)^2}} = \frac{1}{\sqrt2} \implies \sqrt{68 + (\alpha-2)^2} = \frac{40\sqrt2}{\sqrt{32}} = \frac{40\sqrt2}{4\sqrt2} = 10$$
  $$(\alpha-2)^2 = 100 - 68 = 32 \implies \alpha = 2 \pm 4\sqrt2$$
• Cek: $\lvert\overrightarrow{AB}\rvert\lvert\overrightarrow{AC}\rvert\cos45° = \sqrt{32}\times 10 \times \tfrac1{\sqrt2} = 4\sqrt2\times10\times\tfrac1{\sqrt2} = 40$ ✓ sesuai dengan perkalian skalar.

• Struktur pembuktian kontradiksi (√2, bilangan prima) dengan asumsi stated dan kontradiksi named.
• Dekomposisi pecahan parsial termasuk faktor linear berulang; bagi pecahan tidak wajar terlebih dahulu; verifikasi dengan nilai substitusi.
• Konversi parametrik ↔ Kartesius dengan nilai yang dikecualikan; cari garis singgung dan garis normal parametrik melalui dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt).
• Ekspansi $(a + bx)^n$ untuk rasional $n$ dengan syarat keabsahan; gabungkan ekspansi pecahan parsial. pecahan parsial.
• Diferensiasi implisit (aturan perkalian pada suku campuran) dan secara parametrik; susun persamaan diferensial dari laju terhubung. persamaan dari laju terhubung.
• Selesaikan persamaan yang dapat dipisahkan dengan kondisi batas; periksa solusi khusus.
• Integralkan dengan substitusi, bagian (termasuk pengulangan, $\ln x$), dan pecahan parsial.
• Hitung volume benda putar $\pi\int y^2 dx$ dan luas parametrik melalui $dx/dt$.
• Gunakan vektor: besar, vektor satuan, vektor posisi; sudut hasil kali titik.