Matematika Murni 1: alat bantu yang digunakan setiap unit selanjutnya
Matematika Murni 1 (P1) adalah unit wajib pertama dari International AS dan International A Level Mathematics, serta International A Level Pure Mathematics. Referensi ini mencakup setiap topik P1 dalam spesifikasi Edexcel IAL (Isu 3, April 2019): aljabar dan fungsi, koordinat geometri, trigonometri, diferensiasi dan integrasi.
- Ujian P1 (WMA11/01) berlangsung selama 1 jam 30 menit dengan 75 soal, dan Anda harus menjawab semua soal. Ujian terbaru memiliki sepuluh soal dari 5 hingga 11 poin masing-masing.
- Kalkulator boleh digunakan, tetapi tidak boleh kalkulator dengan aljabar simbolik, diferensiasi simbolik atau integrasi, atau rumus tersimpan yang dapat diambil kembali.
- Buku kuning Rumus Matematika dan Tabel Statistik disediakan. Rumus-rumus dalam tabel "harus Anda ketahui" di bawah ini tidak muncul di buku tersebut, jadi hafalkanlah.
- Berikan jawaban yang tidak tepat ke 3 angka penting kecuali diperintahkan lain. Ketika sebuah soal mengatakan "Anda harus menunjukkan seluruh langkah pengerjaan Anda", jawaban kalkulator saja tidak mendapat nilai.
Rumus yang harus Anda ketahui untuk P1 (dari informasi penilaian spesifikasi):
| Rumus | Kegunaan |
|---|---|
| $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ | akar dari $ax^2 + bx + c = 0$ |
| $\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C}$ | aturan sinus |
| $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$ | aturan cosinus |
| luas $= \tfrac{1}{2}ab\sin C$ | luas segitiga |
| panjang busur $s = r\theta$, luas juring $= \tfrac{1}{2}r^2\theta$ | $\theta$ dalam radian |
| $\dfrac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$ | aturan pangkat untuk diferensiasi |
| $\displaystyle\int x^n\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + c \quad (n \neq -1)$ | aturan pangkat untuk integrasi |
Aljabar dan fungsi
Eksponen dan bentuk akar
Aturan eksponen berlaku untuk semua pangkat rasional:
Pangkat pecahan adalah akar: $a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}$, sehingga $a^{1/2} = \sqrt{a}$ dan $a^{1/3} = \sqrt[3]{a}$. Pangkat negatif berarti kebalikan: $a^{-1} = 1/a$. Soal biasanya meminta anda menuliskan jawaban dalam bentuk $kx^n$ dengan konstanta $k$ dan $n$ yang telah disederhanakan sepenuhnya.
Contoh terpecahkan — tiga manipulasi eksponen (disesuaikan dari Edexcel IAL WMA11 Juni 2025 Q1). Diberikan $p = \dfrac{x^4}{16}$ dan $q = \dfrac{40}{3x}$, tuliskan setiap ekspresi dalam bentuk $kx^n$.
(a) $p^{\frac{1}{2}}$.
- Diketahui: $p = x^4/16$, dan pangkat $\tfrac12$ berarti akar kuadrat.
$$p^{\frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{x^4}{16}} = \frac{\sqrt{x^4}}{\sqrt{16}} = \frac{x^2}{4}$$
- Cek: mengkuadratkan jawaban, $(x^2/4)^2 = x^4/16 = p$.
(b) $(pq)^{-1}$.
- Diketahui: kalikan terlebih dahulu sebelum membalikkan, menggunakan $x^4 \cdot x^{-1} = x^3$.
$$pq = \frac{x^4}{16}\times\frac{40}{3x} = \frac{40x^3}{48} = \frac{5x^3}{6}$$$$(pq)^{-1} = \left(\frac{5x^3}{6}\right)^{-1} = \frac{6}{5}x^{-3}$$
- Cek: $(pq)\times(pq)^{-1} = \frac{5x^3}{6}\times\frac{6}{5x^3} = 1$.
(c) $(pq)^2$.
- Cek: $5^2 = 25$, $6^2 = 36$, $(x^3)^2 = x^6$, dan konstantanya sudah disederhanakan sepenuhnya.
Bentuk akar adalah nilai akar yang eksak seperti $\sqrt{2}$. Pertahankan jawaban dalam bentuk eksak kecuali diminta desimal; penguji memberikan poin pengurangan pada desimal dibulatkan ketika bentuk akar diharapkan. Untuk merasionalkan penyebut , kalikan pembilang dan penyebut dengan suku yang menghilangkan akar:
Contoh terpecahkan — merasionalkan. Tulis $\dfrac{12}{1+\sqrt{2}}$ dengan penyebut rasional.
- Diketahui: $(1+\sqrt2)(\sqrt2-1) = \sqrt2 - 1 + 2 - \sqrt2 = 1$, sehingga kalikan dengan $\dfrac{\sqrt2-1}{\sqrt2-1}$.
$$\frac{12}{1+\sqrt2}\times\frac{\sqrt2-1}{\sqrt2-1} = \frac{12(\sqrt2-1)}{(1+\sqrt2)(\sqrt2-1)} = 12(\sqrt2 - 1) = 12\sqrt2 - 12$$
- Periksa menggunakan kalkulator: $12/(1+1.4142\ldots) = 4.9706\ldots$ dan $12\sqrt2 - 12 = 4.9706\ldots$ ✓
Kuadrat: diskriminan dan melengkapkan kuadrat sempurna
Fungsi kuadrat memiliki bentuk $y = ax^2 + bx + c$; grafiknya adalah parabola terbuka ke atas ($a>0$) atau ke bawah ($a<0$). Diskriminan $\Delta = b^2 - 4ac$ menghitung jumlah akar:
- $\Delta > 0$: dua akar real berbeda — kurva memotong sumbu $x$ dua kali;
- $\Delta = 0$: satu akar kembar — kurva menyentuh sumbu $x$;
- $\Delta < 0$: tidak ada akar real — kurva tidak pernah bertemu sumbu $x$.
Melengkapkan kuadrat sempurna menulis ulang $ax^2+bx+c$ sebagai $a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2 + \left(c - \dfrac{b^2}{4a}\right)$, yang memberikan titik belok $\left(-\dfrac{b}{2a},\, c - \dfrac{b^2}{4a}\right)$ secara langsung. Selesaikan persamaan kuadrat dengan pemfaktoran, rumus, melengkapkan kuadrat sempurna, atau kalkulator — tetapi soal "tunjukkan semua tahap" menolak cara kerja hanya pakai kalkulator. Soal "tahap" menolak pengerjaan yang hanya menggunakan kalkulator.
Contoh terpecahkan — kuadrat tersembunyi (disesuaikan dari Edexcel IAL WMA11 Juni 2025 Q10). Persamaan $(k-1)x^6 + 4x^3 + (k-4) = 0$, di mana $k$ adalah konstanta.
(a) Untuk $k = 4.5$, temukan solusi eksaknya.
- Diketahui: dengan $k = 4.5$ persamaan menjadi $3.5x^6 + 4x^3 + 0.5 = 0$; kalikan dengan 2 untuk menghilangkan desimal:
$$7x^6 + 8x^3 + 1 = 0$$
- Mengapa substitusi: $x^6 = (x^3)^2$, sehingga ini adalah kuadrat dalam $x^3$. Substitusikan $z = x^3$:
$$7z^2 + 8z + 1 = 0 \implies (7z+1)(z+1) = 0 \implies z = -\tfrac{1}{7} \ \text{ or } z = -1$$
- Kembali ke $x$: $x^3 = -\tfrac17$ atau $x^3 = -1$, sehingga
$$x = -\sqrt[3]{\tfrac{1}{7}} = -\frac{1}{\sqrt[3]{7}} = -\frac{\sqrt[3]{49}}{7} \qquad \text{or} \qquad x = -1$$
- Cek: $z=-1$ menghasilkan $7-8+1 = 0$ ✓; $z=-\tfrac17$ menghasilkan $7\cdot\tfrac{1}{49} - \tfrac87 + 1 = \tfrac17 - \tfrac87 + 1 = 0$ ✓
(b) Tentukan himpunan nilai $k$ agar persamaan tersebut tidak memiliki akar real.
- Diketahui: anggap persamaan sebagai kuadrat dalam $x^3$ dengan koefisien $a = k-1$, $b = 4$, $c = k-4$. Agar tidak ada akar
real, diskriminan harus negatif:
$$b^2 - 4ac = 16 - 4(k-1)(k-4) = 16 - 4(k^2 - 5k + 4) = -4k^2 + 20k = 4k(5-k)$$$$4k(5-k) < 0 \implies k < 0 \ \text{or}\ k > 5$$
- Cek: pada $k = -1$: $4(-1)(6) = -24 < 0$ ✓; pada $k = 6$: $4(6)(-1) = -24 < 0$ ✓; pada $k = 3$: $4(3)(2) = 24 > 0$ ✓ (di sana terdapat dua akar real).
Persamaan dan pertidaksamaan simultan
Selesaikan persamaan simultan secara analitis melalui substitusi: susun ulang persamaan linear, substitusikan ke persamaan lain, selesaikan, lalu substitusikan kembali. Garis yang memotong kurva menghasilkan persamaan kuadrat yang akarnya adalah koordinat titik potong $x$ — ini adalah "geometris interpretasi solusi aljabar" yang diminta dalam spesifikasi.
Contoh terarah — garis memotong kurva pangkat tiga-siku (disesuaikan dari Edexcel IAL WMA11 Juni 2025 Q7). $C_1$: $y = 0.2x^2(x-4)$ dan $C_2$: $y = 1.2x(8-x)$ berpotongan di mana
- Jabarkan kedua ruas: $0.2x^3 - 0.8x^2 = 9.6x - 1.2x^2$.
- Kumpulkan suku: $0.2x^3 + 0.4x^2 - 9.6x = 0$, lalu bagi dengan $0.2$: $x^3 + 2x^2 - 48x = 0$.
- Faktorkan: $x(x^2 + 2x - 48) = x(x+8)(x-6) = 0$, sehingga $x = 0, -8, 6$.
- Substitusikan kembali ke $C_2$: $(0, 0)$, $(-8, -153.6)$, $(6, 14.4)$.
- Cek dengan $C_1$: $0.2(-8)^2(-12) = 0.2\cdot64\cdot(-12) = -153.6$ ✓ dan $0.2(36)(2) = 14.4$ ✓
Ketaksamaan mengikuti aljabar yang sama, namun jawabannya adalah suatu rentang:
- Selesaikan $ax + b > cx + d$ dengan mengelompokkan $x$ (tanda ketaksamaan tetap berlaku saat menambah/mengurangi, dan tetap berlaku saat membagi dengan bilangan positif; membagi dengan bilangan negatif membalikkan tanda).
- Selesaikan $px^2 + qx + r \le 0$ dengan menggambar sketsa: solusinya adalah di mana parabola berada pada atau di bawah sumbu, antara akar-akarnya.
- Ketaksamaan "kurva di bawah garis" seperti $px^2+qx+r < ax+b$ berarti: di mana ketinggian kurva lebih rendah dari ketinggian garis? Temukan titik potong terlebih dahulu.
- Saat menggambar sketsa daerah solusi, gunakan garis putus-putus untuk batas ketat $<$ atau $>$ dan garis solid untuk $\le$ atau $\ge$.
Contoh terpecahkan. Selesaikan $x^2 < 3x + 10$.
- Susun ulang: $x^2 - 3x - 10 < 0$, dan faktorkan: $(x-5)(x+2) < 0$.
- Parabola $y = (x-5)(x+2)$ terbuka ke atas, sehingga nilainya di bawah nol antara akar-akarnya:
$$-2 < x < 5$$
- Cek: $x = 0$ menghasilkan $0 < 10$ ✓; $x = 6$ menghasilkan $36 < 28$ ✗ (tepat dikecualikan).
Polinomial: perluasan dan pemfaktoran
Buka kurung dan kelompokkan suku sejenis; faktorkan dengan mengeluarkan faktor persekutuan dan pengelompokan. Kubik dapat difaktorkan sepenuhnya setelah satu akar ditemukan: $x^3 + 4x^2 + 3x = x(x^2+4x+3) = x(x+1)(x+3)$. Notasi $f(x)$ menamai fungsi, sehingga $f(2)$ berarti "substitusikan $x = 2$".
Menggambar sketsa grafik dan transformasi
Gambar sketsa (tidak perlu plot) keluarga-keluarga ini: kuadrat dan kubik sederhana seperti $y = x^3 - 4x$; fungsi resiprokal $y = \dfrac{k}{x}$ dan $y = \dfrac{k}{x^2}$ ($x \ne 0$), yang memiliki asimtot — sebuah garis yang didekati kurva tetapi tidak pernah disentuh; dan grafik trigonometri di bawah ini. Tandai titik potong dan titik belok.
Titik potong menjawab persamaan: kurva $y = f(x)$ dan $y = g(x)$ bertemu di mana $f(x) = g(x)$.
Satu transformasi sekaligus, diterapkan pada $y = f(x)$:
| Persamaan baru | Efeknya terhadap grafik |
|---|---|
| $y = a f(x)$ | peregangan sejajar sumbu $y$, faktor skala $a$ |
| $y = f(x) + a$ | translasi oleh $\begin{pmatrix} 0 \\ a \end{pmatrix}$ (bergeser naik sebesar $a$) |
| $y = f(x + a)$ | translasi oleh $\begin{pmatrix} -a \\ 0 \end{pmatrix}$ (bergeser kiri sebesar $a$) |
| $y = f(ax)$ | peregangan sejajar sumbu $x$, faktor skala $\dfrac{1}{a}$ |
Contoh terpecahkan — jelaskan dua transformasi (disesuaikan dari Edexcel IAL WMA11 Juni 2025 Q9).
- $y = \sqrt{2x}$ dari $y = \sqrt{x}\,$: tulis $\sqrt{2x} = f(2x)$, sehingga ini adalah peregangan sejajar sumbu $x$ dengan faktor skala $\tfrac12$.
- $y = 12 - \sqrt{x}$ dari $y = -\sqrt{x}\,$: tulis $12 - \sqrt x = -\sqrt x + 12$, sebuah translasi oleh $\begin{pmatrix} 0 \\ 12 \end{pmatrix}$ (naik sebesar 12).
- Periksa dengan suatu titik: $y=\sqrt x$ melalui $(4, 2)$; setelah transformasi pertama kurva melalui $(2, 2)$ (setengah dari $x$), dan $y = \sqrt{2\times2} = 2$ ✓. Setelah transformasi kedua, $y = -\sqrt{4} + 12 = 10$, sehingga $(4, 10)$ terletak padanya ✓.
Geometri koordinat pada bidang (x, y)
Garis melalui $(x_1, y_1)$ dengan kecerunan $m$ memiliki persamaan $y - y_1 = m(x - x_1)$; bentuk $ax + by + c = 0$ menyembunyikan kecerunan dalam $-\dfrac{a}{b}$. Dua titik memberikan kecerunan: $m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.
- Garis sejajar memiliki kecerunan yang sama: $m_1 = m_2$.
- Garis tegak lurus memiliki hasil kali kecerunan $-1$: $m_1 m_2 = -1$.
Contoh terpecahkan — garis tegak lurus melalui titik asal (disesuaikan dari Edexcel IAL WMA11 Juni 2025 Q5). Garis $l_1$ memiliki persamaan $x - 2y + 25 = 0$; $l_2$ melalui titik asal dan tegak lurus terhadap $l_1$.
(a) Persamaan $l_2$.
- Diketahui: susun ulang $l_1$: $2y = x + 25$, sehingga $y = \tfrac12 x + \tfrac{25}{2}$ dan $m_1 = \tfrac12$.
- Mengapa: hasil kali kecerunan tegak lurus adalah $-1$, jadi $m_2 = -1 \div \tfrac12 = -2$.
$$y - 0 = -2(x - 0) \implies y = -2x$$
(b) $l_1$ dan $l_2$ berpotongan di $P$.
- Substitusikan $y = -2x$ ke dalam $x - 2y + 25 = 0$:
$$x - 2(-2x) + 25 = 0 \implies 5x + 25 = 0 \implies x = -5, \quad y = -2(-5) = 10$$
- $P = (-5, 10)$. Cek dalam $l_1$: $-5 - 20 + 25 = 0$ ✓
(c) Jarak terpendek dari $l_1$ ke titik asal, sebagai akar sederhana.
- Jarak terpendek adalah $|OP|$ sepanjang garis tegak lurus:
$$|OP| = \sqrt{(-5-0)^2 + (10-0)^2} = \sqrt{25 + 100} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}$$
- Cek: $\sqrt{125} = \sqrt{25\times5} = 5\sqrt5 \approx 11.18$ ✓
Trigonometri
Aturan sinus, aturan cosinus, dan luas segitiga
Dalam segitiga $ABC$ dengan sisi $a, b, c$ berhadapan sudut $A, B, C$:
Gunakan aturan sinus untuk pasangan (sisi, sudut berhadapan); gunakan aturan cosinus jika tidak ada pasangan berhadapan. Aturan sinus memiliki kasus ambigu: $\sin\theta = \sin(180° - \theta)$, sehingga sebuah sudut dan suplemennya dapat cocok — periksa mana yang diizinkan oleh diagram.
Ukuran radian, panjang busur dan luas juring
Satu radian adalah sudut yang diapit oleh busur dengan panjang sama dengan jari-jari; $180° = \pi$ radian. Dengan $\theta$ dalam radian:
Panjang busur adalah $s = r\theta$ dan luas juring adalah $\tfrac{1}{2}r^2\theta$.
Juring mayor adalah bagian lingkaran yang lebih besar: sudut $2\pi - \theta$ ketika sudut minor adalah $\theta$.
Contoh terpecahkan — helipad dari juring mayor dan segitiga (disesuaikan dari Edexcel IAL WMA11 Juni 2025 Q6). Sebuah landasan pendaratan adalah juring mayor $AOB$ dari lingkaran berpusat $O$ yang terhubung ke segitiga $AOC$: $AO = OB = 15$ m, $BC = 2$ m, $CBO$ adalah garis lurus, dan sudut $ACO = 0.6$ radian.
(a) Tunjukkan sudut $COA = 1.847$ radian hingga 3 tempat desimal.
- Diketahui: $OC = OB + BC = 15 + 2 = 17$ m; dalam segitiga $AOC$, sisi $AO = 15$ berada di depan sudut yang diberikan sudut $0.6$, dan sisi $OC = 17$ berada di depan sudut $CAO$.
- Aturan sinus (sebutkan terlebih dahulu):
$$\frac{\sin CAO}{17} = \frac{\sin 0.6}{15} \implies \sin CAO = \frac{17\sin 0.6}{15} = 0.6399\ldots \implies CAO = 0.6944\ldots$$$$COA = \pi - 0.6 - 0.6944\ldots = 1.8471\ldots = 1.847 \ (3\,\mathrm{d.p.})$$
- Cek: jumlah sudut menjadi $\pi$: $0.6 + 0.6944 + 1.8471 \approx 3.1416$ ✓
(b) Total luas landasan.
- Sudut juring mayor: $2\pi - 1.847 = 4.436$ radian.
$$\text{sector} = \tfrac12 r^2\theta = \tfrac12 \times 15^2 \times 4.436 = 499.1\ \text{m}^2 \ (\text{awrt } 499)$$$$\text{triangle} = \tfrac12 ab\sin C = \tfrac12 \times 15 \times 17 \times \sin 1.847 = 122.7\ \text{m}^2$$$$\text{total} = 499.1 + 122.7 = 622\ \text{m}^2 \ (3\ \text{s.f.})$$
- Cek: $\sin 1.847 = \sin(\pi - 1.847) = \sin 1.2946 = 0.962$ ✓
(c) Keliling bantalan.
- Batasnya adalah busur utama $AB$ ditambah sisi $AC$ dan $BC$.
$$\text{arc} = r\theta = 15 \times 4.436 = 66.5\ \text{m}$$
- Aturan cosinus untuk $AC$ (tulis dulu):
$$AC^2 = 15^2 + 17^2 - 2(15)(17)\cos 1.847 = 225 + 289 + 139.1 = 653.1 \implies AC = 25.6\ \text{m}$$$$\text{perimeter} = 66.5 + 25.6 + 2 = 94.1\ \text{m} \ (3\ \text{s.f.})$$
- Cek: $\cos 1.847 < 0$ (sudut tumpul), sehingga suku $-2bc\cos A$ ditambahkan ✓
Grafik sinus, kosinus, dan tangen
$y = \sin x$ dan $y = \cos x$ berulang setiap $2\pi$ ($360°$); $y = \tan x$ berulang setiap $\pi$ $180°$, dan $x = 90° + 180°n$. Kurva seperti $\cos$, $\sin(180° - x) = \sin x$, dan $\tan x = \sin x / \cos x$. Kurva seperti $y = 3\sin x$, $y = \sin 2x$ dan $y = \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$ mengikuti aturan transformasi di atas. Selesaikan persamaan secara grafis dengan menghitung jumlah irisan dalam interval tertentu.
Contoh terpecahkan — menghitung solusi (disesuaikan dari Edexcel IAL WMA11 Juni 2025 Q4). Untuk $y = 4\cos x$ dengan $x$ dalam derajat: berapa banyak solusi yang dimiliki $5 + 4\cos x = 1$ untuk $-720° < x \le 720°$?
- Susun ulang: $4\cos x = -4$, sehingga $\cos x = -1$, menghasilkan $x = 180° + 360°n$.
- Dalam $-720° < x \le 720°$: $x = -540°, -180°, 180°, 540°$ — 4 solusi.
- Cek: $\cos(\pm180°) = -1$ ✓, dan $5 + 4(-1) = 1$ ✓. Interval bersifat setengah terbuka, sehingga $x = -720°$ (di mana $\cos = 1$) dieksklusi dengan benar.
Diferensiasi
Turunan $f'(x) = \dfrac{dy}{dx}$ adalah gradien garis singgung terhadap $y = f(x)$ pada suatu titik — limit gradien tali busur saat dua titik menyatu. Ini adalah laju perubahan $y$ terhadap $x$. Turunan kedua $f''(x)$ diferensiasikan lagi. (Aturan rantai tidak diperlukan dalam P1.)
Diferensiasikan suku demi suku dengan aturan pangkat, perluaskan perkalian dan pecahan terlebih dahulu:
Contoh terpecahkan — syarat gradien pada kurva (disesuaikan dari Edexcel IAL WMA11 Juni 2025 Q2). $C$: $y = 2x^{5/2} - 4x + 3$; titik $P$ pada $C$ memiliki koordinat-$x$ $2^k$ dan gradien pada $P$ adalah 16. Tentukan $k$.
- Diferensiasi (pangkat turun satu): $\dfrac{dy}{dx} = 2\cdot\tfrac52 x^{3/2} - 4 = 5x^{3/2} - 4$.
- Tetapkan gradien menjadi 16 pada $x = 2^k$:
$$5(2^k)^{3/2} - 4 = 16 \implies (2^k)^{3/2} = 4 = 2^2 \implies 2^{3k/2} = 2^2 \implies \tfrac{3k}{2} = 2 \implies k = \tfrac{4}{3}$$
- Cek: $2^{4/3} = 2.5198\ldots$ dan $5(2.5198)^{3/2} - 4 = 5(4.0) - 4 = 16$ ✓
Contoh terpecahkan — garis singgung, kerja garis normal, dan turunan kedua (disesuaikan dari Edexcel IAL WMA11 Juni 2025 Q8). Sebuah kurva memiliki $f'(x) = 3\sqrt{x} + kx^2$ dan melalui $P(4, 12)$; garis singgung pada $P$ adalah $y = 10x + c$.
(a) Tunjukkan $k = \tfrac14$ dan tentukan $c$.
- Diketahui: gradien garis singgung sama dengan $f'(4)$:
$$f'(4) = 3\sqrt{4} + 16k = 6 + 16k = 10 \implies k = \tfrac14$$
- Garis singgung melalui $(4, 12)$: $12 = 10(4) + c \implies c = -28$.
- Cek: $f'(4) = 6 + 16\cdot\tfrac14 = 10$ ✓ dan $10(4) - 28 = 12$ ✓
(b) $f''(x)$ pada $P$.
- Cek: $\tfrac{3}{2\sqrt4} = \tfrac34$ ✓
Integrasi
Integrasi membalikkan diferensiasi: jika $\dfrac{dy}{dx} = x^n$ ($n \neq -1$), maka
Contoh terpecahkan — luasakan sebelum mengintegralkan (disesuaikan dari Edexcel IAL WMA11 Juni 2025 Q3). Temukan $\displaystyle\int \frac{(x+3)^2}{3\sqrt{x}}\,dx$.
- Luaskan pembilang: $(x+3)^2 = x^2 + 6x + 9$; penyebutnya adalah $3x^{1/2}$.
- Bagi suku demi suku (pangkat-pangkat $x$ dikurangi):
$$\frac{x^2}{3x^{1/2}} = \tfrac13 x^{3/2} \qquad \frac{6x}{3x^{1/2}} = 2x^{1/2} \qquad \frac{9}{3x^{1/2}} = 3x^{-1/2}$$
- Integralkan setiap suku (pangkat naik satu, bagi dengan pangkat baru):
$$\int \left(\tfrac13 x^{3/2} + 2x^{1/2} + 3x^{-1/2}\right) dx = \tfrac13\cdot\tfrac{2}{5}x^{5/2} + 2\cdot\tfrac23 x^{3/2} + 3\cdot 2x^{1/2} + c$$$$= \frac{2}{15}x^{5/2} + \frac{4}{3}x^{3/2} + 6\sqrt{x} + c$$
- Periksa dengan mendiferensiasikan: $\tfrac{2}{15}\cdot\tfrac52 x^{3/2} = \tfrac13 x^{3/2}$ ✓, $\tfrac43\cdot\tfrac32 = 2$ ✓, $6\cdot\tfrac12 = 3$ ✓ — fungsi integran kembali persis.
Contoh terpecahkan — kembalikan $f(x)$ dari $f'(x)$ dan sebuah titik (disesuaikan dari Edexcel IAL WMA11 Juni 2025 Q8, lanjutan). Dengan $k = \tfrac14$, sehingga $f'(x) = 3x^{1/2} + \tfrac14 x^2$, dan $P(4, 12)$ pada kurva:
- Substitusikan $P$: $2(4)^{3/2} + \tfrac{64}{12} + d = 12$, dan $4^{3/2} = 8$:
$$16 + \tfrac{16}{3} + d = 12 \implies d = -\tfrac{28}{3} \implies f(x) = 2x^{3/2} + \frac{x^3}{12} - \frac{28}{3}$$
- Periksa: $f(4) = 16 + \tfrac{16}{3} - \tfrac{28}{3} = 16 - 4 = 12$ ✓, dan mendiferensiasikan jawaban menghasilkan $f'(x) = 3x^{1/2} + \tfrac{x^2}{4}$, sehingga $f'(4) = 6 + 4 = 10$ ✓ (gradien tangen dari sebelumnya).
Daftar periksa sebelum menganggap unit ini selesai
- Manipulasi $a^{m/n}$, pangkat negatif, dan bentuk akar secara tepat, serta merasionalkan penyebut.
- Baca $b^2-4ac$ dengan tiga cara, kuadrat sempurna, dan selesaikan kuadrat tersembunyi melalui substitusi.
- Selesaikan persamaan serentak linear–kuadratik secara substitusi dan tafsirkan sebagai titik potong.
- Selesaikan dan sketsa pertidaksamaan linear dan kuadratik dengan batas putus-putus/padat yang benar.
- Sketsa kurva kubik, resiprokal (dengan asimtot) dan kurva yang ditransformasi, menamakan arah, jenis dan faktor skala setiap transformasi tunggal.
- Tulis persamaan garis dalam kedua bentuk; gunakan $m_1m_2 = -1$ untuk garis tegak lurus.
- Sebutkan aturan sinus, aturan cosinus dan $\tfrac12 ab\sin C$; tangani kasus ambigu dan sektor utama dalam radian.
- Hitung solusi grafik trigonometri dalam interval sebelum mencantumkan mereka.
- Turunkan dan integralkan $x^n$ suku demi suku, setelah ekspansi; selalu tambahkan $+c$.
- Ubah $f'(x)$ ditambah satu titik menjadi $f(x)$, dan periksa dengan mensubstitusikan titik kembali.