FP2 · Further Pure Mathematics 2

Matematika Murni Lanjutan 2 (FP2, kertas WFM02/01, 1 jam 30 menit, 75 skor, penilaian pertama Juni 2020) dibangun langsung dari P1–P4 dan FP1 dan menghitung satu enam tingkat Advanced Internasional. Setiap unit memiliki bobot yang sama, sehingga materi FP2 juga dapat muncul di dalam Matematika Lanjutan. P1–P4 mengasumsikan konten tetap berlaku: pecahan parsial, parametrik dan implisit diferensiasi, integrasi dengan bagian dan substitusi, serta seluruh alat bukti FP1 bilangan kompleks dan bukti. Referensi ini mencakup ketaksamaan modulus, metode selisih, hubungan Euler dan teorema de Moivre, lokus dan transformasi z→w, persamaan diferensial orde pertama dan kedua, deret Maclaurin dan Taylor, serta koordinat polar. relasi dan teorema de Moivre, lokus dan transformasi z→w, orde pertama dan kedua persamaan diferensial, deret Maclaurin dan Taylor, serta koordinat polar.

Wajib diketahui untuk FP2 (diasumsikan, tidak diajarkan ulang):

Dua langkah aman dan satu langkah terlarang. Aman: pecah menjadi kasus berdasarkan definisi modulus ($\lvert f\rvert = f$ di mana $f \ge 0$, $-f$ di mana $f < 0$), dan kuadratkan kedua ruas dari $\lvert A\rvert > \lvert B\rvert$ untuk memperoleh $A^2 > B^2$. Dilarang: mengalikan atau membagi dengan ekspresi yang tandanya belum Anda tetapkan — lakukan pemisahan kasus berdasarkan tanda tersebut, lalu iriskan setiap kasus dengan domainnya masing-masing.

Contoh terpecahkan — satu cabang mati (gaya spesimen). Selesaikan $\lvert x^2-1\rvert > 2(x+1)$. Di mana $x^2 \ge 1$: $x^2 - 2x - 3 > 0$, sehingga $(x-3)(x+1) > 0$, menghasilkan $x > 3$ atau $x < -1$; mempertahankan hanya $x \le -1$ atau $x \ge 1$ menghasilkan $x < -1$ atau $x > 3$. Di mana $x^2 < 1$: $1 - x^2 > 2x + 2$ menjadi $(x+1)^2 < 0$ — mustahil. Solusinya adalah $x < -1$ atau $x > 3$. Cabang mati adalah sebuah hasil, bukan kesalahan: laporkanlah.

Contoh terpecahkan — modulus di kedua ruas (WFM02 Juni 2025 Q8). Kurva C memiliki persamaan $y = \dfrac{15x}{\lvert x\rvert + 4}$ dan garis l memiliki persamaan $y = x - 2$.

(a) Selesaikan $x - 2 > \dfrac{15x}{\lvert x\rvert+4}$. Penyebut selalu positif, jadi kalikan secara langsung. Untuk $x \ge 0$: $(x-2)(x+4) > 15x$ menghasilkan $x^2 - 13x - 8 > 0$, sehingga $x > \tfrac{13+\sqrt{201}}2$ (akar lainnya negatif). Untuk $x < 0$: $(x-2)(4-x) > 15x$ menghasilkan $-x^2 - 9x - 8 > 0$, yaitu $(x+1)(x+8) < 0$, sehingga $-8 < x < -1$. Secara bersama-sama: $-8 < x < -1$ atau $x > \tfrac{13+\sqrt{201}}2$.

(b) Selesaikan $\lvert x-2\rvert > \left\lvert\dfrac{15x}{\lvert x\rvert+4}\right\rvert$. Kedua ruas adalah tidak negatif, maka kuadratkan dan kalikan dengan $(\lvert x\rvert+4)^2$: ketaksamaan menjadi $PQ > 0$, dengan $P = (x-2)(\lvert x\rvert+4) - 15x$ (ekspresi dari bagian (a)) dan $Q = (x-2)(\lvert x\rvert+4) + 15x$. Jadi $P$ dan $Q$ harus memiliki tanda yang sama. Cukup memiliki "$P > 0$ atau $Q < 0$" tidak memadai. Untuk $x \ge 0$: $P = x^2 - 13x - 8$ dan $Q = x^2 + 17x - 8$. Keduanya positif untuk $x > \tfrac{13+\sqrt{201}}2$, dan keduanya negatif untuk $0 \le x < \tfrac{\sqrt{321}-17}2$. Untuk $x < 0$: $Q = -x^2 + 21x - 8$ negatif untuk setiap $x < 0$, sehingga kita memerlukan $P < 0$, yaitu $(x+1)(x+8) > 0$: $x < -8$ atau $-1 < x < 0$. Secara bersama-sama: $x < -8$ atau $-1 < x < \tfrac{\sqrt{321}-17}2$ atau $x > \tfrac{13+\sqrt{201}}2$. (Periksa $x = -5$: $\lvert x-2\rvert = 7$ tetapi $\left\lvert\tfrac{-75}{9}\right\rvert = 8.3$, sehingga $-5$ secara tepat dikecualikan.) Kata "maka" itu nyata: faktor bagian (a) $P$ melakukan separuh tugas.

Metode selisih menjumlahkan deret dengan memecah suku-sukunya (biasanya melalui pecahan parsial) sehingga setiap suku membatalkan sebagian suku selanjutnya — bagian tengah runtuh dan hanya fragmen pertama dan terakhir tersisa. Tuliskan $r = 1$, $r = 2$, $r = n-1$, $r = n$ secara eksplisit dan perhatikan apa yang saling meniadakan; tampilan ini mendapatkan nilai.

Contoh terpecahkan — teleskopik menuju bentuk tertutup (WFM02 Juni 2025 Q5). Tunjukkan $\displaystyle\sum_{r=1}^n \frac{1}{(r+1)(r+2)} = \frac{n}{2(n+2)}$. Pecahkan:

Jumlahnya adalah $\left(\tfrac12 - \tfrac13\right) + \left(\tfrac13 - \tfrac14\right) + \cdots + \left(\tfrac1{n+1} - \tfrac1{n+2}\right)$: everything from $\tfrac13$ to $\tfrac1{n+1}$ saling menghilangkan, meninggalkan $\tfrac12 - \tfrac1{n+2} = \tfrac{n}{2(n+2)}$. (Periksa $n = 1$: kedua ruas $\tfrac16$.) Ini juga cara bagaimana lanjutan ketaksamaan disusun: $\dfrac{n}{2(n+2)} > 0.49$ membutuhkan $n > 98$, sehingga yang terkecil adalah $n = 99$ — aljabar, bukan tabel nilai.

Hubungan Euler $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ mengubah bentuk polar menjadi bentuk eksponensial: $z = re^{i\theta}$, dan $z^n = r^ne^{in\theta}$ menjadi aritmatika murni. Baca pasangan $\cos\theta = \tfrac12(e^{i\theta} + e^{-i\theta})$ dan $\sin\theta = \dfrac1{2i}(e^{i\theta} - e^{-i\theta})$. Teorema de Moivre $(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta$ berlaku, dan dapat dibuktikan untuk setiap bilangan bulat positif $n$ dengan induksi: benar untuk $n = 1$; jika benar untuk $k$, mengalikan $(\cos k\theta + i\sin k\theta)(\cos\theta + i\sin\theta)$ dan memperluas menggunakan rumus penjumlahan memberikan $\cos(k+1)\theta + i\sin(k+1)\theta$. Untuk negatif $n$, ambil resiprokal dan perhatikan $\cos(-n\theta) + i\sin(-n\theta)$ memiliki modulus 1 dan argumen kanan.

Contoh dikerjakan — identitas sudut ganda (WFM02 Juni 2025 Q9). Kembangkan bagian imajiner dari $(\cos\theta + i\sin\theta)^5$ menggunakan teorem binomial:

De Moivre menyatakan ini sama dengan $\sin 5\theta$. Substitusikan $c^2 = 1 - s^2$: $5s(1-s^2)^2 - 10s^3(1-s^2) + s^5 = 16s^5 - 20s^3 + 5s$, jadi

Menetapkan $5\theta = \pi$ menghasilkan $16s^4 - 20s^2 + 5 = 0$, sehingga $s^2 = \tfrac{5\pm\sqrt5}8$ dan $\sin\tfrac\pi5 = \sqrt{\tfrac{5-\sqrt5}8} = \tfrac{\sqrt{10-2\sqrt5}}4$ — ambil akar yang lebih kecil karena $\sin\tfrac\pi5 < \sin\tfrac{3\pi}5$, dan memang $\sin\tfrac{3\pi}5$ adalah akar yang lebih besar.

Contoh terpecahkan — akar kelima (WFM02 Juni 2025 Q1). Selesaikan $z^5 = -2\sqrt2 - 2\sqrt6i$. Modulus $\sqrt{8 + 24} = \sqrt{32} = 4\sqrt2$; argumennya adalah $-\tfrac{2\pi}3$ (kuadran ketiga, $\tan = \sqrt3$). Jadi

lima akar yang tersebar $\tfrac{2\pi}5$ di sepanjang lingkaran $\lvert z\rvert = \sqrt2$. Gunakan pola akar ke-$n$ $\sqrt[n]{r}\,e^{i(\theta + 2\pi k)/n}$ — jangan gunakan pendekatan desimal.

Alat bantu lokus pada diagram Argand: $\lvert z - a\rvert = b$ adalah lingkaran (pusat $a$, jari-jari $b$); $\lvert z - a\rvert = \lvert z - b\rvert$ adalah garis bagi tegak lurus dari $a$ dan $b$; $\lvert z - a\rvert = k\lvert z - b\rvert$ bersama $k \ne 1$ adalah sebuah lingkaran (kuadratkan kedua ruas dan kumpulkan suku-suku); $\arg(z - a) = \beta$ adalah setengah garis dari $a$. Daerah ganti = dengan < or >: uji satu titik yang mudah (titik asal jarang terletak pada lokus). Untuk Transformasi Möbius $w = \dfrac{az+b}{cz+d}$ dengan $ad-bc\ne0$, pilih terlebih dahulu bentuk aljabar yang berguna daripada hanya mengandalkan substitusi titik demi titik: jadikan $z$ sebagai subjek terlebih dahulu, lalu ambil modulus (atau argumen) dari kedua ruas. Ketika $c\ne0$, sebuah lingkaran melalui kutub $z = -\tfrac dc$ dipetakan menjadi garis lurus; lingkaran yang tidak melalui kutub dipetakan menjadi lingkaran.

Contoh terpecahkan — citra lingkaran (WFM02 Juni 2025 Q3). $w = \dfrac{9i - iz}{1+z}$ ($z \ne -1$) memetakan P, di mana $\lvert z\rvert = 1$, ke garis l. Menjadikan $z$ sebagai subjek: $z(w + i) = 9i - w$, sehingga $z = \dfrac{9i - w}{w+i}$. Kemudian $\lvert z\rvert = 1$ memaksa

sehingga $20v = 80$ dan l adalah $v = 4$ — sumbu tegak lurus dari $9i$ dan $-i$, persis seperti yang prediksi pembacaan moduli sama. Cek cepat dengan ujung-ujung diameter vertikal: $z = i \mapsto 5 + 4i$ dan $z = -i \mapsto -5 + 4i$; keduanya jatuh pada $v = 4$.

Persamaan terpisah diasumsikan. Bentuk standar baru adalah $\dfrac{dy}{dx} + Py = Q$ dengan $P, Q$ fungsi dari $x$: kalikan dengan faktor pengintegralkan $e^{\int P\,dx}$, dipilih agar sisi kiri menjadi $\dfrac d{dx}\left(ye^{\int P\,dx}\right)$, lalu integralkan sekali. Untuk substitusi yang diberikan (misalnya $z = f(y)$), hitung $\dfrac{dz}{dx}$ dengan aturan rantai, tulis ulang persamaan dalam $z$ dan $x$, selesaikan (yang kini linear atau terpisah) persamaan, lalu substitusikan kembali — soal menentukan bentuk target, jadi akhiri dengan bentuk tersebut.

Contoh terpecahkan — pemanasan faktor pengintegrasi. $\dfrac{dy}{dx} + 2y = e^{-x}$: $e^{\int 2\,dx} = e^{2x}$, sehingga $\dfrac d{dx}(ye^{2x}) = e^x$ dan $ye^{2x} = e^x + C$, i.e. $y = e^{-x} + Ce^{-2x}$.

Contoh terpecahkan — substitusi kemudian faktor pengintegrasi (WFM02 Juni 2025 Q6). Persamaan (I) adalah $2\dfrac{dy}{dx} + y\cot x + y^3\tan x\sec x = 0$ pada $0 < x < \tfrac\pi2$.

(a) Dengan $z = \tfrac1{y^2}$, $\dfrac{dz}{dx} = -2y^{-3}\dfrac{dy}{dx}$, sehingga $2\dfrac{dy}{dx} = -y^3\dfrac{dz}{dx}$. Mensubstitusikan dan membagi dengan $y^3$: $-\dfrac{dz}{dx} + y^{-2}\cot x + \tan x\sec x = 0$, i.e.

(b) Faktor pengintegrasi adalah $e^{-\int\cot x\,dx} = \csc x$, sehingga $\dfrac d{dx}(z\csc x) = \csc x\tan x\sec x = \dfrac1{\cos^2x} = \sec^2x$. Oleh karena itu $z\csc x = \tan x + C$, memberikan $z = \sin x\tan x + C\sin x$ dan

(c) Pada $x = \tfrac\pi6$: $y^2 = \tfrac{4\sqrt3}3$ sehingga $z = \tfrac{\sqrt3}4 = \tfrac12\cdot\tfrac1{\sqrt3} + \tfrac C2$, memaksa $C = \tfrac1{2\sqrt3}$. Pada $x = \tfrac\pi3$: $z = \tfrac{\sqrt3}2\cdot\sqrt3 + \tfrac1{2\sqrt3}\cdot\tfrac{\sqrt3}2 = \tfrac32 + \tfrac14 = \tfrac74$, sehingga $y^2 = \tfrac47$ dan $y = \pm\dfrac2{\sqrt7}$. Kedua tanda merupakan jawaban — $y^2$, bukan $y$, yang ditentukan.

Untuk $a\dfrac{d^2y}{dx^2} + b\dfrac{dy}{dx} + cy = f(x)$, solusi umumnya adalah $\text{CF} + \text{PI}$: fungsi komplementer menyelesaikan persamaan homogen melalui persamaan pembantu $am^2 + bm + c = 0$; integral khusus adalah sembarang solusi tunggal dari persamaan penuh.

Diberikan kondisi awal atau batas, cari konstanta terakhir dari solusi umum penuh.

Contoh terpecahkan — resonansi, lalu kondisi (WFM02 Juni 2025 Q4). Diketahui bahwa $y = \lambda xe^{3x}$ adalah integral khusus dari $4\dfrac{d^2y}{dx^2} - 11\dfrac{dy}{dx} - 3y = 78e^{3x}$:

(a) $y' = \lambda e^{3x}(1 + 3x)$ dan $y'' = \lambda e^{3x}(6 + 9x)$, sehingga sisi kiri adalah $\lambda e^{3x}\big(24 + 36x - 11 - 33x - 3x\big) = 13\lambda e^{3x}$. Mencocokkan $78e^{3x}$ memberikan $\lambda = 6$. (Percobaan sederhana $\lambda e^{3x}$ akan menghasilkan $0\cdot e^{3x}$ — oleh karena itu $x$ tambahan.)

(b) Persamaan pembantu $4m^2 - 11m - 3 = (4m+1)(m-3) = 0$, sehingga $m = -\tfrac14$ atau $3$: $y = Ae^{-x/4} + Be^{3x} + 6xe^{3x}$.

(c) Dengan $y = \tfrac92$ dan $y' = 0$ pada $x = 0$: $A + B = \tfrac92$ dan $-\tfrac A4 + 3B + 6 = 0$. Menyelesaikan, $A = 6$, $B = -\tfrac32$, sehingga

Deret Maclaurin dari $f$ adalah $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$ — turunkan sebanyak yang diminta soal (turunan ketiga dan lebih tinggi dapat diujikan secara mandiri). Deret Taylor sekitar $x = a$ mengganti $x$ dengan pergeseran: $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$. Untuk sebuah persamaan diferensial, turunkan persamaan itu sendiri untuk memanjat tangga turunan: $y(a)$ dan $y'(a)$ umpankan persamaan untuk $y''(a)$, lalu turunan persamaan untuk $y'''(a)$, dan seterusnya — jangan turunkan ulang, cukup turunkan.

Contoh terpecahkan — solusi deret tentang pusat bukan nol (WFM02 Juni 2025 Q2). Diberikan $\dfrac{d^2y}{dx^2} - 4\dfrac{dy}{dx} - 5y = e^{2x/9}$ dengan $y = 2$ dan $y' = -1$ pada $x = 3$:

pada $x = 3$: $y'' = 4y' + 5y + e^{2/3} = -4 + 10 + e^{2/3} = 6 + e^{2/3}$, sehingga suku kuadratnya adalah $\tfrac12(6 + e^{2/3})(x-3)^2 = (3 + \tfrac12e^{2/3})(x-3)^2$. Menurunkan persamaan, $y''' = 4y'' + 5y' + \tfrac29e^{2x/9}$, sehingga pada $x = 3$: $y''' = 4(6 + e^{2/3}) - 5 + \tfrac29e^{2/3} = 19 + \tfrac{38}9e^{2/3}$, dan suku kubiknya adalah $\tfrac16y'''(x-3)^3$. Deretnya adalah

Dalam koordinat polar, sebuah titik adalah $(r, \theta)$ dengan $r \ge 0$ diukur dari garis awal (sumbu Sumbu-$x$, berlawanan arah jarum jam $\theta$). Konversikan dengan $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$, $r^2 = x^2 + y^2$: misalnya $r = 4\cos\theta$ menghasilkan $r^2 = 4r\cos\theta$, yaitu $x^2 + y^2 = 4x$ — lingkaran $(x-2)^2 + y^2 = 4$. Kenali sketsa standar: $r = 2a\cos\theta$ (lingkaran pada garis awal melalui kutub), $r = k\theta$ (spiral), $r = a(1+\cos\theta)$ (kardioid), $r = a\cos2\theta$ (empat kelopak), $r^2 = a^2\cos2\theta$ (lemniskate, hanya ada ketika $\cos2\theta \ge 0$). Luas yang disapu dari $\theta = \alpha$ ke $\beta$ adalah $\tfrac12\displaystyle\int_\alpha^\beta r^2\,d\theta$; tangens paralel terhadap garis awal terjadi di $\dfrac{dy}{d\theta} = \dfrac{dr}{d\theta}\sin\theta + r\cos\theta = 0$.

Contoh terpecahkan — luas eksak. Lemnisata $r^2 = 8\cos2\theta$: oleh simetri, bagian kanan adalah $\tfrac12\int_{-\pi/4}^{\pi/4}8\cos2\theta\,d\theta = 4\Big[\tfrac12\sin2\theta\Big]_{-\pi/4}^{\pi/4} = 4$, sehingga kedua bagian menutupi total area $8$. Kardioid $r = 2(1+\cos\theta)$: $\tfrac12\int_{-\pi}^{\pi}4(1+\cos\theta)^2d\theta = 2\int_{-\pi}^{\pi}(1 + 2\cos\theta + \cos^2\theta)d\theta = 2(2\pi + 0 + \pi) = 6\pi$, karena $\int_{-\pi}^\pi\cos^2\theta\,d\theta = \pi$.

• Selesaikan ketaksamaan modulus dengan pemisahan kasus dan dengan kuadratkan; tangani $|x|$ di dalam penyebut; laporkan cabang mati; gunakan bagian sebelumnya ketika "hence" muncul.
• Jumlahkan deret hingga dengan pecahan parsial dan pembatalan, menuliskan $r = 1, 2, n-1, n$ baris; tutup ketaksamaan lanjutan dengan aljabar.
• Gunakan $e^{i\theta}$, bentuk eksponensial dari $\cos$ dan $\sin$, serta de Moivre (terbukti untuk bilangan bulat $n$) untuk memperluas sudut ganda dan pangkat, serta menemukan semua akar $n$ dalam bentuk kutub eksak.
• Sketsa lingkaran, garis bagi, lingkaran Apollonius, dan garis argumen setengah; uji daerah; buat $z$ subjek transformasi Möbius dan samakan modulus atau argumen.
• Selesaikan $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ dengan faktor pengintegrasi; jalankan substitusi yang diberikan dan jawab dalam bentuk yang diminta, perhatikan $\pm$ dari $y^2$.
• Selesaikan persamaan orde dua melalui persamaan bantu dan PI coba (termasuk resonansi kali-$x$), lalu sesuaikan kondisi awal.
• Bangun deret Maclaurin dan Taylor, termasuk solusi deret persamaan diferensial dengan mendiferensiasikan persamaan.
• Sketsa bentuk kutub dasar, konversi ke dan dari Kartesius, dan evaluasi luas eksak dengan $\frac12\int r^2\,d\theta$.