FP1 · Further Pure Mathematics 1

Matematika Murni Lanjut 1 (FP1, kertas WFM01/01, 1 jam 30 menit, 75 mark) wajib untuk International AS and A Level Further Mathematics serta International AS and A Level Pure Mathematics. P1–P2 diasumsikan dan dapat diuji, termasuk penentuan lokasi perubahan tanda akar, memutar bentuk tentang titik asal, dan membagi kubik atau kuadratik dengan kuadrat. Ini referensi mencakup bilangan kompleks, akar persamaan kuadrat, metode numerik, parabola dan hiperbola persegi panjang, aljabar matriks, transformasi, deret hingga, dan pembuktian dengan induksi. parabola dan hiperbola persegi panjang, aljabar matriks, transformasi, deret hingga dan pembuktian dengan induksi.

Yang Harus Diketahui untuk FP1 (tidak ada dalam buku saku):

Sebuah bilangan kompleks adalah $z = a + bi$ dengan $i^2 = -1$; $a$ adalah bagian real, $b$ adalah bagian imajiner. Konjugat $\bar z = a - bi$ membalik tanda bagian imajiner, dan $z\bar z = a^2 + b^2 = \lvert z\rvert^2$ — trik yang membuat penyebut menjadi riil: $\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{z_1\bar z_2}{\lvert z_2\rvert^2}$. Dua bilangan kompleks hanya sama jika bagian real dan imajinernya sesuai. Bentuk polar $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ memasangkan modulus $r$ dengan argumen (hanya didefinisikan ketika $z\ne0$) $\theta$; mengalikan bilangan kompleks mengalikan modulus mereka ($\lvert z_1z_2\rvert = \lvert z_1\rvert\lvert z_2\rvert$).

Contoh terpecahkan — penjumlahan riil membatasi bagian imajiner. $z_1 = r(\cos\tfrac{7\pi}6 + i\sin\tfrac{7\pi}6)$ dengan $r > 0$, dan $z_2$ memiliki modulus 5. Karena $\lvert z_1z_2\rvert = \lvert z_1\rvert\lvert z_2\rvert = 5r = 15$, kita peroleh $r = 3$. Jadi $z_1 = 3(-\tfrac{\sqrt3}2 - \tfrac12i) = -\tfrac{3\sqrt3}2 - \tfrac32 i$. Jika $z_1 + z_2$ adalah bilangan riil, bagian imajinernya adalah nol, sehingga $z_2 = a + \tfrac32 i$; kemudian $a^2 + \tfrac94 = 25$ memberikan $a = \pm\tfrac{\sqrt{91}}2 \approx \pm4.77$. Kedua $z_2 = \tfrac{\sqrt{91}}2 + \tfrac32i$ dan cerminannya terhadap sumbu imajiner memenuhi syarat.

Pada diagram Argand (diagram Argand) plot $z = a + bi$ sebagai titik $(a, b)$: penjumlahan adalah penjumlahan vektor, konjugat merefleksikan pada sumbu real, dan $\lvert z\rvert$ adalah jarak dari titik asal.

Untuk kuadrat dengan koefisien riil dan diskriminan negatif, kuadratkan sempurna: $x^2 - 6x + 13 = (x-3)^2 + 4 = 0$ menghasilkan $x = 3 \pm 2i$. Akar-akarnya merupakan sepasang konjugat — dan hal ini berlaku untuk setiap derajat: jika $f(z_1) = 0$ memiliki koefisien real, maka $f(\bar z_1) = 0$ juga. Sehingga kubik real memiliki tiga akar real atau satu akar real ditambah satu pasangan konjugat, dan $(z - z_1)(z - \bar z_1) = z^2 - 2\operatorname{Re}(z_1)z + \lvert z_1\rvert^2$ adalah faktor kuadrat real. Bagilah dengan faktor tersebut untuk mendapatkan sisa polinomialnya.

Contoh terpecahkan — persamaan pangkat empat dengan akar kompleks tertentu (WFM01 Juni 2025 Q7). $f(z) = Pz^4 - 36z^3 + Qz^2 + 192z + 68$ memiliki akar $3 + 5i$, sehingga $3 - 5i$ juga merupakan akar dan

Menulis $f(z) = (z^2 - 6z + 34)(Pz^2 + bz + c)$ dan membandingkan: $34c = 68$ sehingga $c = 2$; $-6c + 34b = 192$ sehingga $34b = 204$, $b = 6$; kemudian $b - 6P = -36$ menghasilkan $P = 7$ dan $c - 6b + 34P = Q$ menghasilkan $Q = 204$. (Periksa terhadap $f(3+5i) = 0$: keseimbangan persamaan real $644P + 16Q = 7772$ berlaku, karena $644(7) + 16(204) = 4508 + 3264 = 7772$.) Akar-akar lainnya menyelesaikan $7z^2 + 6z + 2 = 0$:

Tanpa kalkulator: hanya aritmetika $b^2 - 4ac < 0$ dan fakta konjugat yang digunakan.

Untuk $ax^2 + bx + c = 0$ dengan akar $\alpha, \beta$: $\alpha + \beta = -\tfrac ba$ dan $\alpha\beta = \tfrac ca$. Ekspresi simetris dalam $\alpha, \beta$ kemudian tidak memerlukan nilai akar secara individual: $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta$, $\alpha^3 + \beta^3 \equiv (\alpha + \beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha + \beta)$, dan $\tfrac1\alpha + \tfrac1\beta = \tfrac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}$. Untuk membangun persamaan kuadrat baru, nyatakan jumlah dan hasil kali barunya dalam bentuk yang lama; persamaannya adalah $x^2 - (\text{sum})x + \text{product} = 0$.

Contoh terpecahkan — akar baru tanpa menyelesaikan (WFM01 Juni 2025 Q6). $f(x) = 3x^2 + kx - 5$ memiliki akar $\alpha, \beta$, sehingga $\alpha\beta = -\tfrac53$. Jika $\alpha + \beta = 9\alpha\beta$, kemudian $-\tfrac k3 = -15$, sehingga $k = 45$ dan $\alpha + \beta = -15$. Untuk akar $\alpha^2 + \beta$ dan $\alpha + \beta^2$:

Persamaan baru adalah $9x^2 - 1920x - 31040 = 0$ (kalikan $x^2 - \tfrac{640}3x - \tfrac{31040}9 = 0$ dengan 9).

Tiga penentu iteratif: biseksi dan interpolasi memerlukan fungsi kontinu pada rentangnya; Newton–Raphson juga memerlukan turunan terdefinisi dan tak nol pada setiap langkah dan dapat gagal konvergen. Biseksi interval membagi dua interval yang memuat perubahan tanda; interpolasi linear menghubungkan chord dari $(a, f(a))$ ke $(b, f(b))$ dan mengambil nol chord $\beta \approx a - \dfrac{(b-a)f(a)}{f(b)-f(a)}$; metode Newton–Raphson

• (rumus diberikan dalam buku catatan) mengiterasi $x_{n+1} = x_n - \dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}$. Tunjukkan setiap evaluasi — jawaban "hanya kalkulator" tidak mendapat nilai.

Contoh terpecahkan — biseksi dan interpolasi (WFM01 Juni 2025 Q3). (i) $f(x) = x^2 + 5 - 8^{5x}$ memiliki satu akar $\alpha$ di $[0, 1]$: $f(0) = 4 > 0$, $f(0.5) = 5.25 - 8^{2.5} = -175.77 < 0$, sehingga bagi dua: $f(0.25) = 5.0625 - 8^{1.25} = -8.392 < 0$. Perubahan tanda berada di $[0, 0.25]$. (ii) $g(x) = 3^{\sin x} - 3\cos x$ (radian): $g(4) = 2.396 > 0$ dan $g(5) = -0.502 < 0$, dan $g$ kontinu, sehingga akar $\beta$ terletak di $[4, 5]$. Menginterpolasi sekali: $\beta \approx 4 + \dfrac{2.396}{2.396 + 0.502} = 4.827$ (4 s.f.).

Newton–Raphson (contoh asli). Selesaikan $x^3 - 2x - 5 = 0$ dari $x_0 = 2$: $f(2) = -1$, $f'(x) = 3x^2 - 2$ sehingga $f'(2) = 10$ dan $x_1 = 2 - \tfrac{-1}{10} = 2.1$; kemudian $f(2.1) = 0.061$, $f'(2.1) = 11.23$, $x_2 = 2.0946$. Iterasi mendekati akar, kira-kira $2.09455$ (periksa: $2.0946^3 - 2(2.0946) - 5 \approx +0.0005$).

Parabola $y^2 = 4ax$ memiliki bentuk parametrik $x = at^2$, $y = 2at$; parabola hiperbola persegi $xy = c^2$ memiliki $x = ct$, $y = \tfrac ct$. Garis singgung dan garis normal diperoleh dengan menurunkan persamaan Kartesius (penurunan parametrik tidak diperlukan): $y^2 = 4ax$ menghasilkan $\tfrac{dy}{dx} = \tfrac{2a}y = \tfrac1t$ pada parameter $t$, dan $xy = c^2$ menghasilkan $y = \tfrac{c^2}x$ sehingga $\tfrac{dy}{dx} = -\tfrac{c^2}{x^2} = -\tfrac1{t^2}$ pada $x = ct$.

Contoh terpecahkan — garis normal hiperbola (WFM01 Juni 2025 Q4). Untuk $xy = 81$ pada $P(9t, \tfrac9t)$: $\tfrac{dy}{dx} = -\tfrac{81}{x^2} = -\tfrac1{t^2}$, sehingga garis normal memiliki gradien $t^2$:

Pada sumbu-$y$, $A = (0, \tfrac{9(1-t^4)}t)$. Dengan $t = \tfrac13$: $P = (3, 27)$ dan $A = (0, \tfrac{80}3)$, sehingga segitiga $OPA$ memiliki luas $\tfrac12 \times 3 \times \tfrac{80}3 = 40$.

Parabola adalah locus titik-titik yang berjarak sama dari fokus $(a, 0)$ dan directrix $x = -a$. Jarak, bukan aljabar, membuka pertanyaan geometri.

Contoh terpecahkan — jarak fokus-directrix (WFM01 Juni 2025 Q9). Titik $P$ terletak pada parabola 5 satuan dari fokus, sehingga $P$ juga berjarak 5 satuan dari directrix ($PF = PM = 5$, dengan $PM$ tegak lurus terhadap directrix). Titik-titik $Q, R$ pada directrix memenuhi $PQ = PR = 10$. Setiap segitiga siku-siku $PQM$ menghasilkan $QM = \sqrt{10^2 - 5^2} = \sqrt{75} = 5\sqrt3$, dan $M$ terletak di antara $Q$ dan $R$, sehingga $QR = 10\sqrt3$.

Matriks dijumlahkan dan dikalikan dengan elemen (bentuk sama), serta dikalikan baris-ke-kolom ($(\mathbf{AB})_{ik} = \sum_j A_{ij}B_{jk}$; $\mathbf{AB} \ne \mathbf{BA}$ secara umum). Untuk matriks $2\times 2$ $\det\mathbf M = ad - bc$: nol berarti singular (tidak memiliki invers); selain itu $\mathbf M^{-1} = \dfrac1{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$, dan $\mathbf M\mathbf M^{-1} = \mathbf I$. Invers membalik urutan: $(\mathbf{AB})^{-1} = \mathbf B^{-1}\mathbf A^{-1}$ — batalkan transformasi terakhir terlebih dahulu.

Contoh terpecahkan — invers yang harus tetap konsisten (WFM01 Juni 2025 Q1). $\mathbf M = \begin{pmatrix}1&a\\3&-5\end{pmatrix}$ dengan $a \ne -\tfrac53$:

Diberikan $\mathbf M^{-1} = 2\mathbf M + 8\mathbf I = \begin{pmatrix}10&2a\\6&-2\end{pmatrix}$, bandingkan entri: $\dfrac{-3}{-(5+3a)} = 6$ menghasilkan $5 + 3a = \tfrac12$, dan setiap entri lainnya mengonfirmasinya, sehingga $a = -\tfrac32$.

Matriks $2\times 2$ $\mathbf M$ mentransformasikan vektor kolom melalui $\mathbf y = \mathbf{Mx}$; kolomnya adalah citra dari $\mathbf i$ dan $\mathbf j$ — baca transformasi langsung dari matriks. Hasil standar: dari matriks. Hasil standar berikut:

Untuk kombinasi, $\mathbf{AB}$ berarti "terapkan $\mathbf B$ terlebih dahulu, lalu $\mathbf A$". Invers transformasi membatalkan efeknya, dan $\lvert\det\mathbf M\rvert$ adalah faktor skala luas: luas dikalikan dengan determinan (determinan negatif menambahkan refleksi).

Contoh terarah — mendeskripsikan dan menggabungkan (WFM01 Juni 2025 Q2). $\mathbf P = \begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}$ memetakan $\mathbf i \to (0,-1)^T$ dan $\mathbf j \to (1,0)^T$: putaran seperempat searah jarum jam (270° berlawanan arah jarum jam) di sekitar $O$. $\mathbf Q = 5\mathbf I$ adalah perbesaran, faktor skala 5, pusat $O$. Refleksi dalam $y = -x$ adalah $\mathbf R = \begin{pmatrix}0&-1\\-1&0\end{pmatrix}$, sehingga $A = \mathbf R(4,3)^T = (-3,-4)$. Jika $\mathbf Q$ mengikuti $\mathbf P$ dan memetakan $B$ ke $A$, maka $B = \mathbf P^{-1}\mathbf Q^{-1}A = \mathbf P^{-1}\cdot\tfrac15(-3,-4)^T = \tfrac15(4,-3)^T = (0.8, -0.6)$ — invers dari $\mathbf P$ adalah transposenya, jadi ini hanyalah aritmatika.

Dengan $\sum_{r=1}^n r = \tfrac12 n(n+1)$ (dan $\sum r^2 = \tfrac16 n(n+1)(2n+1)$ dari brosur), setiap suku polinomial terpisah menjadi bagian-bagian standar — termasuk jumlah hingga batas genap batas $2n$ (substitusikan $k = 2n$ ke dalam rumus standar) dan jumlah bergeser seperti $\sum (r+1)^2$.

Contoh terarah — jumlah hingga 2n (WFM01 Juni 2025 Q8a). Tunjukkan $\sum_{r=1}^{2n}(2r^2 - 1) = \tfrac43 n(n+1)(an + b)$:

dan $4n^2 + 3n - 1 = (n+1)(4n - 1)$, sehingga jumlahnya adalah $\tfrac43n(n+1)(4n-1)$: $a = 4$, $b = -1$. (Periksa $n = 1$: $1 + 7 = 8$ dan $\tfrac43\cdot1\cdot2\cdot3 = 8$.)

Induksi membuktikan pernyataan $P(n)$ untuk semua bilangan bulat positif dalam tiga langkah: verifikasi $P(1)$; asumsikan $P(k)$; turunkan $P(k+1)$ darinya — kemudian tutup dengan "benar untuk $n = 1$, dan kebenaran untuk $n = k$ mengimplikasikan kebenaran untuk $n = k+1$, sehingga berdasarkan induksi benar untuk semua bilangan bulat positif bilangan bulat $n$. Kalimat penutup merupakan bagian dari pembuktian. Empat keluarga yang dievaluasi: penjumlahan rumus, keterbagian, barisan yang diberikan oleh rekurensi, dan pangkat matriks.

Contoh terpecahkan — penjumlahan (WFM01 Juni 2025 Q8b). Buktikan $\sum_{r=1}^n r(3r-2)^2 = \tfrac14 n^2(n+1)(9n-7)$. Untuk $n = 1$: ruas kiri $= 1\cdot1^2 = 1$ dan ruas kanan $= \tfrac14\cdot1\cdot2\cdot2 = 1$ — benar. Asumsikan benar untuk $n = k$; suku ke-$(k+1)$ adalah $(k+1)(3k+1)^2$, sehingga

Jabarkan kurung: $9k^3 - 7k^2 + 36k^2 + 24k + 4 = 9k^3 + 29k^2 + 24k + 4$. Target untuk $n = k+1$ adalah $\tfrac14(k+1)^2(k+2)(9k+2)$, dan kurungnya $(k+1)(k+2)(9k+2)$ dijabarkan sebagai $(k^2+3k+2)(9k+2) = 9k^3 + 29k^2 + 24k + 4$ — identik. Maka pernyataan berlaku untuk $n = k+1$, dan dengan induksi untuk semua bilangan bulat positif $n$.

Keterbagian (contoh asli). Buktikan $n^3 + 2n$ habis dibagi 3. Untuk $n = 1$: $3$. Asumsikan $k^3 + 2k = 3m$; maka $(k+1)^3 + 2(k+1) = (k^3 + 2k) + 3k^2 + 3k + 3 = 3(m + k^2 + k + 1)$, tetap kelipatan dari 3. Dengan induksi, benar untuk semua $n$.

Pangkat matriks (contoh asli). Buktikan $\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}^n = \begin{pmatrix}1&n\\0&1\end{pmatrix}$. Benar untuk $n = 1$. Jika benar untuk $k$, maka $\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}^{k+1} = \begin{pmatrix}1&k\\0&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&k+1\\0&1\end{pmatrix}$, melengkapi induksi.

• Bekerja dengan $a + bi$ dan $r(\cos\theta + i\sin\theta)$: modulus, argumen, konjugat; hasil bagi dibuat real.
• Gunakan pasangan konjugat untuk memfaktorkan kubik dan kuadratik dengan koefisien real; temukan semua akar tanpa kalkulator.
• Konversikan ekspresi simetris melalui $\alpha + \beta$ dan $\alpha\beta$; bentuk kuadrat baru untuk akar yang ditransformasikan.
• Temukan posisi akar dengan metode bagi dua dan interpolasi linear dengan setiap evaluasi ditunjukkan; iterasi Newton–Raphson dari titik awal tertentu.
• Gunakan $y^2 = 4ax$ dan $xy = c^2$ parametrik; garis singgung/normal melalui diferensiasi Kartesius; jarak fokus-directrix.
• Invers matriks $2\times2$ (dan $(\mathbf{AB})^{-1} = \mathbf{B}^{-1}\mathbf{A}^{-1}$); selesaikan persamaan matriks baris per elemen.
• Identifikasi refleksi, rotasi, peregangan, dan pembesaran dari matriks; kombinasikan dalam urutan yang tepat; gunakan $|\det|$ sebagai faktor skala luas.
• Jumlahkan deret hingga $n$ dan $2n$ dengan rumus standar; buktikan deret, kehabisan, rekurensi, dan hasil matriks dengan induksi dengan pernyataan penutup.