Biseksi dan pencarian akar Newton
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| iteration/ˌɪtəˈreɪʃn/ | iterasi |
Seberapa andal sebuah pendekatan?
- Persamaan nonlinear tidak memiliki solusi eksak yang praktis. Pendekatan tetap memerlukan bukti bahwa ia dapat diandalkan.
- Pelajaran ini mempelajari iterasi: Pembaruan berulang di mana setiap pendekatan baru dihitung dari yang sebelumnya.
Pilih struktur matematika
- Untuk fungsi kontinu dengan perubahan tanda, bagi dua interval akar dan pertahankan setengah yang memiliki tanda ujung berlawanan. Pembaruan Newton mengubah x menjadi x-f(x)/f'(x), dengan syarat turunannya bukan nol.
- Nyatakan input yang diperbolehkan dan satuan sebelum menghitung. Persamaan harus mengekspresikan hubungan, bukan sekadar mencatat entri kalkulator.
f(x)=1/x berubah tanda antara -1 dan 1. Mengapa hal ini TIDAK membuktikan adanya akar di [-1,1]?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Penalaran nilai antara memerlukan kontinuitas pada seluruh interval. Pada asimtot x=0, fungsi melompat dari negatif ke positif tanpa adanya akar.
Kerjakan kasus yang dicek
- Periksa hasilnya terhadap besaran awal. Substitusikan ke dalam hubungan asli, atau bandingkan grafik dan jawaban numerik jika sesuai.
Untuk f(x)=x²-2, f(1)=-1 dan f(2)=2. Pada titik tengah 1.5, f=0.25, sehingga rentang baru adalah [1,1.5]. Pada titik tengah 1.25, f=-0.4375, sehingga rentang berikutnya adalah [1.25,1.5]. Newton dari 1.5 menghasilkan 1.4166667.
Biseksi dan pencarian akar Newton
Untuk fungsi kontinu dengan perubahan tanda, bagi interval akar menjadi dua dan simpan separuh yang memiliki tanda ujung berlawanan
Bandingkan model dengan kasus yang diselesaikan dan jelaskan satu perubahan.
Temukan titik tengah dari [1,2].
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Titik tengah=(1+2)/2=1.5.
Uji jalan pintas yang menggoda
- Perubahan tanda harus terjadi pada interval di mana fungsi tersebut kontinu. Newton dapat gagal jika turunannya nol, atau jika iterasinya keluar dari domain yang berguna.
- Ketika jalan pintas gagal, identifikasi asumsi yang dilanggar. Pertahankan nilai eksak hingga pembulatan akhir yang diminta.
Setiap perubahan tanda membuktikan adanya akar, termasuk satu yang melintasi titik diskontinu. Klaim ini salah. Jelaskan definisi atau asumsi mana yang dilanggar.
Setelah dua biseksi seperti di atas, temukan ujung bawahnya.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Setelah titik tengah 1.5 lalu 1.25, interval yang tersisa adalah [1.25,1.5]. Ujung bawahnya adalah 1.25.
Setiap perubahan tanda membuktikan adanya akar, termasuk yang melintasi ketidaklanjutan.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Perubahan tanda harus terjadi pada interval di mana fungsi kontinu. Newton dapat gagal jika turunannya nol, atau jika iterasinya keluar dari domain yang berguna.
Interpretasikan situasi baru
- Metode numerik FP1 berkaitan dengan akar: pembagian dua, interpolasi, dan metode Newton. Integrasi numerik tidak termasuk dalam pelajaran ini.
- Solusi lengkap memberikan hasil matematis dan menjelaskan maknanya. Periksa apakah hal itu mungkin dalam konteks yang dinyatakan.
Temukan ujung atas dari interval tersebut.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Ujung atas yang tersisa adalah 1.5, di mana f masih bernilai positif.
Pasangkan setiap metode numerik dengan pembaruan atau aturannya.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Setiap metode memiliki kondisinya sendiri: biseksi membutuhkan perubahan tanda yang kontinu, Newton membutuhkan turunan tak nol, dan aturan trapesium membutuhkan lebar strip yang sama.
Gunakan ini dalam kursus anda
- edexcel IAL matematika murni; unit resmi FP1. Pengayaan di luar-unit diidentifikasi dalam tinjauan cakupan; ini bukan persyaratan tambahan untuk pencairan.
- Berikan metodenya sebelum jawaban akhir, dan gunakan aturan kalkulator serta rumus pada kertas ujian. Tinjau jawaban yang salah dengan menemukan langkah pertama yang tidak valid.
Pembaruan berulang di mana setiap aproksimasi baru dihitung dari sebelumnya. Pilih hubungan, tunjukkan metode, periksa asumsinya dan interpretasikan hasilnya.