Statistik 2: distribusi, variabel kontinu, dan uji hipotesis
Statistik 2 (S2, kertas WST02/01, 1 jam 30 menit, 75 nilai, penilaian pertama Juni 2020) mengikuti S1 dalam jalur terapan: P1–P2 dan S1 diasumsikan. Buku panduan memuat binomial, Poisson dan tabel Normal. Referensi ini mencakup distribusi binomial dan Poisson dengan pendekatannya, variabel acak kontinu, distribusi seragam, pengambilan sampel, dan rutin pengujian hipotesis penuh.
Wajib tahu untuk S2 (tidak ada di buku panduan):
| Keluarga | Rumus |
|---|---|
| binomial | $X\sim B(n, p)$: $E(X) = np$, $\mathrm{Var}(X) = np(1-p)$, $P(X = r) = \binom nr p^r(1-p)^{n-r}$ |
| Poisson | $X\sim\mathrm{Po}(\lambda)$: $E(X) = \mathrm{Var}(X) = \lambda$; laju berskala dengan waktu |
| kontinu | $P(a < X < b) = \int_a^b f(x)\,dx$, $f(x) = F'(x)$, $E(X) = \int xf(x)\,dx$, $E(X^2) = \int x^2f(x)\,dx$ |
| seragam | pada $[a, b]$: rata-rata $\tfrac{a+b}2$, variansi $\tfrac{(b-a)^2}{12}$, kerapatan $\tfrac1{b-a}$ |
Distribusi binomial dan Poisson
Distribusi binomial: $n$ percobaan independen, probabilitas konstan $p$ — dua asumsi yang perlu disebutkan dalam konteks. Distribusi Poisson: peristiwa terjadi secara tunggal, independen, dengan laju rata-rata konstan — lajunya diskalakan ($\mathrm{Po}(\lambda)$ per menit menghasilkan $\mathrm{Po}(5\lambda)$ dalam 5 menit). Momen diberikan sebagai rumus: $np$ dan $np(1-p)$; $\lambda$ dan $\lambda$. Diberikan mean dan variansi dari binomial, selesaikan untuk $n$ dan $p$ secara simultan. Aproksimasi Poisson terhadap binomial memerlukan $n$ besar dan $p$ kecil (gunakan $\lambda = np$).
Contoh terpecahkan — momen kemudian pendekatan (WST02 Juni 2025 Q3). Permen biru per kecil kantung memiliki rata-rata 3 dan variansi 2.55: $np = 3$ dan $np(1-p) = 2.55$ memberikan $1 - p = 0.85$, sehingga $p = 0.15$ dan $n = 20$. Kantang sedang berisi 40 dengan persentase hijau 20%: $X\sim B(40, 0.2)$, $E(X) = 8$, dan $P(X > 8) = 1 - P(X \le 8) = 0.407$. Kantang besar berisi 80 dengan persentase kuning 10%: dengan $n = 80$ Sebuah variabel acak kontinu memiliki fungsi kerapatan probabilitas $p = 0.1$ dengan total luas $X\approx\mathrm{Po}(8)$ dan $P(X \ge 12) = 1 - P(X \le 11) = 0.112$ di setiap titik; fungsi distribusi kumulatif
Variabel acak kontinu
$f$ memenuhi 1 dan $P(X = x) = 0$. Kerapatan piecewise: $F(x) = P(X \le x)$ memenuhi $f = F'$ dan $F(a) = \int_{-\infty}^a f$. Kepadatan berselang-seling: kuartil, dan modus dari puncak $\int f = 1$ (atur $F = \tfrac12$, atau periksa sudut-sudutnya). kuartil, dan modus dari puncak $f$ (tetapkan $f' = 0$, atau periksa sudut-sudutnya). $E(X) = \int xf\,dx$, $E(X^2) = \int x^2f\,dx$, $\mathrm{Var} = E(X^2) - [E(X)]^2$; kemencengan membandingkan rata-rata, median, dan modus.
![Kiri: CDF F(x) = (6x^2 - x^4)/5 pada [0, 1] naik dari 0 ke 1 dengan median ditandai pada F = 1/2 (x = 0.671). Kanan: densitas f(x) = (12x - 4x^3)/5 dengan modus di x = 1 dan area melebihi x = 0.6 diarsir (0.594).](/handout-media/edexcel_ial_further_mathematics/assets/08-cdf-pdf.png?v=1792758424)
Contoh terpecahkan — CDF diselesaikan langkah demi langkah (WST02 Juni 2025 Q1). $F(x) = k(6x^2 - x^4)$ pada [0, 1]: $F(1) = 1$ menghasilkan $5k = 1$. $P(X > 0.6) = 1 - \tfrac{6(0.36) - 0.1296}{5} = 0.594$. Median: $\tfrac{6m^2 - m^4}{5} = \tfrac12$, yaitu $2m^4 - 12m^2 + 5 = 0$, sehingga $m = 0.671$. Modus: $f(x) = \tfrac{12x - 4x^3}{5}$ dan $f'(x) = \tfrac{12 - 12x^2}{5} = 0$ menghasilkan $x = 1$ (tolak $-1$, berada di luar daerah penyangga). Kemencengan: rata-rata $0.64 <$ median $0.671 <$ modus $1$ — kemencengan negatif.
![Kiri: pdf segitiga naik sepanjang 2x/21 dari 0 ke k = 3.5 lalu turun sepanjang 2(6-x)/15 ke x = 6, nilai puncak 1/3 ditandai. Kanan: densitas seragam pada [-2, 14] pada tinggi 1/16 dengan interval [8, 14] diarsir (luas 3/8).](/handout-media/edexcel_ial_further_mathematics/assets/08-triangular-pdf.png?v=1792133600)
Contoh terpecahkan — pdf piecewise-linear, tanpa kalkulator (WST02 Juni 2025 Q5). Dengan $f(x) = \tfrac{2x}{21}$ pada $[0, k]$ dan $f(x) = \tfrac{2(6-x)}{15}$ pada $(k, 6]$: dinormalisasi,
sehingga $k = 3.5$ (pdf ini kontinu di sana, kedua bagian sama-sama bernilai $\tfrac13$). Kemudian $E(X) = \tfrac{2}{21}\cdot\tfrac{k^3}{3} + \tfrac{2}{15}\int_{3.5}^6(6x - x^2)dx = \tfrac{19}6$, dan dengan $E(X^2) = \tfrac{277}{24}$ yang diberikan, $\mathrm{Var}(X) = \tfrac{277}{24} - \tfrac{361}{36} = \tfrac{109}{72}$.
Distribusi uniform kontinu
Distribusi uniform kontinu pada $[a, b]$ Seragam pada $[a, b]$: densitas $\tfrac1{b-a}$, CDF lurus, rata-rata $\tfrac{a+b}2$, varians $\tfrac{(b-a)^2}{12}$. Dua fakta mengikat $a$ dan $b$ (probabilitas interval memberikan $b - a$; yang rata-rata menghasilkan $a + b$). Skala pengkodean mengalikan rata-rata; probabilitas adalah panjang atas $b - a$.
Worked example — uniform on a wide interval (WST02 June 2025 Q6). $P(2 < X < 5) = \tfrac3{16}$ gives $b - a = 16$; $E(X) = 6$ gives $a + b = 12$: so $a = -2$, $b = 14$ ($a = 4.4$, $b = 7.6$ juga sesuai — tetapi gunakan satu akar untuk seluruh soal). $E(cX + 1) = 3$ menghasilkan $c = \tfrac13$; $\mathrm{Var} = \tfrac{256}{12} = \tfrac{64}3$; $E(X^2) = \tfrac{64}3 + 36 = \tfrac{172}3$; and $P(\tfrac32X - b > a) = P(X > \tfrac{2(a+b)}3) = P(X > 8) = \tfrac{14-8}{16} = \tfrac38$.
Populasi, sampel, dan statistik
Sensus mengukur semua orang (lengkap namun mahal, lambat, mungkin merusak); sebuah sampel mengukur sebagian (lebih murah, lebih cepat, namun dengan kesalahan pengordion). Kerangka pengordion adalah daftar unit-unit pengordion. Statistik adalah fungsi dari nilai-nilai sampel saja (tanpa parameter tak diketahui) parameter) — $\bar X$ adalah, $\bar X - \mu$ tidak; distribusinya di atas sampel berulang adalah distribusi sampling.
Contoh terpecahkan — distribusi sampling (WST02 Juni 2025 Q4).) Tiga manik-manik dari sebuah keranjang 2:5 hitam:putih, memberikan skor 4 per hitam dan 1 per putih: dengan $P(\text{black}) = \tfrac27$, skor $X$ mengambil 3, 6, 9, 12 dengan peluang $\tfrac{125}{343}, \tfrac{150}{343}, \tfrac{60}{343}, \tfrac{8}{343}$ (binomial weights $\binom30(\tfrac57)^3$ etc.). If $Y$ menghitung himpunan 9-titik di antara $n$ permainan independen, $Y\sim B(n, \tfrac{60}{343})$ dan $1 - (\tfrac{283}{343})^n > 0.95$ membutuhkan $n > 15.6$, sehingga $n = 16$.
Uji hipotesis
Uji hipotesis membandingkan data terhadap model nol.
Nyatakan hipotesis nol $H_0$ (tidak ada perubahan, parameter yang dikutip) dan $H_1$ (satu-tailed atau dua-tailed sesuai permintaan). Temukan daerah kritis pada tingkat yang ditentukan dengan mengakumulasi probabilitas ekor hingga melewati $\alpha$; laporkan tingkat signifikansi aktual sebagai total probabilitas ekor. Satu-tailed uji menggeser seluruh tingkat ke satu ekor; uji dua-ekor membaginya. Tarik kesimpulan DALAM KONTEKS: "bukti tidak cukup bahwa … telah berubah" pendekatan normal terhadap binomial: rata-rata $np$, varians $np(1-p)$, dengan koreksi kontinuitas (setidaknya $t$ berarti $t - 0.5$).
Contoh terpecahkan — uji laju Poisson (WST02 Juni 2025 Q2). Pelanggan rata-rata 20/jam; setelah perubahan, satu interval 30-menit diperhatikan: $X\sim\mathrm{Po}(10)$, $H_0\colon\lambda = 10$, $H_1\colon\lambda \ne 10$. Pada 3%: $P(X \le 3) = 0.0103$ tetapi $P(X \le 4) = 0.0293$ (terlalu besar); $P(X \ge 17) = 0.0270$ tetapi $P(X \ge 18) = 0.0143$ — daerah kritis $X \le 3$ atau $X \ge 18$, tingkat aktual $0.0103 + 0.0143 = 2.46\%$. Nilai pengamatan 16 berada di luar → jangan tolak $H_0$.
Contoh terpecahkan — uji binomial dengan tengah Normal (WST02 Juni 2025 Q7). 30% dari pelanggan mengambil asuransi; sampel 40 menghasilkan $X\sim B(40, 0.3)$. Nilai terbesar $r$ dengan $P(X < r) < 0.05$ (kurang dari $r$): $P(X \le 6) = 0.0238 < 0.05$ tetapi $P(X \le 7) = 0.0553 > 0.05$, so $r = 7$. Untuk 200 pelanggan, $B(200, 0.3)\approx N(60, 42)$: $P(X \ge t) = 0.9474$ berarti $\tfrac{t - 0.5 - 60}{\sqrt{42}} = -1.62$, sehingga $t = 50$. Setelah penawaran khusus, 11 dari 25 membeli: $H_0\colon p = 0.3$, $H_1\colon p > 0.3$; $P(X \ge 11) = 0.0978 < 0.10$, sehingga tolak $H_0$ — bukti proporsi telah meningkat.
Daftar periksa sebelum menganggap unit ini selesai
- Nyatakan asumsi binomial/Poisson dalam konteks; selesaikan pasangan rata-rata/varians untuk $n$, $p$; skala laju Poisson dengan waktu.
- Normalisasikan kepadatan sepotong-sepotong (konstanta, k kuadrat sempurna); turunkan F untuk f; temukan median/kuartil dari F, modus dari f' atau sudut; jalankan E(X), E(X²), Var; baca kemencengan dari mean–median–modus.
- Kutip dan turunkan fakta seragam; tentukan a dan b dari interval ditambah rata-rata; pertahankan probabilitas sebagai panjang.
- Bedakan sensus vs sampel dengan pro dan kontra; kenali statistik; bangun distribusi sampling kecil melalui enumerasi; bungkus hitungan dalam B(n, p) untuk kelanjutan.
- Jalankan uji satu arah dan dua arah: hipotesis dalam simbol dan kata-kata, daerah kritis melalui akumulasi, tingkat signifikansi aktual, kesimpulan dalam konteks; pendekatan Normal dengan koreksi kontinuitas ketika n besar.