M2 · Mechanics 2

Mekanika 2 (M2, kertas WME02/01, 1 jam 30 menit, 75 skor, penilaian pertama Juni 2020) adalah satuan terapan IAL yang melanjutkan M1: P1–P4 dan M1 diasumsikan. Ambil $g = 9.8\ \mathrm{m\,s^{-2}}$ kecuali model soal menyatakan sebaliknya (satu soal Juni 2025 menggunakan 10). Referensi ini meliputi kinematika percepatan berubah, pusat massa, usaha, energi dan daya, tumbukan dengan koefisien restitusi, serta kesetimbangan benda kaku.

Wajib untuk M2 (tidak ada di buku catatan):

Ketika percepatan merupakan fungsi waktu, integralkan: $v = \int a\,dt$ dan $s = \int v\,dt$, dengan konstanta yang ditetapkan oleh kondisi awal ("diam di O" menghilangkan keduanya). Untuk JARAK TOTAL ketika partikel berbalik arah, temukan waktu berhenti ($v = 0$) dan jumlahkan kedua lintasan. Vektor posisi diferensiasikan secara komponen: $\mathbf v = \tfrac{d\mathbf r}{dt}$, $\mathbf a = \tfrac{d\mathbf v}{dt}$.

Contoh terpecahkan — integrasi dengan trap (WME02 Juni 2025 Q1). Dengan $a = k(3 - t^2)$ dari keadaan diam di O dan $v(1.5) = 13.5$: $v = k(3t - \tfrac{t^3}3)$ (nol konstan oleh keadaan diam), dan $k(4.5 - 1.125) = 3.375k = 13.5$ menghasilkan $k = 4$. Kemudian $s = 6t^2 - \tfrac{t^4}3 = \tfrac{t^2}3(18 - t^2)$. Untuk jarak total kembali ke O: $v = \tfrac{4t}3(9 - t^2) = 0$ pada $t = 3$, $s(3) = 27$, sehingga partikel bergerak $27 + 27 = 54$ m — lintasan kembali adalah tambahan 27 lagi, bukan pengurangan.

Contoh terpecahkan — kecepatan vektor lalu impuls (WME02 Juni 2025 Q2). Dengan $\mathbf r = 4\sqrt t\,\mathbf i - 3t\mathbf j$ (meter, $t$ detik), massa 3 kg: $\mathbf v = \tfrac{d\mathbf r}{dt} = 2t^{-1/2}\mathbf i - 3\mathbf j$, sehingga pada $t = 4$ $\mathbf i - 3\mathbf j$ dan kecepatannya menjadi $(6\mathbf i - 3\mathbf j)$ — turunkan FIRST, lalu terapkan impuls pada saat yang disebutkan kedua. $3(\mathbf v' - (\mathbf i - 3\mathbf j)) = (6\mathbf i - 3\mathbf j)$, jadi $\mathbf v' = 3\mathbf i - 4\mathbf j$ dan kelajuan adalah $5\ \mathrm{m\,s^{-1}}$ — turunkan Pertama, terapkan impuls pada detik kedua yang disebutkan.

pecah menjadi bagian-bagian yang pusat massanya Anda ketahui (buku catatan: kawat setengah lingkaran $\bar x = \dfrac{\sum mx}{\sum m}$, lamina setengah lingkaran $\tfrac{2r}\pi$, sektor, busur), bobotkan setiap bagian dengan MASSA (lamina: luas; kawat: pelat $\tfrac{4r}{3\pi}$, sektor, busur), bobotkan setiap bagian dengan MASSA (pelat: luas; kawat: tanda yang berlawanan. Lamina komposit mengurangi lubang sebagai area negatif. tanda berlawanan. Pelat komposit mengurangkan lubang sebagai area negatif.

Contoh kerja — kerangka kawat berbentuk S (WME02 Juni 2025 Q3). Dua busur kawat setengah lingkaran busur, AB berjari-jari $2a$ dan CD berjari-jari $a$, keduanya berpusat di O di sisi berlawanan dari kawat lurus ACDB ($AC = DB = a$). Tabel (sekitar garis AB):

Total panjang $(3\pi + 2)a$; momen $6a^2$; sehingga pusat massanya adalah $\dfrac{6a}{3\pi + 2}$ dari AB. Digantung dari A dengan E pada busur di mana $\angle AOE = 90°$: garis simetri OE membawa G, sehingga $\tan\angle OAG = \dfrac{3}{3\pi+2}$, dan karena $OA = OE$ membentuk $\angle OAE = 45°$, sudut $\theta$ AE terhadap vertikal memenuhi $\theta = 45° - \angle OAG$, menghasilkan $\tan\theta = \dfrac{3\pi - 1}{3\pi + 5}$.

Benda yang digantung bebas akan menggantung dengan pusat massanya secara vertikal di bawah titik penyangga. Sudut yang ditanyakan biasanya berada antara tali busur benda yang digambar dengan garis vertikal: temukan sudut di titik penyangga menggunakan trigonometri segitiga siku-siku dengan jarak COM, kemudian sesuaikan dengan geometri sudut apa pun (segitiga sama kaki adalah sumber standar untuk 45°, 60°).

Usaha oleh gaya konstan: $Fs$ sepanjang gerak (negatif melawannya); gravitasi melakukan $\pm mgh$. Prinsip usaha-energi: total usaha = perubahan KE. kekekalan energi mekanik: energi terjaga ketika hanya gravitasi yang melakukan usaha; hambatan masuk sebagai usaha $-Rs$. daya $P = Fv$: pada kecepatan konstan, gaya penggerak menyeimbangi hambatan plus komponen gravitasi, sehingga $v = \tfrac PF$; pada kecepatan tertentu, kelebihan gaya menyebabkan percepatan.

Contoh kerja — mobil di lereng (WME02 Juni 2025 Q4). Sebuah mobil 750 kg menanjak di lereng dengan $\sin\alpha = \tfrac17$, hambatan 200 N, mesin pada 20 kW. Kecepatan konstan: $\tfrac{20000}V = 750(9.8)\tfrac17 + 200 = 1250$, sehingga $V = 16\ \mathrm{m\,s^{-1}}$. Pada $10\ \mathrm{m\,s^{-1}}$: $2000 - 1250 = 750a$, sehingga $a = 1\ \mathrm{m\,s^{-2}}$. Mesin mati di A pada $10\ \mathrm{m\,s^{-1}}$: usaha-energi menghasilkan $\tfrac12(750)(100) = 750g(d\sin\alpha) + 200d$, yaitu $37500 = 1250d$ dan $d = 30$ m — hambatan bekerja sepanjang JARAK LERENG $d$, gravitasi melalui ketinggian $d\sin\alpha$.

Contoh kerja — proyektil tertutup energi (WME02 Juni 2025 Q7). Sebuah proyektil pada lintasan parabola meninggalkan O pada $20\ \mathrm{m\,s^{-1}}$ ($g = 10$) berada 11 m di atas saat komponen vertikalnya $V$ dan komponennya horizontal $2V$. Energi: $200 = \tfrac12(V^2 + 4V^2) + 110$, sehingga $V = 6$ (komponen 6 dan 12). Peluru memotong bidang pada $60°$ terhadap horizontal SECARA TEGAK LURUS, sehingga kecepatan berada pada $30°$ di bawah horizontal: kelajuan $= \tfrac{12}{\cos30°} = 8\sqrt3$, dan energi dari O memberikan $200 = \tfrac12(192) + 10H$, sehingga $H = 10.4 \to 10$ m (2 s.f.).

Hukum eksperimental Newton, koefisien restitusi: $e = \dfrac{v_B - v_A}{u_A - u_B}$ (kecepatan pemisahan dibagi pendekatan kecepatan, $0 \le e \le 1$; $e = 1$ elastis, $e = 0$ mereka menempel). Dengan kekekalan momentum, dua persamaan menyelesaikan tabrakan langsung apa pun. Kehilangan KE selalu difaktorkan dengan $(1 - e^2)$: kehilangan $= \tfrac{m_Am_B}{2(m_A+m_B)}(1-e^2)(u_A - u_B)^2$ — dan impuls pada setiap benda berasal dari perubahan momentumnya sendiri. Pantulan dari dinding tetap mengalikan kecepatan dengan $e$ sepenuhnya.

Contoh terpecahkan — cerita tabrakan lengkap (WME02 Juni 2025 Q5). P (massa $2m$, kecepatan $u$) menabrak Q (massa $m$) dalam keadaan diam, restitusi $e$. Momentum: $2u = 2v_P + v_Q$; restitusi: $eu = v_Q - v_P$. Penyelesaian: $v_Q = \tfrac{2(1+e)u}3$, $v_P = \tfrac{(2-e)u}3$. KE setelahnya adalah $\tfrac{mu^2}3(2 + e^2)$, sehingga kehilangan adalah $\tfrac{mu^2}3(1 - e^2)$ — faktor $k = \tfrac13$. Jika impuls pada Q adalah $\tfrac89mu$: $m\cdot\tfrac{2(1+e)u}3 = \tfrac{8mu}9$ memberikan $e = \tfrac13$. Q kemudian memantul dari dinding dengan koefisien restitusi $f$ untuk menyamakan kecepatan P $\tfrac59u$: $f\cdot\tfrac89u = \tfrac59u$, sehingga $f = \tfrac58$.

Rantai tiga benda dan dinding bersifat pencatatan: selesaikan tumbukan pertama sepenuhnya, bawa kecepatan yang tersisa ke benturan berikutnya, dan hanya samakan besaran yang dikaitkan pertanyaan ("kecepatan sama", "diam"). Pantulan dinding membalik arah dan mengalikan kecepatan dengan $e$; simpan diagram bertanda per tahap.

Benda kaku dalam kesetimbangan memerlukan resultan gaya nol DAN resultan momen nol terhadap setiap titik. Pilih poros untuk menghilangkan variabel tak diketahui (satu reaksi tak diketahui rel halus adalah alasan mengapa momen tentang kontak lantai memberikan hasil). Resolusi secara horizontal dan vertikal untuk komponen kontak; pada lantai kasar dalam kesetimbangan batas gesekan $F = \mu R$ dengan $F$ horizontal.

Contoh kerja — batang di rel licin (WME02 Juni 2025 Q6). Batang seragam AB (massa $m$, panjang $2a$) beristirahat dengan A di tanah kasar terhadap rel halus di C, $AC = 1.5a$, kemiringan $\theta$, reaksi normal $S$ dari rel, tegak lurus batang. Momen tentang A: $S(1.5a) = mg\,a\cos\theta$, sehingga $S = \tfrac{2mg\cos\theta}3$. Secara vertikal: $V = mg - S\cos\theta = \tfrac{mg}3(3 - 2\cos^2\theta)$. Kesetimbangan batas dengan $\mu = \tfrac47$: $F = S\sin\theta$, sehingga $\tfrac47\cdot\tfrac{mg}3(3 - 2\cos^2\theta) = \tfrac{2mg}3\cos\theta\sin\theta$. Membagi dengan $\cos^2\theta$ dan menggunakan $\sec^2\theta = 1 + \tan^2\theta$: $12\tan^2\theta - 14\tan\theta + 4 = 0$, i.e. $6\tan^2\theta - 7\tan\theta + 2 = 0$.

• Integralkan $a(t)$ dari $v$ ke $s$ dengan konstanta dari kondisi awal; tangani jarak total melalui titik balik; turunkan $\mathbf r(t)$ untuk kecepatan vektor dan terapkan impuls sebagai $\mathbf I = m\Delta\mathbf v$.
• Bangun tabel PPT (pembobotan massa/luas/panjang) dengan jarak bertanda untuk potongan sisi berlawanan dan lubang negatif; gunakan hasil kawat dan pelat pada buku saku; temukan sudut gantung dengan trigonometri di titik gantung ditambah sudut segitiga sama kaki apa pun.
• Terapkan kerja-energi dan kekekalan energi mekanik, dengan kerja tahanan atas jarak lereng dan $P = Fv$ dua arah.
• Selesaikan tabrakan langsung dengan momentum + koefisien restitusi; nyatakan kedua kecepatan; hitung kehilangan energi $(1-e^2)$ dan impuls per benda; rangkai pantulan dinding dan tabrakan kedua dengan diagram bertanda.
• Untuk benda tegar: momen terhadap poros yang menghilangkan variabel tak diketahui, resolusi komponen, dan tutup masalah kesetimbangan batas menjadi persamaan dalam $\tan\theta$.