S3 · Statistics 3

Statistika 3 (S3, kertas WST03/01, 1 jam 30 menit, 75 nilai, penilaian pertama Juni 2020) adalah unit statistika terakhir: S1–S2 diasumsikan. Buku panduan memuat tabel Normal dan tabel chi-squared serta nilai kritis Spearman. Referensi ini mencakup kombinasi variabel Normal, metode sampling, estimator dan distribusi rata-rata sampel, interval kepercayaan dan uji hipotesis untuk rata-rata (satu dan dua sampel), kecocokan goodness of fit dan tabel kontingensi, serta korelasi peringkat beserta ujinya.

Yang harus diketahui untuk S3 (tidak ada di buku panduan):

Variabel Normal yang saling independen bergabung menjadi Normal: jumlahkan rata-ratanya, jumlahkan koefisien kuadrat dikalikan variansnya. Untuk $3S$ di mana $S \sim N(18, 0.03^2)$: $3S \sim N(54, 9 \times 0.0009)$ — rata-ratanya tiga kali lipat tetapi variansnya dikalikan sembilan. Selisih bekerja dengan cara yang sama: $C_1 - C_2 \sim N(0, 2\sigma^2)$, dan $P(|C_1 - C_2| > c)$ adalah dua kali probabilitas satu ekor simetris.

Contoh terpecahkan (WST03 Juni 2025 Q8). $S \sim N(18, 0.03^2)$, $C \sim N(25, 0.03^2)$, $P \sim N(15, 0.2^2)$ secara independen (kg). (a) $S_1+S_2+S_3 \sim N(54, 0.0027)$ (sd 0.05196): $P(>54.1) = 1 - \Phi(1.924) = 0.0274$. (b) $C_1 - C_2 \sim N(0, 0.0018)$: $P(|C_1-C_2| > 0.02) = 2(1 - \Phi(0.4714)) = 2 \times 0.3192 = 0.638$. (c) Dengan $T = \sum_1^{28} S_i + \sum_1^5 C_i + P_1$, peristiwa $T < 30P_1 + 190$ diubah menjadi $\sum S_i + \sum C_i - 29P_1 < 190$ — Normal dengan rata-rata $504 + 125 - 435 = 194$ dan varians $28(0.0009) + 5(0.0009) + 29^2(0.04) = 33.6697$, sehingga $P = \Phi\left(\tfrac{190-194}{5.803}\right) = 1 - 0.7549 = 0.245$.

Sampel acak sederhana memberikan setiap anggota (dan setiap sampel berukuran $n$) peluang yang sama; gunakan angka acak pada kerangka sampling. Pengambilan sampel sistematis mengambil setiap anggota ke-$x$ dari awal acak — untuk 20 dari 360, $x = 18$; ini berfungsi baik pada daftar berurutan dan menghilangkan bias selektor, tetapi anggota dalam rentang yang sama tidak dapat muncul bersama (jarakan terkunci). Pengambilan sampel bertingkat membagi berdasarkan strata dan mengambil sampel masing-masing secara proporsional — terbaik ketika kelompok berbeda di dalamnya. Pengambilan sampel kuota mengisi kuota yang ditetapkan pewawancara tanpa kerangka kerja - murah tetapi rentan terhadap bias pewawancara. Sebutkan satu keunggulan dan satu kelemahan dari masing-masing.

Sebuah statistik tidak memuat parameter populasi yang tidak diketahui. Suatu penduga disebut tidak bias jika ekspektasinya sama dengan parameternya; bias-nya adalah selisih: $\bar X$ untuk $\mu$, $s^2 = \dfrac{\sum x_i^2 - n\bar x^2}{n-1}$ untuk $\sigma^2$ ($n-1$ adalah koreksinya). Bias memiliki tanda dan besaran $\mathrm{E}(\hat\theta) - \theta$. Rata-rata sampel memenuhi $\bar X \sim N\left(\mu, \tfrac{\sigma^2}n\right)$: sampel yang lebih besar mengecilkan kesalahan baku $\sigma/\sqrt n$.

Contoh terpecahkan (WST03 Juni 2025 Q6). $R = \tfrac12X_1 + \tfrac34X_{20}$: $\mathrm{E}(R) = (\tfrac12 + \tfrac34)\mu = \tfrac54\mu \ne \mu$, sehingga $R$ bias dengan bias $\tfrac\mu4$. Diberikan $S = \tfrac{aX_1 - bX_2}2$ dan $T = \tfrac{a\sum_1^{14}X_i + b\sum_{15}^{20}X_i}{20}$ keduanya tidak bias: ekspektasi memaksa $a - b = 2$ dan $14a + 6b = 20$, sehingga $a = 1.6$, $b = -0.4$.

Contoh terpecahkan — pemulihan parameter (WST03 Juni 2025 Q7). Diberikan $P(\bar X_n < 45.2) = 0.3446$ dan $P(\bar X_n > 75.2) = 0.0179$: nilai-z adalah $-0.4$ and $2.1$, so $\mu - 0.4\tfrac\sigma{\sqrt n} = 45.2$ and $\mu + 2.1\tfrac\sigma{\sqrt n} = 75.2$. Subtracting: $2.5\tfrac\sigma{\sqrt n} = 30$, giving $\sigma = 12\sqrt n$ (SE 12) dan $\mu = 45.2 + 4.8 = 50$; kemudian $P(\bar X_n > 59) = 1 - \Phi(0.75) = 0.2266$.

Sebuah interval kepercayaan untuk $\mu$ (varians diketahui) adalah $\bar x \pm z\tfrac{\sigma}{\sqrt n}$ dengan $z = 1.96$ (95%), $1.6449$ (satu-arah 95% kritis), $2.5758$ (99%). Interpretasi: prosedur ini menangkap $\mu$ dalam 95% sampel — bukan "probabilitas bahwa μ berada di dalam adalah 0.95". Statistik uji $z = \dfrac{\bar x - \mu}{\sigma/\sqrt n} \sim N(0, 1)$; ketika varians tidak diketahui dan $n$ besar, ganti $s$ (Teorema Limit Pusat juga mengizinkan populasi non-Normal ketika $n$ besar). Kesimpulan menyatakan bukti dalam konteks.

Contoh kerja — dua sampel dengan kesenjangan (WST03 Juni 2025 Q4). Tupai abu-abu ($n = 80$, $\bar x = 500$, $s_x^2 = 1156$) dan merah ($n = 80$; $\sum y = 23200$, $\sum y^2 = 6741351$, giving $\bar y = 290$ and $s_y^2 = \tfrac{6741351 - 80(290)^2}{79} = 169$). Test $\text{H}_0\colon \mu_x - \mu_y = 200$ against $> 200$ pada 5%:

jadi tolak H₀ — rata-rata abu-abu lebih dari 200 g di atas yang merah. Asumsi substitusi varians ($\sigma^2 = s^2$ untuk setiap populasi) yang mengizinkan penggunaan rumus tersebut.

Kecocokan model membandingkan frekuensi observasi dengan yang diharapkan oleh model: $X^2 = \sum \frac{(O-E)^2}{E}$. Derajat kebebasan = (sel − 1) − (parameter diestimasi dari data): binomial dengan p̂ diestimasi kehilangan satu lagi. Gabungkan sel ekor yang frekuensi ekspektasinya di bawah 5 sebelum hal lain. Tabel kontingensi menguji asosiasi antara dua klasifikasi dengan $E = \frac{\text{row} \times \text{column}}{\text{total}}$ dan $\mathrm{df} = (r-1)(c-1)$.

Contoh kerja — kecocokan binomial (WST03 Juni 2025 Q5). Laki-laki dalam 250 litter dari 5 ($O = 2, 40, 90, 85, 30, 3$): $\hat p = \tfrac{610}{1250} = 0.488$, menghasilkan frekuensi ekspektasi $8.80, 41.92, 79.91, 76.16, 36.30, 6.92$. Kelas $r$ berkontribusi $\tfrac{(2-8.796)^2}{8.796} = 5.25$, jadi dengan $\sum = 5.70$ yang diberikan untuk sisanya, $X^2 = 10.95$ pada derajat kebebasan $6 - 1 - 1 = 4$; nilai kritis 5% 9.488 terlampaui — tolak: binomial bukan model yang sesuai.

Contoh terpecahkan — asosiasi (WST03 Juni 2025 Q3). Tipe mesin × masalah pertama waktu (250 mobil, 3×3): sel diesel/bulan 1–6 memiliki $E = \tfrac{35\times36}{250} = 5.04$ and contributes $\tfrac{(10-5.04)^2}{5.04} = 4.88$; dengan 7.444 untuk delapan sel lainnya sel, $X^2 = 12.325 > 9.488$ pada 4 df — bukti adanya asosiasi antara tipe mesin dan waktu dimulainya masalah.

Koefisien korelasi peringkat Spearman mengukur kesesuaian monotonik antara dua peringkat; uji $\text{H}_0\colon\rho = 0$ terhadap tabel dan buat kesimpulan dalam kata-kata mengenai peringkat tersebut.

Koefisien korelasi peringkat Spearman $r_s = 1 - \tfrac{6\sum d^2}{n(n^2-1)}$ mengukur kesesuaian monotonik antara dua peringkat (tidak ada seri yang diperiksa). Uji $\text{H}_0\colon \rho = 0$ terhadap alternatif satu- atau dua-sisi menggunakan tabel nilai kritis; buat kesimpulan dalam konteks ("bukti tidak cukup kesesuaian positif antara para juri").

Contoh terpecahkan (WST03 Juni 2025 Q2). Dua juri mengurutkan 10 penampilan: selisih peringkat menghasilkan $\sum d^2 = 66$, sehingga $r_s = 1 - \tfrac{6(66)}{990} = 0.6$. Pada tingkat 1% satu-sisi nilai kritis adalah 0.7455: $0.6 < 0.7455$, sehingga jangan tolak H₀ — bukti yang tidak cukup untuk korelasi positif antara peringkat hakim.

• Gabungkan Normal independen (koefisien kuadrat pada varians); tangani selisih dan |selisih| secara simetris.
• Sebutkan dan justifikasi empat metode pengambilan sampel; hitung jarak sistematis dan sifat ketidakmungkinannya.
• Periksa statistik untuk parameter, hitung ekspektasi untuk bias, selesaikan persamaan taksan takberbias berpasangan.
• Gunakan SE σ/√n; pulihkan (μ, σ) dari dua probabilitas rata-rata sampel; hitung probabilitas untuk X.
• Bangun dan interpretasikan interval kepercayaan berbasis z; lakukan uji satu-sampel dan dua-sampel dengan substitusi varians dan CLT yang dinyatakan.
• Hitung frekuensi yang diharapkan (model atau kontingensi), gabungkan sel rendah, kurangi parameter yang diestimasi dari df, bandingkan dengan tabel χ².
• Hitung Spearman's rₛ dari peringkat dan uji terhadap tabel dengan hipotesis dinyatakan dalam simbol dan kesimpulan dalam kata-kata.