FP3 · Further Pure Mathematics 3

Matematika Murni Lanjutan 3 (FP3, kertas WFM03/01, 1 jam 30 menit, 75 skor, penilaian pertama Juni 2020) adalah unit murni terakhir: P1–P4 dan FP1 diasumsikan dan dapat diuji. Ini menambahkan fungsi hiperbolik dan inversnya, elips dan hiperbola dengan sifat fokus-directrix mereka, teknik diferensiasi dan integrasi tersisa (rumus reduksi, busur panjang, permukaan putar), perkalian vektor dengan garis dan bidang dalam tiga dimensi, dan aljabar matriks hingga nilai eigen dan diagonalisasi. Referensi ini mencakup semuanya, dengan soal Juni 2025 sebagai contoh terpadu.

Wajib diketahui untuk FP3 (diasumsikan, tidak diajarkan ulang):

Fungsi hiperbola dibangun dari eksponensial: $\cosh x = \tfrac12(e^x + e^{-x})$ dan $\sinh x = \tfrac12(e^x - e^{-x})$, dengan $\tanh x = \dfrac{\sinh x}{\cosh x}$. Grafik dari $\cosh$ adalah katenari, bahkan dengan minimum $(0, 1)$; $\sinh$ ganjil melalui titik asal; $\tanh$ ganjil dan terjepit di antara garis asimtot $y = \pm 1$. Dua identitas yang harus diturunkan saat diperlukan adalah $\cosh^2x - \sinh^2x \equiv 1$ dan $\cosh 2x \equiv \cosh^2x + \sinh^2x$; identitas jumlah-ke-perkalian mencerminkan identitas trigonometri.

Contoh terpecahkan — identitas dari definisi (WFM03 Juni 2025 Q1). Tunjukkan bahwa $\cosh 6x + \cosh 4x = 2\cosh 5x\cosh x$. Dari sebelah kiri:

pasangan $e^{6x} = e^{5x}e^{x}$ dengan $e^{-6x} = e^{-5x}e^{-x}$ dan demikian pula untuk suku-suku $4x$ — setiap langkah adalah pencatatan dengan produk $e^{\pm x}e^{\pm 5x}$, itulah sebabnya nilai soal mensyaratkan bentuk eksponensial sebelum pembatalan apa pun. Kemudian selesaikan $\cosh 6x + \cosh 4x = 8\cosh x$: yang identitas menyederhanakannya menjadi $\cosh x(2\cosh 5x - 8) = 0$, dan $\cosh$ tidak pernah nol, sehingga $\cosh 5x = 4$, memberikan $5x = \pm\operatorname{arcosh}4 = \pm\ln(4 + \sqrt{15})$ dan $x = \pm\tfrac15\ln(4 + \sqrt{15})$.

Contoh terpecahkan — persamaan cosh–sinh (asli). Selesaikan $2\cosh x + \sinh x = 2$: yang definisi eksponensial menghasilkan $2\cdot\tfrac12(e^x + e^{-x}) + \tfrac12(e^x - e^{-x}) = 2$, sehingga $3e^x + e^{-x} = 4$, yaitu $3e^{2x} - 4e^x + 1 = 0$, yaitu $(3e^x - 1)(e^x - 1) = 0$, dan $x = 0$ atau $x = -\ln 3$. Periksa keduanya dalam persamaan asli — kuadratisasi tidak pernah diperlukan.

Inversnya ada sebagai fungsi tunggal karena $\sinh$ dan $\tanh$ bersifat satu-ke-satu dan $\cosh$ adalah satu-ke-satu untuk $x \ge 0$; grafiknya adalah refleksi di $y = x$ dari aslinya yang dibatasi. Ekivalen logaritmik harus dapat diturunkan, bukan sekadar dikutip:

Pola penurunan (arsinh). Tetapkan $w = \sinh x = \tfrac12(e^x - e^{-x})$: maka $e^{2x} - 2we^x - 1 = 0$, sehingga $e^x = w + \sqrt{w^2 + 1}$ (akar negatif ditolak karena $e^x > 0$) dan $x = \ln(w + \sqrt{w^2+1})$. Struktur kuadrat-terhadap-$e^x$ yang sama menyelesaikan setiap persamaan hiperbolik campuran secara tepat.

Elips $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ memiliki bentuk parametrik $x = a\cos t$, $y = b\sin t$; hiperbola $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ memiliki $x = a\sec t$, $y = b\tan t$ serta $x = a\cosh t$, $y = b\sinh t$ (cabang kanan). Yang ekskentricitas $e$ mengaitkan semua hal ke sifat fokus–directrix $PS = e\cdot PN$ (jarak ke fokus = $e$ × jarak ke directrix): untuk elips $b^2 = a^2(1 - e^2)$, fokus $(\pm ae, 0)$, directrix $x = \pm\dfrac ae$; untuk hiperbola $b^2 = a^2(e^2 - 1)$ dengan rumus fokus dan directrix yang sama.

Contoh terpecahkan — eksentrisitas dan fokus (WFM03 Juni 2025 Q9a). Untuk H: $\dfrac{x^2}{64} - \dfrac{y^2}{49} = 1$: $a^2 = 64$, $b^2 = 49$, sehingga $49 = 64(e^2 - 1)$, $e^2 = \tfrac{113}{64}$ dan $e = \tfrac{\sqrt{113}}8$; fokusnya adalah $(\pm\sqrt{113}, 0)$.

Mensubstitusikan $y = mx + c$ ke dalam konik dan memaksa diskriminan nol menghasilkan garis singgung syarat: $c^2 = a^2m^2 + b^2$ untuk elips, $c^2 = a^2m^2 - b^2$ untuk hiperbola (sehingga $\lvert m\rvert > \tfrac ba$ diperlukan di sana). Pada titik parametrik, lakukan diferensiasi alih-alih — tidak membutuhkan diskriminan. Masalah lintasan meniru FP1: jarak ke fokus, titik tengah, atau rasio tetap.

Contoh terpecahkan — garis singgung, garis normal, dan lingkaran fokus (WFM03 Juni 2025 Q9b–e). Pada $P(8\sec\theta, 7\tan\theta)$ pada H: $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{7\sec^2\theta}{8\sec\theta\tan\theta} = \dfrac{7\sec\theta}{8\tan\theta}$, sehingga garis singgungnya adalah

memotong sumbu $y$ di $Q = (0, -7\cot\theta)$; garis normal yang diberikan $8x\cos\theta + 7y\cot\theta = 113$ memotongnya di $R = (0, \tfrac{113}7\tan\theta)$. Lingkaran dengan diameter $QR$ (titik akhir $q, r$ pada sumbu $y$) memiliki persamaan $x^2 + (y - \tfrac{q+r}2)^2 = (\tfrac{r-q}2)^2$, yang memuat sebuah titik $(x, 0)$ tepat ketika $x^2 = -qr$. Di sini $qr = -7\cot\theta\cdot\tfrac{113}7\tan\theta = -113$ untuk setiap $\theta$, dan $113 = (\sqrt{113})^2$ adalah tepat jarak fokus kuadrat — sehingga kedua fokus $(\pm\sqrt{113}, 0)$ terletak pada lingkaran. Pembatalan $\theta$ adalah inti dari pertanyaan ini.

$\dfrac d{dx}\sinh x = \cosh x$, $\dfrac d{dx}\cosh x = \sinh x$, $\dfrac d{dx}\tanh x = \operatorname{sech}^2x$, dan dari invers-inversnya: $\dfrac d{dx}\operatorname{arsinh}x = \dfrac1{\sqrt{x^2+1}}$, $\dfrac d{dx}\operatorname{arcosh}x = \dfrac1{\sqrt{x^2-1}}$, $\dfrac d{dx}\operatorname{artanh}x = \dfrac1{1-x^2}$ — masing-masing dapat dibuktikan dengan membalikkan $y = f(x)$ dan mendiferensiasikan secara implisit, dan masing-masing hanya berlaku pada domainnya.

Contoh terpecahkan — turunan invers pada domain terbatas (WFM03 Juni 2025 Q4). Untuk $y = \operatorname{arsinh}x + \operatorname{arsinh}\dfrac1x$ dengan $x > 0$:

di mana $x > 0$ mengubah $\sqrt{x^2}$ menjadi $x$ — syarat domain melakukan kerja nyata. Menetapkan $\dfrac{dy}{dx} = 0$ menghasilkan $x = 1$ dan $y = 2\operatorname{arsinh}1 = 2\ln(1 + \sqrt2)$.

Hasil standar meniru turunan. Lengkapi kuadrat terlebih dahulu untuk penyebut bentuk akar, dan tangani fungsi invers dengan bagian-bagian — ambil $u$ sebagai fungsi invers dan $1$ sebagai sisanya:

Contoh terpecahkan — kedua teknik (WFM03 Juni 2025 Q2). (i) $\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{4x^2+8x+9}}$: karena $4x^2 + 8x + 9 = 4\left((x+1)^2 + \tfrac54\right)$, integralnya adalah $\tfrac12\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{(x+1)^2 + 5/4}} = \tfrac12\operatorname{arsinh}\frac{2x+2}{\sqrt5} + c$ (diferensiasikan kembali untuk memeriksa). (ii) $\displaystyle\int\operatorname{arcosh}3x\,dx = x\operatorname{arcosh}3x - \int\frac{3x}{\sqrt{9x^2-1}}dx = x\operatorname{arcosh}3x - \tfrac13\sqrt{9x^2-1} + c$.

Empat integral yang harus hafal, masing-masing melalui $x = a\sinh t$ (atau $x = a\tan t$, pemecahan tipe $a\coth$): $\displaystyle\int\!\frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}} = \operatorname{arsinh}\frac xa + c$, $\ \displaystyle\int\!\frac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}} = \operatorname{arcosh}\frac xa + c$, $\ \displaystyle\int\!\frac{dx}{x^2+a^2} = \tfrac1a\arctan\frac xa + c$, $\ \displaystyle\int\!\frac{dx}{x^2-a^2} = \tfrac1{2a}\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right| + c$. Sebuah rumus reduksi menyatakan $I_n$ melalui $I_{n-1}$ (atau $I_{n-2}$): integralkan dengan bagian dengan surd sebagai $v$, lalu tulis ulang integral surd yang tersisa menggunakan definisi $I_n$. Panjang busur dan permukaan revolusi memerlukan $s = \displaystyle\int\sqrt{1 + \left(\tfrac{dy}{dx}\right)^2}\,dx$ dan $S = 2\pi\displaystyle\int y\sqrt{1 + \left(\tfrac{dy}{dx}\right)^2}\,dx$ (secara parametrik, $s = \int\sqrt{\dot x^2 + \dot y^2}\,dt$ dengan $y\sqrt{\dot x^2+\dot y^2}$ untuk $S$).

Contoh terpecahkan — membangun rumus reduksi (WFM03 Juni 2025 Q5). Dengan $I_n = \displaystyle\int_1^6 \frac{x^n}{\sqrt{3x-2}}dx$, ambil $u = x^n$ dan $v = \tfrac23\sqrt{3x-2}$:

menggunakan $\sqrt{3x-2} = \dfrac{3x-2}{\sqrt{3x-2}}$ untuk memunculkan $I_n$ dan $I_{n-1}$. Mengumpulkan: $(3 + 6n)I_n = 4nI_{n-1} + 8\cdot6^n - 2$. Inisialisasi dengan $I_0 = \tfrac23(4 - 1) = 2$ dan $I_1 = 6$ (melalui substitusi langsung), kemudian $15I_2 = 8(6) + 8(36) - 2 = 334$, dan $21I_3 = 12\cdot\tfrac{334}{15} + 8(216) - 2$, menghasilkan $I_3 = \tfrac{3322}{35}$.

Contoh terpecahkan — permukaan dengan substitusi sinh (WFM03 Juni 2025 Q7). Memutar $y = \cos 2x$, $0 \le x \le \tfrac\pi4$, melalui $2\pi$ sekitar sumbu $x$ (larang kalkulator): $S = 2\pi\displaystyle\int_0^{\pi/4}\cos 2x\sqrt{1 + 4\sin^22x}\,dx$. Dengan $2\sin 2x = \sinh\theta$, sehingga $4\cos 2x\,dx = \cosh\theta\,d\theta$, integral menjadi $\tfrac\pi2\displaystyle\int\cosh^2\theta\,d\theta = \tfrac\pi4\Big[\sinh\theta\cosh\theta + \theta\Big]$ antara $0$ dan $\operatorname{arsinh}2 = \ln(2+\sqrt5)$, sehingga $S = \tfrac\pi4\left(2\sqrt5 + \ln(2+\sqrt5)\right)$ — faktor-faktor $\cos 2x$ saling menghilangkan secara tepat, itulah sebabnya substitusi disediakan.

Perkalian vektor $\mathbf a\times\mathbf b = \begin{vmatrix}\mathbf i&\mathbf j&\mathbf k\\a_1&a_2&a_3\\b_1&b_2&b_3\end{vmatrix}$ adalah tegak lurus terhadap kedua faktor dengan $\lvert\mathbf a\times\mathbf b\rvert = \lvert\mathbf a\rvert\lvert\mathbf b\rvert\sin\theta$ — luas jajar genjang. Perkalian skalar tiga vektor $\mathbf a\cdot(\mathbf b\times\mathbf c)$ adalah volume parallelepiped yang ditandatangani; nol berarti ketiga vektor tersebut sebidang. Garis: $\mathbf r = \mathbf a + t\mathbf b$ atau $(\mathbf r - \mathbf a)\times\mathbf b = \mathbf 0$; bidang: $\mathbf r\cdot\mathbf n = p$ atau $\mathbf r = \mathbf a + s\mathbf b + t\mathbf c$ dengan $\mathbf n = \mathbf b\times\mathbf c$. Jarak dari titik ke bidang: $\dfrac{\lvert\mathbf x\cdot\mathbf n - p\rvert}{\lvert\mathbf n\rvert}$; jarak terpendek antara garis bersilang: proyeksikan pergeseran antara titik penyangga pada normal bersama $\mathbf b_1\times\mathbf b_2$.

Contoh terpecahkan — bidang ke garis ke jarak (WFM03 Juni 2025 Q8). Untuk $\Pi_1: \mathbf r = (4,2,-1) + \lambda(7,5,-6) + \mu(-3,1,2)$: garis normalnya adalah $(7,5,-6)\times(-3,1,2) = (16,4,22) = 2(8,2,11)$, dan mensubstitusikan titik penyangga menghasilkan $\mathbf r\cdot(8\mathbf i + 2\mathbf j + 11\mathbf k) = 32 + 4 - 11 = 25$. Memotong dengan $\Pi_2: x - y + z = 7$: arah garis adalah $(8,2,11)\times(1,-1,1) = (13,3,-10)$ dan sebuah titik memecahkan kedua bidang adalah $(\tfrac{13}5, -\tfrac{17}5, 1)$, sehingga $(\mathbf r - (\tfrac{13}5, -\tfrac{17}5, 1))\times(13,3,-10) = \mathbf 0$. Garis melalui $A(2,1,3)$ dan $B(3,0,2)$ memiliki arah $(1,-1,-1)$; normal bersama adalah $(13,3,-10)\times(1,-1,-1) = (-13,3,-16)$, dan jarak terpendek adalah

Determinan dan invers diperluas ke $3\times3$: kembangkan sepanjang baris atau kolom mana pun (tanda $+\,-\,+\,-\,+\,-$); $\mathbf A^{-1} = \dfrac1{\det\mathbf A}(\text{adjugate})$, adjugate-nya adalah transpos matriks kofaktor. Matriks singular ($\det = 0$) tidak memiliki invers dan menghancurkan dimensi. $(\mathbf{AB})^T = \mathbf B^T\mathbf A^T$ dan $(\mathbf{AB})^{-1} = \mathbf B^{-1}\mathbf A^{-1}$. Sebuah nilai eigen $\lambda$ dengan vektor eigen $\mathbf v$ memenuhi $\mathbf{Av} = \lambda\mathbf v$ — baris per baris, setiap komponen dari $\mathbf{Av}$ sama dengan $\lambda$ dikali komponen yang sesuai dari $\mathbf v$ (bukan $\lambda$ itu sendiri). Diberikan $\mathbf v$, baca $\lambda$ dari baris mana pun dengan hasil kali tak nol; jika tidak selesaikan $\det(\mathbf A - \lambda\mathbf I) = 0$ dan substitusi balik. Untuk simetris $\mathbf A$, vektor eigen untuk nilai eigen berbeda adalah ortogonal, dan matriks ortogonal $\mathbf P$ dari vektor eigen dinormalisasi mendagonalisasikannya: $\mathbf P^T\mathbf{AP} = \mathbf D$.

Contoh terpecahkan — nilai eigen dari vektor eigen yang diberikan (WFM03 Juni 2025 Q3). $\mathbf M = \begin{pmatrix}1&-1&4\\3&a&b\\a&1&b\end{pmatrix}$ memiliki vektor eigen $\mathbf i + 2\mathbf j + \mathbf k$. Baris 1: $1 - 2 + 4 = 3 = 3(1)$, sehingga $\lambda = 3$. Baris 2: $3 + 2a + b$ harus sama dengan $\lambda\times 2 = 6$, dan baris 3: $a + 2 + b$ harus sama dengan $\lambda\times 1 = 3$. Jadi $2a + b = 3$ dan $a + b = 1$: pengurangan, $a = 2$ dan $b = -1$. Dengan $\mathbf M = \begin{pmatrix}1&-1&4\\3&2&-1\\2&1&-1\end{pmatrix}$: jejaknya adalah $2$ dan, memperluas sepanjang baris 1, $\det\mathbf M = 1(-2+1) + 1(-3+2) + 4(3-4) = -1 - 1 - 4 = -6$. Sisa-sisa nilai eigen kemudian berjumlah ke $2 - 3 = -1$ dan kalikan ke $\tfrac{-6}3 = -2$: mereka adalah $1$ dan $-2$. Vektor eigen: untuk $\lambda = 1$, pemecahan $(\mathbf M - \mathbf I)\mathbf v = \mathbf 0$ menghasilkan $-\,y + 4z = 0$ dan $3x + y - z = 0$, sehingga $\mathbf v = (-1, 4, 1)$; untuk $\lambda = -2$, $(\mathbf M + 2\mathbf I)\mathbf v = \mathbf 0$ menghasilkan $3x - y + 4z = 0$ dan $2x + y + z = 0$, sehingga $\mathbf v = (-1, 1, 1)$ (keduanya diverifikasi baris). Jejak dan determinan adalah verifikasi bebas: $3 + 1 - 2 = 2$ ✓ dan $3\cdot1\cdot(-2) = -6$ ✓.

Contoh terpecahkan — singular dan invers dengan parameter (WFM03 Juni 2025 Q6). $\mathbf A = \begin{pmatrix}1&k&2\\5&3&-2\\6&-1&4\end{pmatrix}$: $\det\mathbf A = 1(12-2) - k(20+12) + 2(-5-18) = -36 - 32k$, sehingga $\mathbf A$ bersifat singular ketika $k = -\tfrac98$. Adjugat (ko-faktor transpos) memberikan

Periksa kembali entri (1,1) dari perkalian: $(1,k,2)\cdot(10,-32,-23) = 10 - 32k - 46 = -36 - 32k$, yang saling meniadakan dengan determinan untuk menghasilkan $1$ ✓.

• Definisikan $\cosh, \sinh, \tanh$ dari eksponensial; turunkan identitas inti; selesaikan persamaan campuran melalui kuadrat $e^x$ dengan jawaban $\ln$ yang eksak.
• Turunkan bentuk log $\operatorname{arsinh}, \operatorname{arcosh}, \operatorname{artanh}$; turunkan invers dengan mematuhi domain.
• Gunakan parametrik elips dan hiperbola; konversi antara $b^2 = a^2(1-e^2)$ dan $a^2(e^2-1)$; tentukan titik fokus dan direktrix; temukan garis singgung/normal pada titik parametrik dan melalui kondisi $y = mx + c$ $c^2 = a^2m^2 \pm b^2$.
• Diferensiasikan dan integralkan fungsi hiperbolik dan invers, termasuk dengan bagian untuk pengintegrand tipe $\int\operatorname{arcosh}$.
• Kenali empat integral standar surd/rasional; bangun rumus reduksi dengan bagian dan iterasi; hitung panjang busur dan luas permukaan berputar secara eksak.
• Hitung $\mathbf a\times\mathbf b$ dan $\mathbf a\cdot(\mathbf b\times\mathbf c)$ dengan makna luas dan volumenya; berpindah antara bentuk bidang dan garis; temukan jarak titik-ke-bidang dan garis miring.
• Evaluasi determinant $3\times3$, balik via adjugat, tangani kasus singular, temukan nilai/model vektor eigen (dinormalisasi jika diminta) dan diagonalisasikan matriks simetris dengan orthogonal $\mathbf P$.