Fungsi hiperbolik dan hubungan invers
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| hyperbolic cosine/ˌhaɪpəˈbɒlɪk ˈkəʊsaɪn/ | Kosinus hiperbolik |
Bagaimana pertumbuhan dan peluruhan dapat membentuk kurva simetris?
- Kabel gantung memiliki profil lengkung yang terkait dengan fungsi eksponensial. Fungsi hiperbolik menggabungkan pertumbuhan dan peluruhan secara simetris.
- Pelajaran ini mempelajari kosinus hiperbolik: Fungsi cosh x=(e^x+e^(-x))/2.
Pilih struktur matematika
- Definisikan sinh x=(e^x-e^(-x))/2 dan cosh x=(e^x+e^(-x))/2. Identitas mereka adalah cosh²x-sinh²x=1. Turunannya adalah sinh' = cosh dan cosh' = sinh.
- Nyatakan input yang diperbolehkan dan satuan sebelum menghitung. Persamaan harus mengekspresikan hubungan, bukan sekadar mencatat entri kalkulator.
Identitas mana yang dipenuhi oleh fungsi hiperbolik?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Langsung dari definisi: (eˣ+e⁻ˣ)²/4 - (eˣ-e⁻ˣ)²/4 = 1. Tanda MINUS memisahkannya dari identitas trigonometri cos²+sin²=1.
Kerjakan kasus yang dicek
- Periksa hasilnya terhadap besaran awal. Substitusikan ke dalam hubungan asli, atau bandingkan grafik dan jawaban numerik jika sesuai.
Pada x=ln2, e^x=2 dan e^(-x)=1/2. Oleh karena itu cosh x=1.25 dan sinh x=0.75. Selisih kuadratnya adalah 1.5625-0.5625=1. Untuk membalikkan y=sinh x, selesaikan persamaan kuadrat dalam e^x dan pilih akar positifnya.
Fungsi hiperbolik dan hubungan invers
Definisikan sinh x=(e^x-e^(-x))/2 dan cosh x=(e^x+e^(-x))/2
Bandingkan model dengan kasus yang diselesaikan dan jelaskan satu perubahan.
Temukan cosh(ln2).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
e^(ln2)=2 dan e^(-ln2)=1/2. Setengah jumlah mereka adalah 1.25.
Uji jalan pintas yang menggoda
- Identitas hiperbolik memiliki tanda minus. cosh bukan fungsi satu-satu pada seluruh input real; invers umumnya menggunakan x≥0. Identitas trigonometri lingkaran biasa tidak dapat disubstitusikan tanpa perubahan.
- Ketika jalan pintas gagal, identifikasi asumsi yang dilanggar. Pertahankan nilai eksak hingga pembulatan akhir yang diminta.
Identitas untuk fungsi hiperbolik adalah cosh²x+sinh²x=1. Klaim ini salah. Jelaskan definisi atau asumsi mana yang dilanggar.
Temukan sinh(ln2).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Setengah selisihnya adalah (2-1/2)/2=0.75.
Identitas untuk fungsi hiperbolik adalah cosh²x+sinh²x=1.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Identitas hiperbolik memiliki tanda minus. cosh bukan fungsi satu-satu pada seluruh input real; inversnya yang biasa menggunakan x≥0. Identitas trigonometri lingkaran biasa tidak dapat disubstitusikan tanpa perubahan.
Interpretasikan situasi baru
- Gunakan definisi eksponensial untuk membuktikan identitas dan menyelesaikan persamaan. Nyatakan batasan domain untuk fungsi invers sebelum menurunkan atau mengintegrasikannya.
- Solusi lengkap memberikan hasil matematis dan menjelaskan maknanya. Periksa apakah hal itu mungkin dalam konteks yang dinyatakan.
Temukan cosh²(ln2)-sinh²(ln2).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
1.25²-0.75²=1, sesuai dengan identitas hiperbolik.
Cocokkan setiap fungsi hiperbolik dengan bentuk eksponensialnya.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Cosh adalah bagian genap dan sinh adalah bagian ganjil dari eˣ; turunan mereka saling menukar, meniru—tetapi tidak menyalin—sine dan kosinus.
Gunakan ini dalam kursus anda
- edexcel IAL matematika lanjutan; unit resmi FP3. Pengayaan unit lain diidentifikasi dalam tinjauan cakupan; itu bukan persyaratan tambahan.
- Berikan metodenya sebelum jawaban akhir, dan gunakan aturan kalkulator serta rumus pada kertas ujian. Tinjau jawaban yang salah dengan menemukan langkah pertama yang tidak valid.
Fungsi cosh x=(e^x+e^(-x))/2. Pilih hubungannya, tunjukkan metodenya, periksa asumsinya, dan interpretasikan hasilnya.