M1 · Mechanics 1

Mekanika 1 (M1, kertas WME01/01, 1 jam 30 menit, 75 soal, penilaian pertama Juni 2019) adalah unit terapan Matematika AS Internasional: P1 dan P2 diasumsikan. Ambil $g = 9.8\ \mathrm{m\,s^{-2}}$ kecuali diperintahkan lain, dan berikan jawaban tidak eksak hingga 2 atau 3 angka penting. Referensi ini mencakup asumsi pemodelan, vektor dalam mekanika, kinematika percepatan konstan, hukum Newton dengan partikel terhubung, momentum dan impuls, gesekan, statika, dan momen.

Wajib tahu untuk M1 (tidak ada di buku rumus — hafal):

Kata-kata dalam soal adalah instruksi. Partikel memiliki massa tetapi tidak berdimensi; sebuah lempengan memiliki luas tetapi tidak tebal; sebuah batang memiliki panjang tetapi tidak tebal; sebuah benda kaku mempertahankan bentuknya. Cahaya berarti tanpa massa; tali ringan yang tidak memuat beban di atas katrol halus memiliki tegangan yang sama di seluruh bagian. Seragam berarti kerapatan konstan, sehingga batang seragam memiliki pusat massanya di tengah-tengahnya. Tali yang tidak dapat meregang mempertahankan panjangnya tetap; tali yang direntangkan di atas satu katrol tetap menghubungkan besaran kecepatan ujung-ujungnya, dan permukaan halus versus permukaan kasar menentukan apakah gesekan bekerja. Katrol licin ringan mengubah arah tegangan, bukan besarnya. Nyatakan asumsi yang Anda gunakan — "licin, sehingga tidak ada gesekan" — karena poin diberikan pada pemodelan sebanyak poin pada aljabar.

Perpindahan, kecepatan, percepatan, dan gaya adalah vektor: $(3\mathbf i - 4\mathbf j)$ memiliki besar $5$ dan arah $\tan^{-1}(-4/3)$ dari sumbu $x$ positif. Resolusi menjadi komponen, kerjakan per komponen, dan gabungkan di akhir. Resultan dari $\begin{pmatrix}a_1\\b_1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}a_2\\b_2\end{pmatrix}$ adalah $\begin{pmatrix}a_1+a_2\\b_1+b_2\end{pmatrix}$. Dengan $\mathbf i$ ke timur dan $\mathbf j$ ke utara, sebuah Azimut diukur searah jarum jam dari utara: vektor $-5\mathbf i - 12\mathbf j$ mengarah ke selatan-barat, pada sudut $\tan^{-1}(5/12) = 22.6°$ dari selatan tepat ke arah barat, sehingga azimutnya adalah $180 + 23 = 203°$.

Contoh Terpecahkan — Vektor Posisi dan Azimut (WME01 Juni 2025 Q2). Partikel A memiliki $\mathbf r_A(2) = (-5\mathbf i + 16\mathbf j)$ dan $\mathbf r_A(5) = (10\mathbf i + 4\mathbf j)$. Kecepatan $= \dfrac{\Delta\mathbf r}{\Delta t} = \dfrac{15\mathbf i - 12\mathbf j}3 = 5\mathbf i - 4\mathbf j$, sehingga $\mathbf r_A(t) = (-5\mathbf i + 16\mathbf j) + (t-2)(5\mathbf i - 4\mathbf j) = (5t-15)\mathbf i + (24-4t)\mathbf j$. With B at $\mathbf s_B = -5\mathbf i + 7\mathbf j + t(2\mathbf i - 3\mathbf j)$, at $t = 5$: $\overrightarrow{AB} = (5\mathbf i - 8\mathbf j) - (10\mathbf i + 4\mathbf j) = -5\mathbf i - 12\mathbf j$, bearing $203°$.

Percepatan konstan berarti rumus suvat berlaku sekali per fase; disiplin utamanya adalah tanda. Tentukan positif, tuliskan $s, u, v, a, t$ dengan tanda untuk setiap fase, dan pilih rumus yang menghindari variabel tak diketahui yang tidak diinginkan. Grafik: pada grafik kecepatan–waktu, kemiringan adalah percepatan dan luas adalah perpindahan (luas di bawah sumbu dihitung negatif); grafik laju–waktu tidak dapat bernilai negatif, sehingga gerakan naik kemudian turun tampak sebagai huruf V.

Contoh Terpecahkan — naik dan turun (WME01 Juni 2025 Q3). Sebuah bola dilempar vertikal ke atas dari A, 12 m di atas tanah di B, dan membutuhkan waktu 4 detik untuk mencapai B. Mengambil arah naik sebagai positif dengan $A$ sebagai titik asal, $s = -12$: $-12 = 4U - 4.9(16)$, sehingga $U = 16.6\ \mathrm{m\,s^{-1}}$ (2 t.f. 17). Kelajuan di tanah: $v^2 = 16.6^2 + 2(9.8)(12) = 510.8$, sehingga $v = 22.6\ \mathrm{m\,s^{-1}}$. Grafik laju–waktu berbentuk V: menurun dari 16.6 hingga nol di bagian atas (setelah $16.6/9.8 = 1.7$ s), kemudian naik menjadi 22.6 pada $t = 4$ — kaki menurun lebih panjang dan mencapai kecepatan lebih tinggi; kedua kaki memiliki gradien sebesar $g$.

Hukum kedua Newton, diterapkan sepanjang satu garis: $F_{\text{net}} = ma$ untuk setiap gaya diresolusikan dan bertanda. Untuk dua partikel terhubung pada tali ringan tak lentur, tuliskan persamaan gerak untuk SETIAP benda (tegangan sama, besar kecepatan sama), lalu hilangkan $T$. Pada bidang miring, resolusikan sejajar dan tegak lurus lereng; $\tan\theta = 3/4$ berarti $\sin\theta = 3/5$, $\cos\theta = 4/5$.

Contoh terpecahkan — dua tali pada perahu kargo (WME01 Juni 2025 Q4). Gaya 800 N pada $25°$ di atas garis gerak dan 500 N pada sudut $\alpha$ di bawahnya menarik perahu kargo lurus sepanjang kanal. Tegak lurus terhadap gerak tidak ada percepatan: $800\sin25° = 500\sin\alpha$, sehingga $\sin\alpha = 0.676$ dan $\alpha = 43°$. Sepanjang arah gerak, dengan massa 15000 kg dan hambatan 750 N: $800\cos25° + 500\cos\alpha - 750 = 15000a$, menghasilkan $a = 0.023\ \mathrm{m\,s^{-2}}$ — jawaban tiga desimal diharapkan ketika angkanya sekecil ini.

Contoh terpecahkan — katrol, mulai hingga selesai (WME01 Juni 2025 Q8). Bola P (massa $kM$) dan Q (massa $3M$, $k < 3$) menggantung di atas katrol tetap ringan licin dan mengalami percepatan $\tfrac g5$. Persamaan gerak: $T - kMg = kM\cdot\tfrac g5$ (P naik) dan $3Mg - T = 3M\cdot\tfrac g5$ (Q turun). Menghilangkan $T$: $3Mg - kMg = \tfrac{g}5(3M + kM)$, sehingga $5(3-k) = 3+k$ dan $k = 2$. Tali menarik katrol ke bawah dengan $2T$: dengan $M = 0.5$ kg, $T = 1(9.8 + 1.96) = 11.76$ N, sehingga gayanya adalah $23.5$ N. Ketika Q mendarat setelah jatuh 2.5 m, kecepatannya adalah $\sqrt{2\cdot\frac g5\cdot2.5} = \sqrt{g} = 3.13$; jika ia pantulan pada $0.4\ \mathrm{m\,s^{-1}}$, impuls pada Q adalah $1.5(3.13 + 0.4) = 5.3$ N s. P kemudian meluncur ke atas melawan gravitasi saja selama $\tfrac{\sqrt g}g = 0.32$ s setelah fase penurunan $5/\sqrt g = 1.60$ s: total waktu hingga berhenti $\approx 1.9$ s.

Momentum $mv$ dan impuls $I = mv - mu$ memiliki tanda sepanjang garis. Hukum ketiga Newton membuat impuls yang diberikan pada masing-masing dari dua benda yang bertumbukan sama besar dan berlawanan arah — gunakan salah satu darinya, bukan keduanya. Untuk tumbukan langsung, kekekalan momentum gunakan salah satu darinya, bukan keduanya. Untuk tabrakan langsung, kekekalan momentum $m_1u_1 + m_2u_2 = m_1v_1 + m_2v_2$ memerlukan tanda yang konsisten; restitusi TIDAK ada di M1.

Contoh terpecahkan — impuls pada kedua benda (WME01 Juni 2025 Q1). P (massa $km$, kelajuan $5u$) menangkap Q (massa $3m$, kelajuan $2u$); setelahnya P masih bergerak maju pada $2u$ dan Q pada $v$. Impuls pada Q adalah $4.5mu$: $3m(v - 2u) = 4.5mu$, sehingga $v = 3.5u$. Impuls pada P sama besar dan berlawanan: $km(5u - 2u) = 4.5mu$, sehingga $k = 1.5$.

(tegak lurus) dan gesekan $R$ (sejajar, melawan gerakan atau kecenderungannya). Saat bergerak: (tegak lurus) dan gesekan $F$ (searah, melawan gerak atau kecenderungannya). Bergerak: $F = \mu R$ dengan $\mu$ koefisien gesekan. Dalam kesetimbangan $F \le \mu R$, dengan kesamaan pada kesetimbangan batas — frasa "akan segera bergerak" mengizinkan $F = \mu R$.

Contoh terpecahkan — paket pada bidang miring kasar (WME01 Juni 2025 Q6). Dengan $\tan\theta = \tfrac34$ dan $\mu = \tfrac14$: tegak lurus, $R = mg\cos\theta = \tfrac45mg$; searah (naik positif, melambat): $-mg\sin\theta - \tfrac14R = ma$, sehingga $a = -g(\tfrac35 + \tfrac15) = -\tfrac45g$ — percepatan negatifnya $\tfrac45g$, dan jawabannya harus tetap sebagai pecahan eksak dari $g$. Diikat diam di bidang miring oleh gaya $X$ ke atas bidang (massa 2 kg): $X + \tfrac14(2g\cdot\tfrac45) = 2g\cdot\tfrac35$, sehingga $X = \tfrac45g = 7.84$ N.

Sebuah partikel berada dalam keseimbangan ketika resultan gayanya nol: uraikan dalam dua arah yang saling tegak lurus dan samakan kedua totalnya dengan nol, atau gambar segitiga vektor tertutup. Berat $mg$ ke bawah, reaksi normal tegak lurus terhadap permukaan, tegangan sepanjang tali menjauhi benda (tekanan sepanjang batang mendorong), gesekan sepanjang permukaan melawan selip. Di tanah kasar dalam keadaan diam, $F$ adalah apa pun yang menutup poligon, dibatasi oleh $\mu R$.

Contoh Soal — Gaya dalam Keseimbangan (Asli). Sebuah partikel bermassa 50 N tergantung pada dua tali ringan dengan sudut $40°$ dan $60°$ terhadap vertikal. Uraian horizontal: $T_1\sin40° = T_2\sin60°$; vertikal: $T_1\cos40° + T_2\cos60° = 50$. Dari persamaan pertama, $T_2 = 0.742T_1$; kemudian $T_1(0.766 + 0.371) = 50$, sehingga $T_1 = 44$ N dan $T_2 = 33$ N (2 s.f.).

Momen gaya terhadap suatu titik adalah gaya × jarak tegak lurus, dengan tanda sesuai arah. Benda kaku dalam keseimbangan memiliki momen resultan nol di SEMUA titik — jadi pilihlah titik tumpu yang menghilangkan paling banyak variabel tak diketahui. "Pada batas miring di sekitar X" berarti reaksi di tempat lain telah turun menjadi nol dan momen dihitung terhadap X.

Contoh terpecahkan — batang di ambang (WME01 Juni 2025 Q5). Batang tidak seragam AB sepanjang $3a$ bersandar pada ambang horizontal dengan tepi di C, $AC = 2a$, pusat massa $d$ dari A. Gaya ke atas $P$ di B memiringkannya tentang A: momen terhadap A menghasilkan $3aP = Wd$. Gaya ke bawah $1.25P$ di B memiringkannya tentang C: $1.25Pa = W(2a - d)$. Substitusikan $P = \tfrac{Wd}{3a}$ (dalam satuan $a$): $1.25\cdot\tfrac d3 = 2 - d$, sehingga $1.25d = 6a - 3d$, memberikan $4.25d = 6a$ dan $d = \tfrac{24a}{17}$. Pelajaran: setiap kasus kemiringan memiliki titik tumpu sendiri, dan hanya momen berat yang tetap tak berubah di antaranya.

• Sebutkan asumsi pemodelan yang berlaku (partikel, batang ringan, tali tak dapat regang, halus/kasar) dan jelaskan manfaat masing-masing.
• Kerjakan vektor posisi dan kecepatan secara komponen; konversi arah menjadi bearing; temukan posisi relatif pada waktu yang sama.
• Selesaikan masalah suvat satu-fase dan multi-fase dengan tanda tetap per fase; baca gradien dan area dari grafik gerak; sketsa kecepatan-waktu V untuk gerak naik-lalu-turun.
• Terapkan $F = ma$ per benda sepanjang garis gerak; tangani partikel terhubung melalui katrol dengan persamaan berpasangan; temukan gaya pada katrol sebagai $2T$.
• Gunakan impuls-kecepatan pada SATU benda dari pasangan tabrakan; konservasi momentum dengan tanda konsisten.
• Pisahkan gaya kontak menjadi $R$ dan $F$; terapkan $F = \mu R$ saat bergerak atau batas; uraikan pada bidang miring menggunakan $\sin\theta = 3/5$, $\cos\theta = 4/5$ untuk $\tan\theta = 3/4$.
• Tutup poligon gaya untuk kesetimbangan dalam dua arah; batasi gesekan statis pada $\mu R$.
• Ambil momen terhadap titik tumpu yang menghilangkan variabel tak diketahui; ganti titik tumpu ketika titik kemiringan berubah.