Fungsi Trigonometri dan Kutub

Tujuan Pembelajaran 3.1.A: Membangun grafik hubungan berkala berdasarkan representasi verbal.

• 3.1.A.1 Hubungan berkala dapat diidentifikasi antara dua aspek konteks jika, seiring bertambahnya nilai input, nilai output menunjukkan pola yang berulang dalam interval-interval berurutan yang memiliki panjang sama.
• 3.1.A.2 Grafik hubungan berkala dapat dibangun dari grafik satu siklus tunggal dari hubungan tersebut.

Tujuan Pembelajaran 3.1.B: Mendeskripsikan karakteristik utama fungsi berkala berdasarkan representasi verbal.

• 3.1.B.1 Periode fungsi adalah nilai positif terkecil $k$ sedemikian rupa sehingga $f(x + k) = f(x)$ untuk semua $x$ dalam domain. Akibatnya, perilaku fungsi berkala sepenuhnya ditentukan oleh interval apa pun yang memiliki lebar $k$.
• 3.1.B.2 Periode dapat diestimasi dengan menyelidiki nilai output berurutan yang memiliki panjang sama dan menemukan di mana pola mulai berulang.
• 3.1.B.3 Fungsi berkala mengambil karakteristik dari fungsi lainnya, seperti interval peningkatan dan penurunan, kelengkungan yang berbeda, dan berbagai tingkat perubahan. Namun, dengan fungsi berkala, semua karakteristik yang ditemukan dalam satu periode fungsi akan ada di setiap periode fungsi.

Tujuan Pembelajaran 3.2.A: Menentukan sinus, kosinus, dan tangen dari suatu sudut menggunakan lingkaran satuan.

• 3.2.A.1 Pada bidang koordinat, suatu sudut berada dalam posisi standar ketika puncaknya berimpit dengan titik asal dan salah satu sinar berimpit dengan sumbu $x$ positif. Sinar lainnya disebut sinar terminal. Ukuran sudut positif dan negatif menunjukkan rotasi dari sumbu $x$ positif ke arah berlawanan jarum jam dan searah jarum jam, masing-masing. Sudut-sudut dalam posisi standar yang berbagi sinar terminal berbeda dengan kelipatan bulat jumlah putaran.
• 3.2.A.2 Ukuran radian dari suatu sudut dalam posisi standar adalah rasio antara panjang busur lingkaran yang berpusat di titik asal yang dibentang oleh sudut tersebut terhadap jari-jari lingkaran itu sendiri. Untuk lingkaran satuan, yang memiliki jari-jari $1$, ukuran radian sama dengan panjang busur yang dibentang.
• 3.2.A.3 Diberikan sudut dalam posisi standar dan lingkaran yang berpusat di titik asal, terdapat sebuah titik, $P$, di mana sinar terminal memotong lingkaran. Sinus dari sudut tersebut adalah rasio perpindahan vertikal $P$ dari $x$-axis terhadap jarak antara titik asal dan titik $P$. Oleh karena itu, untuk lingkaran satuan, sinus dari sudut tersebut adalah koordinat $y$ dari titik $P$.
• 3.2.A.4 Diberikan sudut dalam posisi standar dan lingkaran yang berpusat di titik asal, terdapat sebuah titik, $P$, di mana sinar terminal memotong lingkaran. Kosinus dari sudut tersebut adalah rasio perpindahan horizontal $P$ dari $y$-axis terhadap jarak antara titik asal dan titik $P$. Oleh karena itu, untuk lingkaran satuan, kosinus dari sudut tersebut adalah koordinat $x$ dari titik $P$.
• 3.2.A.5 Diberikan sudut dalam posisi standar, tangens dari sudut tersebut adalah kemiringan (slope), jika ada, dari sinar terminal. Karena kemiringan sinar terminal adalah rasio perpindahan vertikal terhadap perpindahan horizontal sepanjang interval apa pun, tangens dari sudut tersebut adalah rasio koordinat $y$ terhadap koordinat $x$ dari titik di mana sinar terminal memotong lingkaran satuan; secara alternatif, ini adalah rasio sinus sudut terhadap kosinusnya.

Tujuan Pembelajaran 3.3.A: Menentukan koordinat titik-titik pada lingkaran yang berpusat di titik asal.

• 3.3.A.1 Diberikan sudut berukuran $\theta$ dalam posisi standar dan lingkaran dengan jari-jari $r$ yang berpusat di titik asal, terdapat sebuah titik, $P$, di mana sinar terminal memotong lingkaran. Koordinat dari titik $P$ adalah $(r\cos\theta, r\sin\theta)$.
• 3.3.A.2 Geometri segitiga siku-siku sama kaki dan segitiga sama sisi, sambil memperhatikan tanda-nilai berdasarkan kuadran dari sudut tersebut, dapat digunakan untuk menemukan nilai eksak dari kosinus dan sinus dari sudut-sudut yang merupakan kelipatan dari $\dfrac{\pi}{4}$ dan $\dfrac{\pi}{6}$ radian serta sinar terminalnya tidak terletak pada sumbu.

Tujuan Pembelajaran 3.4.A: Membangun representasi fungsi sinus dan kosinus menggunakan lingkaran satuan.

• 3.4.A.1 Diberikan sudut berukuran $\theta$ dalam posisi standar dan lingkaran satuan yang berpusat di titik asal, terdapat sebuah titik, $P$, di mana sinar terminal memotong lingkaran. Fungsi sinus, $f(\theta) = \sin\theta$, memberikan koordinat $y$, atau perpindahan vertikal dari $x$-axis, dari titik $P$. Domain dari fungsi sinus adalah semua bilangan real.
• 3.4.A.2 Seiring dengan meningkatnya nilai input, atau ukuran sudut, dari fungsi sinus, nilai output berosilasi antara $-1$ dan $1$, melewati setiap nilai di antaranya, dan melacak jarak vertikal titik-titik pada lingkaran satuan dari sumbu $x$.
• 3.4.A.3 Diberikan sudut berukuran $\theta$ dalam posisi standar dan lingkaran satuan berpusat di titik asal, terdapat titik, $P$, di mana sinar terminal memotong lingkaran. Fungsi kosinus, $f(\theta) = \cos\theta$, memberikan koordinat-$x$, atau perpindahan horizontal dari sumbu-$y$, dari titik $P$. Domain fungsi kosinus mencakup semua bilangan real.
• 3.4.A.4 Seiring dengan meningkatnya nilai input, atau ukuran sudut, dari fungsi kosinus, nilai output berosilasi antara $-1$ dan $1$, melewati setiap nilai di antaranya, dan melacak jarak horizontal titik-titik pada lingkaran satuan dari sumbu $y$.

Tujuan Pembelajaran 3.5.A: Mengidentifikasi karakteristik utama fungsi sinus dan kosinus.

• 3.5.A.1 Fungsi sinusoidal adalah fungsi apa pun yang melibatkan transformasi aditif dan perkalian dari $f(\theta) = \sin\theta$. Fungsi sinus dan kosinus keduanya merupakan fungsi sinusoidal, dengan $\cos\theta = \sin\left(\theta + \dfrac{\pi}{2}\right)$.
• 3.5.A.2 Periode dan frekuensi dari suatu fungsi sinusoidal saling berkebalikan. Periode dari $f(\theta) = \sin\theta$ dan $g(\theta) = \cos\theta$ adalah $2\pi$, dan frekuensinya adalah $\dfrac{1}{2\pi}$.
• 3.5.A.3 Amplitudo dari suatu fungsi sinusoidal adalah setengah dari selisih antara nilai maksimum dan minimumnya. Amplitudo dari $f(\theta) = \sin\theta$ dan $g(\theta) = \cos\theta$ adalah $1$.
• 3.5.A.4 Garis tengah (midline) dari grafik fungsi sinusoidal ditentukan oleh rata-rata, atau mean aritmatika, dari nilai maksimum dan minimum fungsi tersebut. Garis tengah dari grafik $y = \sin\theta$ dan $y = \cos\theta$ adalah $y = 0$.
• 3.5.A.5 Seiring dengan meningkatnya nilai input, grafik fungsi sinusoidal berosilasi antara cekung ke bawah dan cekung ke atas.
• 3.5.A.6 Grafik $y = \sin\theta$ memiliki simetri rotasi terhadap titik asal sehingga merupakan fungsi ganjil. Grafik $y = \cos\theta$ memiliki simetri refleksi terhadap sumbu $y$ sehingga merupakan fungsi genap.

Tujuan Pembelajaran 3.6.A: Mengidentifikasi amplitudo, pergeseran vertikal, periode, dan pergeseran fase dari suatu fungsi sinusoidal.

• 3.6.A.1 Fungsi yang dapat ditulis dalam bentuk $f(\theta) = a\sin(b(\theta + c)) + d$ atau $g(\theta) = a\cos(b(\theta + c)) + d$, di mana $a, b, c,$ dan $d$ adalah bilangan real dan $a \neq 0$, adalah fungsi sinusoidal dan merupakan transformasi dari fungsi sinus dan kosinus. Transformasi aditif dan perkalian sama untuk kedua fungsi sinus dan kosinus karena fungsi kosinus adalah pergeseran fase dari fungsi sinus sebesar $-\dfrac{\pi}{2}$ unit.
• 3.6.A.2 Grafik dari transformasi aditif $g(\theta) = \sin\theta + d$ dari fungsi sinus $f(\theta) = \sin\theta$ adalah translasi vertikal dari grafik $f$, termasuk garis tengahnya, sebanyak $d$ unit. Transformasi yang sama pada fungsi kosinus menghasilkan hasil yang sama.
• 3.6.A.3 Grafik dari transformasi aditif $g(\theta) = \sin(\theta + c)$ dari fungsi sinus $f(\theta) = \sin\theta$ adalah translasi horizontal, atau pergeseran fase, dari grafik $f$ sebanyak $-c$ unit. Transformasi yang sama pada fungsi kosinus menghasilkan hasil yang sama.
• 3.6.A.4 Grafik dari transformasi perkalian $g(\theta) = a\sin\theta$ dari fungsi sinus $f(\theta) = \sin\theta$ adalah dilatasi vertikal dari grafik $f$ dan berbeda dalam amplitudo dengan faktor $|a|$. Transformasi yang sama pada fungsi kosinus menghasilkan hasil yang sama.
• 3.6.A.5 Grafik dari transformasi perkalian $g(\theta) = \sin(b\theta)$ dari fungsi sinus $f(\theta) = \sin\theta$ adalah dilatasi horizontal dari grafik $f$ dan berbeda dalam periode dengan faktor $\left|\dfrac{1}{b}\right|$. Transformasi yang sama pada fungsi kosinus menghasilkan hasil yang sama.
• 3.6.A.6 Grafik $y = f(\theta) = a\sin(b(\theta + c)) + d$ memiliki amplitudo $|a|$ unit, periode $\left|\dfrac{1}{b}\right|2\pi$ unit, pergeseran vertikal garis tengah $d$ unit dari $y = 0$, dan pergeseran fase $-c$ unit. Transformasi yang sama pada fungsi kosinus menghasilkan hasil yang sama.

Tujuan Pembelajaran 3.7.A: Membangun model fungsi sinusoidal untuk fenomena periodik.

• 3.7.A.1 Interval terkecil dari nilai input di mana nilai output maksimum atau minimum mulai berulang, yaitu interval nilai input antara dua nilai maksimum berturut-turut atau dua nilai minimum berturut-turut, dapat digunakan untuk menentukan atau memperkirakan periode dan frekuensi untuk model fungsi sinusoidal.
• 3.7.A.2 Nilai output maksimum dan minimum dapat digunakan untuk menentukan atau memperkirakan amplitudo dan pergeseran vertikal untuk model fungsi sinusoidal.
• 3.7.A.3 Sepasang nilai input-output aktual dapat dibandingkan dengan pasangan nilai input-output yang dihasilkan oleh model fungsi sinusoidal untuk menentukan atau memperkirakan pergeseran fase untuk model tersebut.
• 3.7.A.4 Model fungsi sinusoidal dapat dibangun untuk himpunan data menggunakan teknologi dengan memperkirakan nilai-nilai kunci atau menggunakan regresi sinusoidal.
• 3.7.A.5 Fungsi sinusoidal yang memodelkan suatu himpunan data sering kali hanya berguna dalam domain konteksnya dan dapat digunakan untuk memprediksi nilai variabel terikat dari nilai variabel bebas.

Tujuan Pembelajaran 3.8.A: Membangun representasi fungsi tangen menggunakan lingkaran satuan.

• 3.8.A.1 Diberikan sudut berukuran $\theta$ dalam posisi standar dan lingkaran satuan yang berpusat di titik asal, terdapat sebuah titik, $P$, di mana sinar terminal memotong lingkaran tersebut. Fungsi tangen, $f(\theta) = \tan\theta$, memberikan kemiringan (slope) dari sinar terminal.
• 3.8.A.2 Karena kemiringan sinar terminal adalah rasio perubahan nilai $y$ terhadap perubahan nilai $x$ di antara dua titik mana pun pada sinar tersebut, fungsi tangen juga merupakan rasio dari fungsi sinus terhadap fungsi kosinus. Oleh karena itu, $\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$, di mana $\cos\theta \neq 0$.

Tujuan Pembelajaran 3.8.B: Jelaskan karakteristik utama dari fungsi tangen.

• 3.8.B.1 Karena nilai kemiringan sinar terminal berulang setiap setengah putaran lingkaran, fungsi tangen memiliki periode $\pi$.
• 3.8.B.2 Fungsi tangen menunjukkan perilaku asimtotik periodik pada nilai input $\theta = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$, untuk nilai bilangan bulat $k$, karena $\cos\theta = 0$ pada nilai-nilai tersebut.
• 3.8.B.3 Fungsi tangen meningkat dan grafiknya berubah dari cekung ke bawah menjadi cekung ke atas di antara asimtot yang berurutan.

Tujuan Pembelajaran 3.9.A: Susun representasi analitis dan grafis dari invers dari fungsi sinus, kosinus, dan tangen dalam domain terbatas.

• 3.9.A.1 Untuk fungsi trigonometri invers, nilai input dan output dibalik dari fungsi trigonometri yang bersesuaian, sehingga nilai output dari fungsi trigonometri invers sering ditafsirkan sebagai ukuran sudut dan inputnya adalah nilai dalam rentang fungsi trigonometri yang bersesuaian.
• 3.9.A.2 Fungsi trigonometri invers disebut arcsine, arccosine, dan arctangent (juga direpresentasikan sebagai $\sin^{-1}x, \cos^{-1}x,$ dan $\tan^{-1}x$). Karena fungsi trigonometri yang bersesuaian bersifat periodik, mereka hanya dapat dibalik jika memiliki domain terbatas.
• 3.9.A.3 Agar fungsi invers masing-masing dapat didefinisikan, domain fungsi sinus dibatasi hingga $\left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]$, fungsi kosinus hingga $[0, \pi]$, dan fungsi tangen hingga $\left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right)$.

Tujuan Pembelajaran 3.10.A: Menyelesaikan persamaan dan ketaksamaan yang melibatkan fungsi trigonometri.

• 3.10.A.1 Fungsi trigonometri invers berguna dalam menyelesaikan persamaan dan ketaksamaan yang melibatkan fungsi trigonometri, namun solusi mungkin perlu dimodifikasi karena pembatasan domain.
• 3.10.A.2 Karena fungsi trigonometri bersifat berkala, sering kali terdapat tak hingga banyak solusi untuk persamaan trigonometri.
• 3.10.A.3 Dalam persamaan dan ketaksamaan trigonometri yang muncul dari skenario kontekstual, sering kali terdapat pembatasan domain yang dapat tersirat dari konteks, yang membatasi jumlah solusi.

Tujuan Pembelajaran 3.11.A: Mengidentifikasi karakteristik utama fungsi yang melibatkan hasil bagi fungsi sinus dan kosinus.

• 3.11.A.1 Fungsi secan, $f(\theta) = \sec\theta$, adalah kebalikan dari fungsi kosinus, di mana $\cos\theta \neq 0$.
• 3.11.A.2 Fungsi kosecan, $f(\theta) = \csc\theta$, adalah kebalikan dari fungsi sinus, di mana $\sin\theta \neq 0$.
• 3.11.A.3 Grafik fungsi secan dan kosecan memiliki asimtot vertikal di mana cosinus dan sinus bernilai nol, masing-masing, dan memiliki rentang $(-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.
• 3.11.A.4 Fungsi kotangen, $f(\theta) = \cot\theta$, adalah kebalikan dari fungsi tangen, di mana $\tan\theta \neq 0$. Setara dengan, $\cot\theta = \dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}$, di mana $\sin\theta \neq 0$.
• 3.11.A.5 Grafik fungsi kotangen memiliki asimtot vertikal untuk nilai domain di mana $\tan\theta = 0$ dan menurun di antara asimtot berturutan.

Tujuan Pembelajaran 3.12.A: Menulis ulang ekspresi trigonometri dalam bentuk ekuivalen dengan identitas Pythagoras.

• 3.12.A.1 Teorema Pythagoras dapat diterapkan pada segitiga siku-siku dengan titik-titik pada lingkaran satuan pada koordinat $(\cos\theta, \sin\theta)$, menghasilkan identitas Pythagoras: $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$.
• 3.12.A.2 Identitas Pythagoras dapat dimanipulasi secara aljabar menjadi bentuk lain yang melibatkan fungsi trigonometri, seperti $\tan^2\theta = \sec^2\theta - 1$, dan dapat digunakan untuk menetapkan hubungan trigonometri lainnya, seperti $\arcsin x = \arccos\left(\sqrt{1 - x^2}\right)$, dengan pembatasan domain yang sesuai.

Tujuan Pembelajaran 3.12.B: Menulis ulang ekspresi trigonometri dalam bentuk ekuivalen dengan identitas penjumlahan sinus dan kosinus.

• 3.12.B.1 Identitas penjumlahan untuk sinus adalah $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$.
• 3.12.B.2 Identitas penjumlahan untuk kosinus adalah $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$.
• 3.12.B.3 Identitas penjumlahan untuk sinus dan kosinus juga dapat digunakan sebagai identitas selisih dan sudut ganda.
• 3.12.B.4 Sifat-sifat fungsi trigonometri, identitas trigonometri yang telah diketahui, dan sifat aljabar lainnya dapat digunakan untuk memverifikasi identitas trigonometri tambahan.

Tujuan Pembelajaran 3.12.C: Menyelesaikan persamaan menggunakan representasi analitik ekuivalen dari fungsi trigonometri.

• 3.12.C.1 Bentuk ekuivalen tertentu yang melibatkan ekspresi trigonometri dapat membuat informasi lebih mudah diakses.
• 3.12.C.2 Bentuk trigonometri ekuivalen mungkin berguna dalam menyelesaikan persamaan dan ketaksamaan trigonometri.

Tujuan Pembelajaran 3.13.A: Menentukan lokasi suatu titik dalam bidang menggunakan koordinat persegi panjang dan polar.

• 3.13.A.1 Sistem koordinat polar didasarkan pada grid lingkaran yang berpusat di titik asal dan garis-garis melalui titik asal. Koordinat polar didefinisikan sebagai pasangan terurut, $(r, \theta)$, sedemikian rupa sehingga $|r|$ merepresentasikan jari-jari lingkaran tempat titik tersebut terletak, dan $\theta$ merepresentasikan ukuran sudut dalam posisi standar yang sinar terminalnya mencakup titik tersebut. Dalam sistem koordinat polar, titik yang sama dapat direpresentasikan dengan banyak cara.
• 3.13.A.2 Koordinat suatu titik dalam sistem koordinat polar, $(r, \theta)$, dapat dikonversi ke koordinat dalam sistem koordinat persegi panjang, $(x, y)$, menggunakan $x = r\cos\theta$ dan $y = r\sin\theta$.
• 3.13.A.3 Koordinat suatu titik dalam sistem koordinat persegi panjang, $(x, y)$, dapat dikonversi ke koordinat dalam sistem koordinat polar, $(r, \theta)$, menggunakan $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ dan $\theta = \arctan\left(\dfrac{y}{x}\right)$ untuk $x > 0$ atau $\theta = \arctan\left(\dfrac{y}{x}\right) + \pi$ untuk $x < 0$.
• 3.13.A.4 Bilangan kompleks dapat dipahami sebagai titik pada bidang kompleks dan dapat ditentukan oleh koordinat persegi panjang atau polar yang sesuai. Ketika bilangan kompleks memiliki koordinat persegi panjang $(a, b)$, bilangan tersebut dapat dinyatakan sebagai $a + bi$. Ketika bilangan kompleks memiliki koordinat polar $(r, \theta)$, bilangan tersebut dapat dinyatakan sebagai $(r\cos\theta) + i(r\sin\theta)$.

Tujuan Pembelajaran 3.14.A: Membangun grafik fungsi polar.

• 3.14.A.1 Grafik dari fungsi $r = f(\theta)$ dalam koordinat polar terdiri dari pasangan nilai input-output di mana nilai input adalah ukuran sudut dan nilai output adalah jari-jari.
• 3.14.A.2 Domain dari fungsi polar $r = f(\theta)$, yang ditunjukkan secara grafis, dapat dibatasi pada bagian tertentu yang diinginkan dengan memilih titik ujung yang sesuai dengan sudut dan jari-jari yang diinginkan.
• 3.14.A.3 Saat menggambar fungsi polar dalam bentuk $r = f(\theta)$, perubahan nilai input sesuai dengan perubahan ukuran sudut dari sumbu $x$ positif, dan perubahan nilai output sesuai dengan perubahan jarak dari titik asal.

Tujuan Pembelajaran 3.15.A: Mendeskripsikan karakteristik grafik dari fungsi polar.

• 3.15.A.1 Jika fungsi polar, $r = f(\theta)$, bernilai positif dan meningkat atau bernilai negatif dan menurun, maka jarak antara $f(\theta)$ dan titik asal bertambah.
• 3.15.A.2 Jika suatu fungsi polar, $r = f(\theta)$, bernilai positif dan menurun atau negatif dan meningkat, maka jarak antara $f(\theta)$ dan titik asal berkurang.
• 3.15.A.3 Untuk suatu fungsi polar, $r = f(\theta)$, jika fungsi berubah dari meningkat menjadi menurun atau menurun menjadi meningkat pada suatu interval, maka fungsi tersebut memiliki ekstrem relatif pada interval yang sesuai dengan titik yang relatif paling dekat atau paling jauh dari titik asal.
• 3.15.A.4 Laju perubahan rata-rata dari $r$ terhadap $\theta$ sepanjang interval $\theta$ adalah rasio perubahan nilai jari-jari terhadap perubahan $\theta$ selama interval $\theta$. Secara grafis, laju perubahan rata-rata menunjukkan laju perubahan jari-jari per radian.
• 3.15.A.5 Laju perubahan rata-rata dari $r$ terhadap $\theta$ sepanjang interval $\theta$ dapat digunakan untuk memperkirakan nilai fungsi di dalam interval tersebut.