Cakupan dan prasyarat
Kerangka kerja ACT, revisi Februari 2026. Kasus-kasus kelas di sini bukan format ACT resmi.
- Bedakan bilangan rasional dan irasional tanpa mengasumsikan jumlah mereka mempertahankan jenis
- Terapkan aturan eksponen dan radical pada domain yang diizinkan
- Hitung dengan bilangan kompleks menggunakan i²=-1 dan konjugat
Prasyarat: Hukum distributif; akar utama; $i^2=-1$.
Jelaskan dan pilih metode
Bilangan rasional adalah rasio bilangan bulat dengan penyebut tak nol; desimal berhenti atau berulang adalah rasional. Bilangan real irasional bukanlah rasio seperti itu. Penutupan bilangan rasional terhadap penjumlahan dan perkalian tidak berarti penutupan bilangan irasional. Akar eksak dapat disederhanakan: √18=3√2 tetap irasional, sedangkan √16=4 adalah rasional.
Untuk basis positif, a^(m/n) menggabungkan akar ke-n dan pangkat bilangan bulat. Eksponen negatif membentuk resiprokal dan memerlukan basis tak nol. Bedakan √(x²)=|x| dari x. Ketika akar genap terlibat, hormati domain riil dan akar utama nonnegatif. Distribusikan pangkat pada produk, bukan pada jumlah: (a+b)² mencakup suku silang.
Aritmatika kompleks menggunakan i²=-1. Tambahkan bagian real dan bagian imajiner secara terpisah, lalu kalikan dengan distribusi sebelum mengurangi i². Untuk membagi dengan a+bi, kalikan pembilang dan penyebut dengan a-bi; penyebut yang dihasilkan adalah a²+b² ketika aslinya tidak nol. Akar kompleks memungkinkan solusi untuk persamaan seperti x²=-9 yang tidak memiliki akar real.
ACT Enhanced tetap mencakup topik lanjutan tertentu, dan tidak ada lembar rumus yang disediakan. Bangunkan pemahaman terhadap aturan definisi alih-alih menebak dari tampilan kalkulator. Periksa apakah soal meminta solusi real atau kompleks, bentuk akar eksak, atau pendekatan desimal. Pengecekan lokal di sini bersifat formatif, bukan formulir skor resmi.
Konjugasi kompleks mengubah tanda imajiner. $(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2$ untuk real $a,b$. Sehingga $(2+i)/(2-i)=(2+i)^2/5=(3+4i)/5$. Penyebut tidak nol; bedakan nilai eksak dari pendekatan desimalnya.
Contoh terpecahkan. 16^(3/4)=2³=8. (2+3i)(1-2i)=2-4i+3i-6i²=8-i. Untuk (1+i)/(1-i), mengalikan dengan 1+i menghasilkan (1+i)²/2=2i/2=i. Solusi x²+9=0 adalah ±3i; keduanya bukan real.
Bahan latihan
Setiap soal latihan di bawah ini menyatakan semua data yang dibutuhkannya.
Latihan dengan penalaran
Latihan 1
Hitung $(3-2i)/(1+i)$ dalam bentuk $a+bi$.
Penalaran. Kalikan kedua bagian dengan $1-i$. Pembilang adalah $(3-2i)(1-i)=3-5i+2i^2=1-5i$. Penyebut adalah 2. Jawabannya adalah $1/2-(5/2)i$. Mengalikan kembali dengan $1+i$ mengembalikan $3-2i$.
Latihan 2
Evaluasi $32^{2/5}$ dan $\sqrt{(-7)^2}$. Selesaikan $z^2+16=0$ atas bilangan kompleks.
Penalaran. Akar kelima dari 32 adalah 2, sehingga $32^{2/5}=2^2=4$. Akar kuadrat utama adalah $|-7|=7$. Untuk persamaan tersebut, $z^2=-16$ menghasilkan $z=4i,-4i$, keduanya bukan bilangan real.
Latihan 3
Berikan satu contoh yang menunjukkan hasil kali dua bilangan irasional dapat menjadi rasional, dan satu contoh di mana hasilnya tetap irasional.
Penalaran. $\sqrt2\sqrt2=2$ adalah rasional. $\sqrt2\sqrt3=\sqrt6$ adalah irasional. Neither closure nor nonclosure for all products follows from the label irrational alone.
Latihan 4
Klasifikasikan $\sqrt{50}$ dan $\sqrt{50}\sqrt2$ sebagai rasional atau irasional. Evaluasi $32^{2/5}$ dan $2^{-3}$. Gunakan $\sqrt2$ dan $-\sqrt2$ untuk menguji apakah jumlah bilangan irasional harus selalu irasional.
Penalaran. $\sqrt{50}=5\sqrt2$ adalah irasional, sementara $\sqrt{50}\sqrt2=\sqrt{100}=10$ adalah rasional. $32^{2/5}=(\sqrt[5]{32})^2=2^2=4$ dan $2^{-3}=1/2^3=1/8$. Dua bilangan irasional menjumlahkan nol, yang merupakan bilangan rasional; bilangan irasional tidak tertutup terhadap penjumlahan. Hasil kali akar genap ini menggunakan radikan real tak negatif.
Batasan dan penggunaan selanjutnya
Jangan menyimpulkan bahwa dua suku irasional harus memiliki jumlah irasional, mendistribusikan kuadrat atas penjumlahan, atau mengganti √(x²) dengan x ketika x bisa negatif.
Ini adalah tugas latihan orisinal yang ditulis khusus untuk kursus ini, bukan soal ujian resmi.