Cakupan dan prasyarat
Kerangka kerja ACT, revisi Februari 2026. Kasus-kasus kelas di sini bukan format ACT resmi.
- Interpretasikan estimasi populasi dan bukti simulasi tanpa mengklaim pembuktian
- Hitung besaran kondisional, majemuk, dan nilai harapan
- Pilih permutasi atau kombinasi sesuai apakah urutan penting
Prasyarat: Persentase; populasi; pemilihan acak versus penugasan.
Jelaskan dan pilih metode
Sampel acak mendukung inferensi ke populasi sumbernya; batas kesalahan memberikan interval ketidakpastian pengambilan sampel di sekitar estimasi. Penugasan acak sebaliknya mendukung perbandingan perlakuan kausal. Dalam simulasi, hasil yang jarang dihasilkan di bawah sebuah klaim dapat menjadi bukti terhadap klaim tersebut; kegagalan menemukan hasil yang tidak biasa tidak membuktikan klaim tersebut benar.
Probabilitas bersyarat membatasi penyebut pada kelompok pengkondisian. Untuk A atau B, kurangi tumpang tindih mereka setelah menjumlahkan probabilitas terpisah. Kemandalian memungkinkan perkalian probabilitas yang tidak berubah; pengambilan tanpa pengembalian memerlukan perhitungan yang diperbarui. Nilai harapan adalah jumlah dari setiap kemungkinan hasil dikalikan probabilitasnya, bukan necessarily hasil yang tercapai dalam satu percobaan.
Gunakan prinsip perkalian untuk pilihan berturut-turut. Untuk n objek berbeda, memilih r secara berurutan memberikan n!/(n-r)!; memilih himpunan tanpa peringkat memberikan n!/[r!(n-r)!]. Membagi dengan r! menghilangkan pengulangan urutan dari himpunan yang sama. Rumus-rumus ini mengasumsikan objek berbeda dan tanpa pengembalian; kondisi berbeda memerlukan perhitungan yang sesuai.
Terjemahkan peristiwa menjadi jumlah sebelum menghitung probabilitasnya. Jika peristiwa menguntungkan dapat terjadi dalam beberapa cara yang saling lepas, tambahkan cara-cara itu; jika jalur tumpang tindih, hindari penghitungan ganda. Jawaban numerik harus berada antara nol dan satu untuk probabilitas, sedangkan biaya atau skor harapan memiliki unit dari hasilnya.
Margin kesalahan ditambahkan dan dikurangkan dalam poin persentase. Estimasi 63% dengan margin 4 poin memberikan 59%–67%. Ini adalah interval dari suatu prosedur, bukan jaminan bahwa respons setiap orang dekat dengan 63%. Pengambilan sampel acak mendukung inferensi populasi; penugasan acak menangani perbandingan perlakuan.
Contoh terpecahkan. Dari lima siswa, pasangan kapten/wakil berjumlah 5·4=20; pasangan tak berperingkat berjumlah 5·4/2=10. Sebuah permainan memberikan 4 poin dengan probabilitas 1/4 dan 0 sebaliknya, sehingga hadiah yang diharapkan adalah 1 poin per permainan. Estimasi sampel 52% ±3 poin persentase memberikan 49%–55%; ini bukan jaminan tentang setiap sampel atau individu.
Bahan latihan
Setiap soal latihan di bawah ini menyatakan semua data yang dibutuhkannya.
Latihan dengan penalaran
Latihan 1
Enam siswa memilih seorang ketua dan sekretaris yang berbeda. Berapa banyak penugasan? Berapa banyak komite dua orang tanpa peringkat? Jelaskan perbedaannya.
Penalaran. Peran terurut memberikan $6(5)=30$. Pasangan tak berperingkat menghitung setiap pasangan dua kali dalam hasil kali tersebut, sehingga ada $6(5)/2=15$. Menukar orang mengubah peran tetapi tidak komite tak berperingkat.
Latihan 2
Sebuah permainan membayar 12 token dengan probabilitas 0.1, 3 dengan probabilitas 0.4, dan nol sebaliknya. Biaya masuk adalah 2 token. Temukan pembayaran yang diharapkan dan keuntungan bersih yang diharapkan. Apakah pemain menerima jumlah itu setiap saat?
Penalaran. Probabilitas tersisa adalah 0.5. $E(P)=12(0.1)+3(0.4)+0(0.5)=2.4$ token. Rata-rata bersih yang diharapkan adalah $E(G)=E(P)-2=0.4$ token per permainan. Hasil bersih aktual adalah 10,1, -2; tidak ada yang sama dengan 0.4, yang merupakan rata-rata jangka panjang di bawah model tersebut.
Latihan 3
Dua bola diambil tanpa pengembalian dari sebuah tas yang berisi 3 bola merah dan 2 bola biru. Tentukan peluang keduanya merah dan peluang tepat satu merah.
Penalaran. $P(RR)=(3/5)(2/4)=3/10$. Tepat satu merah dapat terjadi sebagai RB atau BR: $P=(3/5)(2/4)+(2/5)(3/4)=3/5$. Penyebut kedua adalah 4; pengambilan bersifat bergantung.
Latihan 4
Sebuah sampel acak dari 500 anggota perpustakaan terdaftar melaporkan 62% dukungan terhadap suatu perubahan, dengan margin yang disebutkan 4 poin persentase. Nyatakan interval dan populasi. Apakah hal ini menunjukkan dukungan di setiap penduduk kota?
Penalaran. Interval adalah $62\%-4\%=58\%$ hingga $62\%+4\%=66\%$, di mana pengurangan menunjukkan poin. Populasi adalah anggota terdaftar dalam kerangka sampling. Non-anggota tidak disampel, sehingga estimasi tidak menetapkan dukungan semua penduduk.
Latihan 5
Empat puluh relawan ditugaskan secara acak ke instruksi lama atau baru, dengan tugas dan kondisi yang sama. Kelompok baru selesai lebih cepat. Klaim kausal dan klaim populasi apa yang masuk akal?
Penalaran. Penugasan acak mendukung perbandingan kausal dari versi instruksi bagi peserta ini di bawah kondisi yang diuji, dengan variasi. Pemilihan sukarela membatasi generalisasi populasi. Ini tidak menetapkan bahwa setiap pengguna masa depan akan selesai lebih cepat.
Praktik 6
Survei terhadap 10000 relawan situs web memiliki margin yang dilaporkan sempit. Jelaskan mengapa ukuran saja tidak dapat memperbaiki bias seleksi, dan usulkan metode perekrutan yang lebih baik.
Penalaran. Orang yang memilih untuk merespons dapat berbeda secara sistematis dari yang tidak. Margin untuk variabilitas sampling tidak menghilangkan bias tersebut. Pilih secara acak dari populasi target yang didefinisikan dan lakukan tindak lanjut terhadap nonrespons; tetap laporkan keterbatasannya.
Batasan dan penggunaan selanjutnya
Urutan, penggantian, dan pengkondisian mengubah perhitungan. Gagal menolak klaim statistik bukanlah pembuktian bahwa klaim tersebut benar.
Ini adalah tugas latihan orisinal yang ditulis khusus untuk kursus ini, bukan soal ujian resmi.