Linear and Exponential Functions · Fonctions linéaires et exponentielles
| English | Français |
|---|---|
| linear function/ˈlɪnɪə ˈfʌŋkʃn/ | fonction linéaire |
| exponential function/ˌekspəˈnenʃl ˈfʌŋkʃn/ | fonction exponentielle |
| proportional/prəˈpɔːʃənl/ | proportionnel |
Add versus multiply, again
- Two savings plans: one adds $\$100$ a year, the other grows by $10\%$ a year.
- At first the flat $\$100$ looks better, but the percentage plan quietly pulls ahead.
- These are the two great patterns of change: linear and exponential.
- They are the continuous cousins of arithmetic and geometric sequences.
Ajouter contre multiplier, encore une fois
- Deux plans d'épargne : l'un ajoute $\$100$ a year, the other grows by $10%$ par an.
- Au début, l'addition fixe de $\$100$ semble meilleure, mais le plan en pourcentage dépasse discrètement.
- Ce sont les deux grands modèles de changement : linéaire et exponentiel.
- Ce sont les cousins continus des suites arithmétiques et géométriques.
Arithmetic pairs with linear
- An arithmetic sequence adds a constant; a linear function 线性函数 does the same for every input.
- Over each equal step in $x$, a line adds the same amount to $y$ — its constant slope.
- Plot the arithmetic terms and they land right on a straight line.
- Steady addition is the fingerprint of linear change.
Les suites arithmétiques s'associent aux linéaires
- Une suite arithmétique ajoute une constante ; une fonction linéaire 线性函数 fait la même chose pour chaque entrée.
- Sur chaque pas égal dans $x$, une ligne ajoute la même quantité à $y$ — sa pente constante.
- Tracez les termes arithmétiques et ils atterrissent exactement sur une ligne droite.
- L'addition régulière est l'empreinte digitale du changement linéaire.
Over equal input intervals, a linear function changes by… · Sur des intervalles d'entrée égaux, une fonction linéaire change en…
A line has a constant slope, so equal steps in $x$ add the same amount to $y$ — like an arithmetic sequence. · Une droite a une pente constante, donc des pas égaux en $x$ ajoutent la même quantité à $y$ — comme une suite arithmétique.
Geometric pairs with exponential
- A geometric sequence multiplies by a constant; an exponential function 指数函数 does the same continuously.
- Over each equal step in $x$, an exponential multiplies $y$ by the same factor.
- So the outputs form a geometric sequence: $a, ab, ab^2, ab^3, \dots$
- Steady multiplication is the fingerprint of exponential change.
Les suites géométriques s'associent aux exponentielles
- Une suite géométrique multiplie par une constante ; une fonction exponentielle 指数函数 fait la même chose de manière continue.
- Sur chaque pas égal dans $x$, une exponentielle multiplie $y$ par le même facteur.
- Ainsi, les sorties forment une suite géométrique : $a, ab, ab^2, ab^3, \dots$
- La multiplication régulière est l'empreinte digitale du changement exponentiel.
Watch an exponential outrun any straight line · Regardez une exponentielle surpasser n'importe quelle droite
y = a·bˣ
Raise the base b above 1 and the curve multiplies each step, soon leaving any line behind. Set b below 1 to get decay. · Élevez la base b au-dessus de 1 et la courbe multiplie à chaque étape, laissant bientôt derrière elle n'importe quelle droite. Réduisez b en dessous de 1 pour obtenir une décroissance.
Over equal input intervals, an exponential function changes by… · Sur des intervalles d'entrée égaux, une fonction exponentielle change en…
An exponential multiplies by the same factor each equal step — the continuous version of a geometric sequence. · Une exponentielle multiplie par le même facteur à chaque pas égal — la version continue d'une suite géométrique.
Proportional change
- Exponential growth is proportional 成比例 change: each increase is a percentage of the current amount.
- Grow $10\%$ a year and the yearly gain gets bigger as the total gets bigger.
- Linear growth adds the same absolute amount regardless of the current size.
- "Percentage per period" always signals an exponential, never a line.
Changement proportionnel
- La croissance exponentielle est un changement proportionnel 成比例 : chaque augmentation est un pourcentage du montant actuel.
- Croître de $10\%$ par an signifie que le gain annuel augmente à mesure que le total grandit.
- La croissance linéaire ajoute la même quantité absolue indépendamment de la taille actuelle.
- « Pourcentage par période » signale toujours une exponentielle, jamais une ligne.
Exponential change is ____ change: the increase is a fixed percentage of the current amount. · Le changement exponentiel est un changement ____ : l'augmentation représente un pourcentage fixe du montant actuel.
Proportional change means each step scales with the current value — grow 10% of whatever you have now. · Le changement proportionnel signifie que chaque étape met à l'échelle selon la valeur actuelle — croître de 10 % de tout ce que vous avez maintenant.
A population that doubles every year is best modeled by an exponential function. · Une population qui double chaque année est mieux modélisée par une fonction exponentielle.
Doubling is multiplying by 2 each year — a constant factor over equal intervals, the signature of exponential growth. · Le doublement consiste à multiplier par 2 chaque année — un facteur constant sur des intervalles égaux, signature de la croissance exponentielle.
Select all · tout true statements. · Sélectionnez toutes les affirmations vraies.
Adding equal amounts is linear · linéaire, not exponential. The other three correctly pair the ideas. · Ajouter des quantités égales est linéaire, pas exponentiel. Les trois autres associent correctement les idées.
Spotting which model
- Look at how the data changes over equal steps: constant difference → linear; constant ratio → exponential.
- A table helps: subtract to test for linear, divide to test for exponential.
- Over a long enough range, exponential growth beats any linear function, no matter how steep.
- Match the model to the pattern of change before you fit numbers.
Repérer quel modèle
- Regardez comment les données changent sur des pas égaux : différence constante → linéaire ; rapport constant → exponentiel.
- Un tableau aide : soustrayez pour tester le linéaire, divisez pour tester l'exponentiel.
- Sur une plage suffisamment longue, la croissance exponentielle bat n'importe quelle fonction linéaire, aussi pentue soit-elle.
- Associez le modèle au motif de changement avant d'ajuster les nombres.
Do not judge by the first few values. Early on a line can sit above an exponential, so a quick glance misleads. Test the pattern of change — same difference or same ratio — not just the current heights.
Ne jugez pas par les premières valeurs. Au début, une ligne peut se situer au-dessus d'une exponentielle, donc un coup d'œil rapide trompe. Testez le motif de changement — même différence ou même rapport — pas seulement les hauteurs actuelles.
A pond's lily pads: $10, 20, 40, 80, \dots$ each day.
- Each day the count is multiplied by $2$ — a constant ratio.
- Constant ratio → an exponential function, not a line.
- Rule: pads $= 10 \cdot 2^{\,d}$, doubling without limit until the pond fills.
Un étang de nénuphars : $10, 20, 40, 80, \dots$ par jour.
- Chaque jour, le compte est multiplié par $2$ — un rapport constant.
- Rapport constant → une fonction exponentielle, pas une ligne.
- Règle : nénuphars $= 10 \cdot 2^{\,d}$, doublement illimité jusqu'à ce que l'étang soit plein.
An arithmetic sequence pairs with a linear function (adds a constant); a geometric sequence pairs with an exponential function (multiplies by a constant). Exponential growth is proportional — a percentage of the current amount — and it eventually overtakes any line.
Une suite arithmétique s'associe à une fonction linéaire (ajoute une constante) ; une suite géométrique s'associe à une fonction exponentielle (multiplie par une constante). La croissance exponentielle est proportionnelle — un pourcentage du montant actuel — et elle finit par dépasser n'importe quelle ligne.