Exponential Functions · Fonctions exponentielles
| English | Français |
|---|---|
| base/beɪs/ | fondamentales |
| exponential function/ˌekspəˈnenʃl ˈfʌŋkʃn/ | fonction exponentielle |
| exponential growth/ˌekspəˈnenʃl ɡrəʊθ/ | croissance exponentielle |
| exponential decay/ˌekspəˈnenʃl dɪˈkeɪ/ | décroissance exponentielle |
| horizontal asymptote/ˌhɒrɪˈzɒntl ˈæsɪmptəʊt/ | asymptote horizontale |
| initial value/ɪˈnɪʃl ˈvæljuː/ | valeur initiale |
The base decides everything
- Put the variable up in the exponent and a whole new kind of function appears.
- $2^x$ explodes upward; $0.5^x$ melts toward zero.
- One small number — the base — flips growth into decay.
- These exponential functions model populations, money, medicine, and radioactive decay.
La base décide de tout
- Placez la variable en exposant et une nouvelle sorte de fonction apparaît.
- $2^x$ explose vers le haut ; $0.5^x$ fond vers zéro.
- Un petit nombre — la base — inverse la croissance en décroissance.
- Ces fonctions exponentielles modélisent les populations, l'argent, la médecine et la désintégration radioactive.
The shape of an exponential
- An exponential function 指数函数 is $f(x) = a\,b^x$, with base $b > 0$ and $b \neq 1$.
- The variable $x$ is the exponent; the base $b$ is fixed.
- The coefficient $a$ is the output when $x = 0$, since $b^0 = 1$.
- This is completely different from $x^2$, where the variable is the base.
La forme d'une exponentielle
- Une fonction exponentielle 指数函数 est $f(x) = a\,b^x$, avec base $b > 0$ et $b \neq 1$.
- La variable $x$ est l'exposant ; la base $b$ est fixe.
- Le coefficient $a$ est la sortie lorsque $x = 0$, puisque $b^0 = 1$.
- C'est complètement différent de $x^2$, où la variable est la base.
An exponential function has the form… · Une fonction exponentielle a la forme…
The variable sits in the exponent · exposant over a fixed base $b$ — that is what makes it exponential, not polynomial. · La variable se trouve dans l'exposant au-dessus d'une base fixe $b$ — c'est cela qui la rend exponentielle, pas polynomiale.
Growth versus decay
- If $b > 1$, each step multiplies by more than one: exponential growth 指数增长.
- If $0 < b < 1$, each step multiplies by less than one: exponential decay 指数衰减.
- The base 底数 alone decides which way the curve goes.
- Growth curves sweep upward; decay curves fall toward the axis.
Croissance versus décroissance
- Si $b > 1$, chaque étape multiplie par plus d'un : croissance exponentielle 指数增长.
- Si $0 < b < 1$, chaque étape multiplie par moins d'un : décroissance exponentielle 指数衰减.
- La seule base 底数 décide de la direction de la courbe.
- Les courbes de croissance montent vers le haut ; les courbes de décroissance descendent vers l'axe.
Cross the base past 1 to switch growth and decay · Traversez la base au-delà de 1 pour basculer entre croissance et décroissance
y = a·bˣ
Keep b above 1 for growth; drop b below 1 for decay. Notice the curve never touches the x-axis — that is its asymptote. · Gardez b au-dessus de 1 pour la croissance ; abaissez b en dessous de 1 pour la décroissance. Remarquez que la courbe ne touche jamais l'axe x — c'est son asymptote.
For · Pour $f(x) = a\,b^x$ with $a > 0$, the function shows decay when… · Pour $f(x) = a\,b^x$ avec $a > 0$, la fonction montre une décroissance lorsque…
A base between $0$ and · et $1$ shrinks the output each step — exponential decay · décroissance exponentielle. A base above $1$ grows it. · Une base comprise entre $0$ et $1$ réduit la sortie à chaque étape — décroissance exponentielle. Une base supérieure à $1$ l'augmente.
Domain, range, and asymptote
- The domain is all real numbers — you can raise a base to any power.
- With $a > 0$ the range is $y > 0$: the output is always positive.
- The graph has a horizontal asymptote 水平渐近线 at $y = 0$, which it approaches but never touches.
- On the decay side it flattens toward the axis; on the growth side it soars.
Domaine, image et asymptote
- Le domaine est tous les nombres réels — on peut élever une base à n'importe quelle puissance.
- Avec $a > 0$, l'image est $y > 0$ : la sortie est toujours positive.
- La courbe a une asymptote horizontale 水平渐近线 en $y = 0$, qu'elle approche mais ne touche jamais.
- Du côté de la décroissance, elle s'aplatit vers l'axe ; du côté de la croissance, elle s'envole.
The graph of $f(x) = a\,b^x$ has a horizontal ____ at $y = 0$ that it never crosses. · Le graphique de $f(x) = a\,b^x$ a une ____ horizontale à $y = 0$ qu'il ne traverse jamais.
The output gets arbitrarily close to $0$ but never reaches it, giving the horizontal asymptote $y = 0$. · La sortie se rapproche arbitrairement de $0$ mais ne l'atteint jamais, donnant l'asymptote horizontale $y = 0$.
Select all · tout true statements about $f(x) = a\,b^x$ (with $a>0,\ b>1$). · Sélectionnez toutes les affirmations vraies concernant $f(x) = a\,b^x$ (avec $a>0,\ b>1$).
With $a > 0$ the output is always positive, so it never goes negative. The other three are correct. · Avec $a > 0$, la sortie est toujours positive, donc elle ne descend jamais sous zéro. Les trois autres sont correctes.
Reading a and b in context
- The coefficient $a$ is the initial value 初始值 — the amount at time zero.
- The base $b$ is the per-step multiplier: $b = 1.08$ means $8\%$ growth each period.
- A base of $0.9$ means losing $10\%$ each period ($b < 1$, decay).
- Reading these two numbers turns the formula into a real-world story.
Lire a et b dans leur contexte
- Le coefficient $a$ est la valeur initiale 初始值 — le montant au temps zéro.
- La base $b$ est le multiplicateur par étape : $b = 1.08$ signifie une croissance de $8\%$ chaque période.
- Une base de $0.9$ signifie une perte de $10\%$ chaque période ($b < 1$, décroissance).
- Lire ces deux nombres transforme la formule en une histoire du monde réel.
In $P = 500 \cdot 1.08^{\,t}$, what does the $500$ represent? · Dans $P = 500 \cdot 1.08^{\,t}$, que représente le $500$ ?
At $t = 0$, $1.08^0 = 1$, so $P = 500$: the coefficient $a$ is the initial value, and $1.08$ is the base (8% growth). · À $t = 0$, $1.08^0 = 1$, donc $P = 500$ : le coefficient $a$ est la valeur initiale, et $1.08$ est la base (croissance de 8 %).
Do not confuse $a\,b^x$ (exponential) with $x^b$ (power). In $2^x$ the variable is in the exponent and growth is explosive; in $x^2$ the variable is the base and growth is merely polynomial. The exponent is what makes it exponential.
Ne pas confondre $a\,b^x$ (exponentielle) avec $x^b$ (puissance). Dans $2^x$, la variable est dans l'exposant et la croissance est explosive ; dans $x^2$, la variable est la base et la croissance est simplement polynomiale. C'est l'exposant qui rend cela exponentiel.
A $\$500$ deposit grows by $8\%$ a year: $P = 500 \cdot 1.08^{\,t}$.
- Initial value $a = 500$ (the balance at $t = 0$).
- Base $b = 1.08 > 1$, so this is growth of $8\%$ per year.
- After $10$ years: $P = 500 \cdot 1.08^{10} \approx \$1079$.
Un $\$500$ deposit grows by $8\%$ a year: $P = 500 \cdot 1.08^{\,t}$.
- Valeur initiale $a = 500$ (le solde à $t = 0$).
- Base $b = 1.08 > 1$, donc c'est une croissance de $8\%$ par an.
- Après $10$ ans : $P = 500 \cdot 1.08^{10} \approx \$1079$.
An exponential function $f(x) = a\,b^x$ puts the variable in the exponent. The base $b$ decides growth ($b>1$) or decay ($0
Une fonction exponentielle $f(x) = a\,b^x$ place la variable dans l'exposant. La base $b$ détermine la croissance ($b>1$) ou la décroissance ($0