Manipulating Exponential Expressions · Manipulation des expressions exponentielles
| English | Français |
|---|---|
| quotient rule/ˈkwəʊʃənt ruːl/ | règle du quotient |
| base/beɪs/ | fondamentales |
| product rule/ˈprɒdʌkt ruːl/ | règle du produit |
| power rule/ˈpaʊə ruːl/ | règle de puissance |
| equivalent/ɪˈkwɪvələnt/ | équivalente |
The rules for combining powers
- Once the variable lives in the exponent, a small set of rules lets you rearrange anything.
- Multiply powers, divide them, raise a power to a power — each has a shortcut.
- These shortcuts turn scary expressions into simple ones.
- They also let you rewrite an exponential in a more useful form.
Les règles pour combiner les puissances
- Une fois que la variable vit dans l'exposant, un petit ensemble de règles permet de réarranger n'importe quoi.
- Multiplier des puissances, les diviser, élever une puissance à une autre puissance — chacune a un raccourci.
- Ces raccourcis transforment les expressions effrayantes en expressions simples.
- Ils permettent aussi de réécrire une exponentielle sous une forme plus utile.
Product and quotient rules
- Multiplying powers of the same base 底数 adds the exponents: the product rule 乘法法则 $b^m \cdot b^n = b^{m+n}$.
- Dividing them subtracts the exponents: the quotient rule 除法法则 $\dfrac{b^m}{b^n} = b^{m-n}$.
- The base must be the same for either rule to apply.
- These match the intuition: $2^2 \cdot 2^3 = 4 \cdot 8 = 32 = 2^5$.
Règles du produit et du quotient
- En multipliant des puissances d'une même base 底数, on additionne les exposants : la règle du produit 乘法法则 $b^m \cdot b^n = b^{m+n}$.
- En les divisant, on soustrait les exposants : la règle du quotient 除法法则 $\dfrac{b^m}{b^n} = b^{m-n}$.
- La base doit être la même pour que l'une ou l'autre règle s'applique.
- Cela correspond à l'intuition : $2^2 \cdot 2^3 = 4 \cdot 8 = 32 = 2^5$.
Every step to the right multiplies by the base · Chaque pas vers la droite multiplie par la base
y = a·bˣ
Read the y-value at x = 1, 2, 3. Each is the base times the one before — that is why bˣ⁺¹ = bˣ · b. · Lisez la valeur y à x = 1, 2, 3. Chacune est la base fois celle qui précède — c'est pourquoi bˣ⁺¹ = bˣ · b.
The · Le product rule for exponents says $b^m \cdot b^n =$ · La règle du produit pour les exposants dit $b^m \cdot b^n =$
Multiplying powers of the same base adds the exponents: $b^m \cdot b^n = b^{m+n}$. · Multiplier des puissances de la même base additionne les exposants : $b^m \cdot b^n = b^{m+n}$.
The · Le quotient rule says $\dfrac{b^m}{b^n} = b^{m-n}$. · La règle du quotient dit $\dfrac{b^m}{b^n} = b^{m-n}$.
Dividing powers of the same base subtracts the exponents — the mirror image of the product rule. · Diviser des puissances de la même base soustrait les exposants — l'image miroir de la règle du produit.
The power rule
- Raising a power to another power multiplies the exponents: the power rule 幂法则 $(b^m)^n = b^{mn}$.
- So $(2^3)^2 = 2^6 = 64$, matching $8^2 = 64$.
- Each unit step to the right on the graph multiplies the output by the base.
- These rules together explain why exponentials grow the way they do.
La règle de la puissance
- Élever une puissance à une autre puissance multiplie les exposants : la règle de la puissance 幂法则 $(b^m)^n = b^{mn}$.
- Donc $(2^3)^2 = 2^6 = 64$, ce qui correspond à $8^2 = 64$.
- Chaque unité de déplacement vers la droite sur le graphique multiplie la sortie par la base.
- Ces règles expliquent ensemble pourquoi les exponentielles croissent comme elles le font.
The · Le power rule says $(b^m)^n =$ · La règle de la puissance dit $(b^m)^n =$
Raising a power to a power multiplies the exponents: $(b^m)^n = b^{mn}$. · Élever une puissance à une autre puissance multiplie les exposants : $(b^m)^n = b^{mn}$.
Shifting the exponent
- A shift in the exponent becomes a constant multiplier: $b^{x+k} = b^x \cdot b^k$.
- So $2^{x+3} = 2^x \cdot 8$ — moving the graph left is the same as scaling it up.
- This links transformations of exponentials to the exponent rules.
- A vertical stretch and a horizontal shift can be the same exponential in disguise.
Décaler l'exposant
- Un décalage dans l'exposant devient un multiplicateur constant : $b^{x+k} = b^x \cdot b^k$.
- Donc $2^{x+3} = 2^x \cdot 8$ — déplacer le graphique vers la gauche revient à le mettre à l'échelle.
- Cela relie les transformations des exponentielles aux règles de l'exposant.
- Un étirement vertical et un décalage horizontal peuvent être la même exponentielle déguisée.
Using $b^{x+k} = b^x \cdot b^k$, we can rewrite $2^{x+3}$ as $2^x$ times ____. · En utilisant $b^{x+k} = b^x \cdot b^k$, nous pouvons réécrire $2^{x+3}$ comme $2^x$ fois ____.
$2^{x+3} = 2^x \cdot 2^3 = 2^x \cdot 8$ — a shift in the exponent becomes a constant multiplier. · $2^{x+3} = 2^x \cdot 2^3 = 2^x \cdot 8$ — un décalage dans l'exposant devient un multiplicateur constant.
Changing the base
- Any exponential can be rewritten with a different base when it helps.
- For example $4^x = (2^2)^x = 2^{2x}$ — same function, base $2$ instead of $4$.
- Rewriting to a common base shows two exponentials are equivalent 等价.
- Choose the base that makes the comparison or calculation easiest.
Changer la base
- Toute exponentielle peut être réécrite avec une base différente si cela aide.
- Par exemple $4^x = (2^2)^x = 2^{2x}$ — même fonction, base $2$ au lieu de $4$.
- Réécrire vers une base commune montre que deux exponentielles sont équivalentes 等价.
- Choisissez la base qui facilite la comparaison ou le calcul.
Select all · tout correct exponent rules. · Sélectionnez toutes les règles d'exposant correctes.
You cannot combine $b^m + b^n$ into one power — the rules apply to multiplying and dividing, not adding. The other three are correct. · Vous ne pouvez pas combiner $b^m + b^n$ en une seule puissance — les règles s'appliquent à la multiplication et à la division, pas à l'addition. Les trois autres sont correctes.
The rules apply to multiplying and dividing powers, never to adding them. $b^m + b^n$ does not simplify to $b^{m+n}$ — that is a classic mistake. You can only combine exponents when the powers are multiplied or divided.
Les règles s'appliquent aux multiplications et divisions de puissances, jamais à leurs additions. $b^m + b^n$ ne se simplifie pas en $b^{m+n}$ — c'est une erreur classique. On ne peut combiner les exposants que lorsque les puissances sont multipliées ou divisées.
Simplify $\dfrac{2^{x+3}}{2^x}$.
- Quotient rule: subtract the exponents → $2^{(x+3) - x} = 2^3$.
- So the whole expression equals $2^3 = 8$, a constant.
- The $2^x$ cancels because both terms share the base $2$.
Simplifier $\dfrac{2^{x+3}}{2^x}$.
- Règle du quotient : soustraire les exposants → $2^{(x+3) - x} = 2^3$.
- Donc toute l'expression vaut $2^3 = 8$, une constante.
- Le $2^x$ s'annule car les deux termes partagent la base $2$.
The exponent rules let you rearrange powers of the same base: the product rule adds exponents, the quotient rule subtracts, and the power rule multiplies. A shift $b^{x+k} = b^x \cdot b^k$ turns into a multiplier, and rewriting to a common base shows two expressions are equivalent.
Les règles des exposants vous permettent de réorganiser les puissances de la même base : la règle du produit ajoute les exposants, la règle du quotient soustrait, et la règle de la puissance multiplie. Un décalage $b^{x+k} = b^x \cdot b^k$ devient un multiplicateur, et la réécriture sur une base commune montre que deux expressions sont équivalentes.