The Arc Length of a Smooth, Planar Curve and Distance Traveled · Longueur d'arc d'une courbe plane lisse et distance parcourue
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| Arc length/ɑːk leŋθ/ | Longueur d'arc |
Measuring the length of a curve
- Area and volume were integrals; so is the length of a curve itself.
- Arc length 弧长 adds up the lengths of tiny straight pieces along the curve.
- On each little piece, the curve is nearly a straight line — a hypotenuse of a small right triangle.
- Sum those hypotenuses (integrate) to get the total length.
Mesurer la longueur d'une courbe
- L'aire et le volume sont des intégrales ; la longueur d'une courbe l'est aussi.
- La longueur d'arc 弧长 additionne les longueurs de petits segments droits le long de la courbe.
- Sur chaque petit segment, la courbe est presque une ligne droite — l'hypoténuse d'un petit triangle rectangle.
- Additionner ces hypoténuses (intégrer) donne la longueur totale.
From a small triangle to the formula
- A tiny piece has horizontal run $dx$ and vertical rise $dy=f'(x)\,dx$.
- Its length is $\sqrt{dx^2+dy^2}=\sqrt{1+\big(f'(x)\big)^2}\,dx$ (Pythagoras).
- Add them from $a$ to $b$:
-
$$L=\int_a^b \sqrt{1+\big(f'(x)\big)^2}\,dx$$
Du petit triangle à la formule
- Un petit segment a un parcours horizontal $dx$ et une élévation verticale $dy=f'(x)\,dx$.
- Sa longueur est $\sqrt{dx^2+dy^2}=\sqrt{1+\big(f'(x)\big)^2}\,dx$ (thorème de Pythagore).
- Les additionner de $a$ à $b$ :
-
$$L=\int_a^b \sqrt{1+\big(f'(x)\big)^2}\,dx$$
A curve is longer than its chord · Une courbe est plus longue que sa corde
y = a·x^{1.5}
Arc length sums tiny hypotenuses $\sqrt{1+(f')^2}\,dx$ — always at least the horizontal distance $b-a$. · La longueur d'arc additionne de petits hypoténuses $\sqrt{1+(f')^2}\,dx$ — toujours au moins la distance horizontale $b-a$.
The arc length of $y=f(x)$ on $[a,b]$ is... · La longueur d'arc de $y=f(x)$ sur $[a,b]$ est...
Square the derivative, add 1, take the root. · Élevez la dérivée au carré, ajoutez 1, prenez la racine.
Using the formula
- Compute $f'(x)$, square it, add $1$, take the square root, and integrate over $[a,b]$.
- The integrand is always $\ge1$, so arc length is at least the horizontal distance $b-a$ (a curve is longer than the straight line).
- Many arc-length integrals are hard by hand; on the BC exam you often set them up and evaluate numerically.
- The key skill is building the integrand correctly from $f'$.
Utiliser la formule
- Calculer $f'(x)$, le mettre au carré, ajouter $1$, prendre la racine carrée, et intégrer sur $[a,b]$.
- L'intégrande est toujours $\ge1$, donc la longueur d'arc est au moins égale à la distance horizontale $b-a$ (une courbe est plus longue qu'une ligne droite).
- De nombreuses intégrales de longueur d'arc sont difficiles à calculer manuellement ; lors de l'examen BC, on pose souvent l'intégrale et l'évalue numériquement.
- La compétence clé consiste à construire correctement l'intégrande à partir de $f'$.
For · Pour $y=\tfrac23 x^{3/2}$, $f'(x)=x^{1/2}$. The arc-length integrand is... · Pour $y=\tfrac23 x^{3/2}$, $f'(x)=x^{1/2}$. L'intégrande de longueur d'arc est...
$(f')^2=x$, so $\sqrt{1+x}$. · $(f')^2=x$, donc $\sqrt{1+x}$.
Evaluate · Évaluer $\int_0^3 \sqrt{1+x}\,dx$ (a decimal). · Évaluez $\int_0^3 \sqrt{1+x}\,dx$ (un décimal).
$\tfrac23(8-1)=\tfrac{14}{3}\approx4.667$.
Because the integrand is $\ge 1$, the arc length is always at least... · Parce que l'intégrande est $\ge 1$, la longueur d'arc est toujours au moins...
A curve is at least as long as the straight run. · Une courbe est au aussi longue que le trajet rectiligne.
Arc length as distance traveled
- If a particle moves along $y=f(x)$, the arc length is the distance it travels along the path.
- (For motion given by $x(t),y(t)$, the parametric version comes in lesson 9.3.)
- So this same integral measures both a curve's geometric length and a path's traveled distance.
- Setup is identical; only the interpretation changes.
Longueur d'arc comme distance parcourue
- Si une particule se déplace le long de $y=f(x)$, la longueur d'arc correspond à la distance qu'elle parcourt sur ce chemin.
- (Pour un mouvement donné par $x(t),y(t)$, la version paramétrique apparaît dans la leçon 9.3.)
- Cette même intégrale mesure donc à la fois la longueur géométrique d'une courbe et la distance parcourue sur un trajet.
- La mise en place est identique ; seule l'interprétation change.
The arc-length integrand uses the derivative $f'(x)$, not $f(x)$. · L'intégrande de longueur d'arc utilise la dérivée $f'(x)$, pas $f(x)$.
It is · C'est $\sqrt{1+(f'(x))^2}$. · C'est $\sqrt{1+(f'(x))^2}$.
Along a path $y=f(x)$, the arc length also measures the ____ traveled. · Le long d'un parcours $y=f(x)$, la longueur d'arc mesure également la ____ parcourue.
Arc length = distance traveled along the path. · Longueur d'arc = distance parcourue le long du parcours.
The integrand is $\sqrt{1+(f'(x))^2}$ — the derivative is squared, and there's a $\boldsymbol{+1}$ inside the root, not outside. Don't write $\sqrt{1+f(x)^2}$ (using $f$ instead of $f'$) or forget the $+1$. And the whole thing is under one square root before integrating.
L'intégrande est $\sqrt{1+(f'(x))^2}$ — la dérivée est au carré, et il y a un $\boldsymbol{+1}$ à l'intérieur de la racine, pas à l'extérieur. Ne pas écrire $\sqrt{1+f(x)^2}$ (en utilisant $f$ au lieu de $f'$) ni oublier le $+1$. Et tout cela se trouve sous une seule racine avant l'intégration.
Set up the arc length of $y=\tfrac23 x^{3/2}$ from $x=0$ to $x=3$.
- $f'(x)=x^{1/2}$, so $\big(f'(x)\big)^2=x$.
- $L=\displaystyle\int_0^3 \sqrt{1+x}\,dx=\Big[\tfrac23(1+x)^{3/2}\Big]_0^3=\tfrac23(8-1)=\tfrac{14}{3}$.
Mettez en place la longueur d'arc de $y=\tfrac23 x^{3/2}$ de $x=0$ à $x=3$.
- $f'(x)=x^{1/2}$, donc $\big(f'(x)\big)^2=x$.
- $L=\displaystyle\int_0^3 \sqrt{1+x}\,dx=\Big[\tfrac23(1+x)^{3/2}\Big]_0^3=\tfrac23(8-1)=\tfrac{14}{3}$.
The arc length of $y=f(x)$ on $[a,b]$ is $L=\int_a^b\sqrt{1+\big(f'(x)\big)^2}\,dx$ — summing tiny hypotenuses $\sqrt{1+(f')^2}\,dx$. Square the derivative, add $1$ inside the root, integrate. It also gives the distance traveled along the path.
La longueur d'arc de $y=f(x)$ sur $[a,b]$ est $L=\int_a^b\sqrt{1+\big(f'(x)\big)^2}\,dx$ — additionner de petits hypoténuses $\sqrt{1+(f')^2}\,dx$. Mettre au carré la dérivée, ajouter $1$ sous la racine, intégrer. Cela donne aussi la distance parcourue le long du chemin.