Defining and Differentiating Parametric Equations · Définir et dériver des équations paramétriques
| English | Français |
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| parametric equations/ˌpærəˈmetrɪk ɪˈkweɪʒnz/ | équations paramétriques |
| parameter/pəˈræmɪtə/ | paramètre |
A curve traced by a moving point
- Instead of $y=f(x)$, describe a curve by giving $x$ and $y$ each as a function of a third variable.
- These are parametric equations 参数方程: $x=f(t)$ and $y=g(t)$, with parameter 参数 $t$.
- Think of $t$ as time: as $t$ runs, the point $\big(x(t),y(t)\big)$ traces the curve.
- This lets you draw loops and vertical stretches that no single $y=f(x)$ can.
Une courbe tracée par un point mobile
- Au lieu de $y=f(x)$, décrire une courbe en donnant $x$ et $y$ chacun en fonction d'une troisième variable.
- Ce sont des équations paramétriques 参数方程 : $x=f(t)$ et $y=g(t)$, avec paramètre 参数 $t$.
- Pensez à $t$ comme au temps : alors que $t$ varie, le point $\big(x(t),y(t)\big)$ trace la courbe.
- Cela permet de dessiner des boucles et des étirements verticaux qu'aucune unique $y=f(x)$ ne peut représenter.
A curve a parameter traces · Une courbe tracée par un paramètre
y = ax³ + bx
Parametric equations let a point sweep out curves — loops and vertical stretches no single $y=f(x)$ can draw. · Les équations paramétriques permettent à un point de balayer des courbes — boucles et étirements verticaux qu'une seule $y=f(x)$ ne peut pas dessiner.
In $x=f(t)$, $y=g(t)$, the variable $t$ is called the ____. · Dans $x=f(t)$, $y=g(t)$, la variable $t$ s'appelle le/la ____.
The parameter drives both coordinates. · Le paramètre pilote les deux coordonnées.
The parameter drives both coordinates
- At each $t$, plug into both equations to get a point $\big(x(t),y(t)\big)$.
- The curve is the path swept out as $t$ increases — with a direction of travel.
- Example: $x=\cos t,\ y=\sin t$ traces the unit circle counterclockwise.
- Eliminating $t$ (when possible) recovers a relation between $x$ and $y$.
Le paramètre pilote les deux coordonnées
- Pour chaque $t$, substituez dans les deux équations pour obtenir un point $\big(x(t),y(t)\big)$.
- La courbe est le balayage effectué à mesure que $t$ augmente — avec une direction de déplacement.
- Exemple : $x=\cos t,\ y=\sin t$ trace le cercle unité dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.
- Éliminer $t$ (lorsque c'est possible) récupère une relation entre $x$ et $y$.
Which parametric equations trace the unit circle? · Quelles équations paramétriques tracent le cercle unité ?
$\cos^2 t+\sin^2 t=1$ traces the unit circle. · $\cos^2 t+\sin^2 t=1$ trace le cercle unité.
The slope $\tfrac{dy}{dx}$ from derivatives in $t$
- To find the curve's slope, differentiate each coordinate in $t$ and divide:
-
$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}$$
- Both $\tfrac{dy}{dt}$ and $\tfrac{dx}{dt}$ come from the two equations; their ratio is the slope.
- (This is the chain rule: $\tfrac{dy}{dt}=\tfrac{dy}{dx}\cdot\tfrac{dx}{dt}$, rearranged.)
La pente $\tfrac{dy}{dx}$ à partir des dérivées en $t$
- Pour trouver la pente de la courbe, dérivez chaque coordonnée dans $t$ et divisez :
-
$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}$$
- Both $\tfrac{dy}{dt}$ et $\tfrac{dx}{dt}$ proviennent des deux équations ; leur rapport est la pente.
- (C'est la règle de la chaîne : $\tfrac{dy}{dt}=\tfrac{dy}{dx}\cdot\tfrac{dx}{dt}$, réarrangé.)
For a parametric curve, $\dfrac{dy}{dx}=$ · Pour une courbe paramétrique, $\dfrac{dy}{dx}=$
Top over bottom: $\frac{dy/dt}{dx/dt}$. · Haut sur bas : $\frac{dy/dt}{dx/dt}$.
For · Pour $x=t^2$, $y=t^3$, $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3t}{2}$. Find the slope at $t=2$. · Pour $x=t^2$, $y=t^3$, $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3t}{2}$. Trouvez la pente en $t=2$.
$\frac{3(2)}{2}=3$.
Horizontal and vertical tangents
- Horizontal tangent: $\tfrac{dy}{dt}=0$ (and $\tfrac{dx}{dt}\neq0$) — the slope is $0$.
- Vertical tangent: $\tfrac{dx}{dt}=0$ (and $\tfrac{dy}{dt}\neq0$) — the slope is undefined.
- These come directly from the two component derivatives.
- So the same $\tfrac{dy}{dt}$, $\tfrac{dx}{dt}$ give both the slope and its special cases.
Tangentes horizontales et verticales
- Tangente horizontale : $\tfrac{dy}{dt}=0$ (et $\tfrac{dx}{dt}\neq0$) — la pente est $0$.
- Tangente verticale : $\tfrac{dx}{dt}=0$ (et $\tfrac{dy}{dt}\neq0$) — la pente est indéfinie.
- Elles proviennent directement des deux dérivées composantes.
- Donc les mêmes $\tfrac{dy}{dt}$, $\tfrac{dx}{dt}$ donnent à la fois la pente et ses cas particuliers.
A parametric curve has a horizontal tangent where... · Une courbe paramétrique a une tangente horizontale lorsque...
Horizontal ⇔ slope $0$ ⇔ $\tfrac{dy}{dt}=0$. · Horizontal ⇔ pente $0$ ⇔ $\tfrac{dy}{dt}=0$.
A vertical tangent occurs where $\dfrac{dx}{dt}=$ ____ (and $\tfrac{dy}{dt}\neq0$). · Une tangente verticale se produit où $\dfrac{dx}{dt}=$ ____ (et $\tfrac{dy}{dt}\neq0$).
Zero $\tfrac{dx}{dt}$ → undefined slope → vertical. · Zéro $\tfrac{dx}{dt}$ → pente indéfinie → vertical.
The slope is $\dfrac{dy/dt}{dx/dt}$ — a ratio of the two derivatives, not $\dfrac{d}{dt}\big[\tfrac yx\big]$ or $\dfrac{dy}{dt}\cdot\dfrac{dx}{dt}$. And it's top over bottom: $\tfrac{dy}{dt}$ divided by $\tfrac{dx}{dt}$. Swapping them inverts the slope.
La pente est $\dfrac{dy/dt}{dx/dt}$ — un rapport des deux dérivées, pas $\dfrac{d}{dt}\big[\tfrac yx\big]$ ou $\dfrac{dy}{dt}\cdot\dfrac{dx}{dt}$. Et c'est haut sur bas : $\tfrac{dy}{dt}$ divisé par $\tfrac{dx}{dt}$. Inverser les termes inverse la pente.
For $x=t^2,\ y=t^3$, find $\dfrac{dy}{dx}$ at $t=2$.
- $\dfrac{dx}{dt}=2t$, $\dfrac{dy}{dt}=3t^2$.
- $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3t^2}{2t}=\dfrac{3t}{2}$.
- At $t=2$: $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3(2)}{2}=3$.
Pour $x=t^2,\ y=t^3$, trouvez $\dfrac{dy}{dx}$ à $t=2$.
- $\dfrac{dx}{dt}=2t$, $\dfrac{dy}{dt}=3t^2$.
- $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3t^2}{2t}=\dfrac{3t}{2}$.
- À $t=2$ : $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3(2)}{2}=3$.
Parametric equations $x=f(t)$, $y=g(t)$ trace a curve as the parameter $t$ varies. The slope is $\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}$ (top over bottom). A horizontal tangent has $\frac{dy}{dt}=0$; a vertical tangent has $\frac{dx}{dt}=0$.
Équations paramétriques $x=f(t)$, $y=g(t)$ tracent une courbe à mesure que le paramètre $t$ varie. La pente est $\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}$ (haut sur bas). Une tangente horizontale a $\frac{dy}{dt}=0$ ; une tangente verticale a $\frac{dx}{dt}=0$.