The Fundamental Theorem of Calculus and Accumulation Functions · Théorème fondamental du calcul et fonctions d'accumulation
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| Fundamental Theorem of Calculus/ˌfʌndəˈmentl ˈθɪərəm ɒv ˈkælkjʊləs/ | Théorème fondamental du calcul |
| accumulation function/əˌkjuːmjʊˈleɪʃn ˈfʌŋkʃn/ | fonction d'accumulation |
The bridge between area and slope
- Differentiation (slopes) and integration (areas) look unrelated — but they are inverses.
- The Fundamental Theorem of Calculus 微积分基本定理 (FTC) is that stunning connection.
- Its first part is about a function defined by an integral, called an accumulation function 累积函数.
- Take its derivative and — magically — you get the integrand back.
Le pont entre l'aire et la pente
- La dérivation (pentes) et l'intégration (aires) semblent sans rapport — mais elles sont inverse l'une de l'autre.
- Le Théorème fondamental du calcul 微积分基本定理 (FTC) est cette connexion étonnante.
- Sa première partie concerne une fonction définie par une intégrale, appelée fonction d'accumulation 累积函数.
- Prenez sa dérivée et — magiquement — vous retrouvez l'intégrande.
The accumulation function
- Fix a lower limit $a$ and let the upper limit vary: $$g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$$
- $g(x)$ is the accumulated (signed) area under $f$ from $a$ up to $x$.
- As $x$ moves right, $g$ collects more area; the variable of integration $t$ is just a placeholder.
- $g$ is a genuine function of $x$ — you can graph it, differentiate it, and analyze it.
La fonction d'accumulation
- Fixez une limite inférieure $a$ et laissez la limite supérieure varier : $$g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$$
- $g(x)$ est l'aire accumulée (signée) sous $f$ de $a$ jusqu'à $x$.
- Alors que $x$ se déplace vers la droite, $g$ collecte plus d'aire ; la variable d'intégration $t$ n'est qu'un espace réservé.
- $g$ est une véritable fonction de $x$ — vous pouvez la tracer, la dériver et l'analyser.
Area accumulating up to x · Aire accumulée jusqu'à x
y = t² + 1 (integrand) · y = t² + 1 (intégrande)
As the upper limit slides right, $g(x)$ collects more area; its instantaneous growth rate is exactly $f(x)$. · Lorsque la limite supérieure glisse vers la droite, $g(x)$ rassemble plus d'aire ; son taux de croissance instantané est exactement $f(x)$.
A function of the form $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$ is called an ____ function. · Une fonction de la forme $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$ est appelée une fonction ____.
It accumulates signed area up to $x$. · Elle accumule l'aire signée jusqu'à $x$.
In $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$, the variable $t$ is... · Dans $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$, la variable $t$ est...
$t$ is a dummy variable; $x$ is the actual input of $g$. · $t$ est une variable factice ; $x$ est l'entrée réelle de $g$.
FTC Part 1: the derivative undoes the integral
- The first part of the FTC says:
-
$$g'(x)=\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x)$$
- In words: the derivative of the accumulation function is the integrand itself.
- Rate of area accumulation at $x$ = the height $f(x)$ there. Beautifully simple.
FTC Partie 1 : la dérivée annule l'intégrale
- La première partie du théorème fondal du calcul dit :
-
$$g'(x)=\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x)$$
- En mots : la dérivée de la fonction d'accumulation est l'intégrande lui-même.
- Taux d'accumulation de l'aire en $x$ = la hauteur $f(x)$ à cet endroit. Magnifiquement simple.
By FTC Part 1, $\dfrac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt=$ · Par FTC Partie 1, $\dfrac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt=$
The derivative of the accumulation function is the integrand $f(x)$. · La dérivée de la fonction d'accumulation est l'intégrande $f(x)$.
For · Pour $g(x)=\int_2^x (t^2+1)\,dt$, find $g'(3)$. · Pour $g(x)=\int_2^x (t^2+1)\,dt$, trouver $g'(3)$.
$g'(x)=x^2+1$, so $g'(3)=10$. · $g'(x)=x^2+1$, donc $g'(3)=10$.
With a chain-rule twist
- If the upper limit is a function $u(x)$, the chain rule kicks in:
- $\dfrac{d}{dx}\int_a^{u(x)} f(t)\,dt = f(u(x))\cdot u'(x)$.
- Plug the upper limit into $f$, then multiply by the derivative of that upper limit.
- (A variable lower limit flips the sign, since swapping limits negates the integral.)
Avec une touche de règle de chaîne
- Si la limite supérieure est une fonction $u(x)$, la règle de chaîne s'applique :
- $\dfrac{d}{dx}\int_a^{u(x)} f(t)\,dt = f(u(x))\cdot u'(x)$.
- Insérez la limite supérieure dans $f$, puis multipliez par la dérivée de cette limite supérieure.
- (Une limite inférieure variable inverse le signe, car inverser les limites change le signe de l'intégrale.)
For · Pour $\dfrac{d}{dx}\int_a^{x^2} f(t)\,dt$, the answer is... · Pour $\dfrac{d}{dx}\int_a^{x^2} f(t)\,dt$, la réponse est...
Chain rule: plug in the upper limit, times its derivative $2x$. · Règle de la chaîne : insérer la limite supérieure, multiplié par sa dérivée $2x$.
When the upper limit is $u(x)$, you multiply the integrand-at-$u$ by $u'(x)$. · Lorsque la limite supérieure est $u(x)$, on multiplie l'intégrande-en-$u$ par $u'(x)$.
That chain-rule factor is required. · Ce facteur de règle de chaîne est requis.
FTC Part 1 gives $g'(x)=f(x)$ only when $x$ is the plain upper limit. If the upper limit is $u(x)$ (like $x^2$), you must multiply by $u'(x)$: $\frac{d}{dx}\int_a^{x^2} f(t)\,dt = f(x^2)\cdot 2x$. Forgetting that chain-rule factor is the classic mistake.
FTC Partie 1 donne $g'(x)=f(x)$ uniquement si $x$ est la limite supérieure simple. Si la limite supérieure est $u(x)$ (comme $x^2$), vous devez multiplier par $u'(x)$ : $\frac{d}{dx}\int_a^{x^2} f(t)\,dt = f(x^2)\cdot 2x$. Oublier ce facteur de règle de chaîne est l'erreur classique.
Let $g(x)=\displaystyle\int_2^x (t^2+1)\,dt$. Find $g'(x)$ and $g'(3)$.
- By FTC Part 1: $g'(x)=x^2+1$ (just the integrand with $t\to x$).
- $g'(3)=3^2+1=10$.
- (No need to compute the integral itself — the derivative reads it straight off.)
Posons $g(x)=\displaystyle\int_2^x (t^2+1)\,dt$. Trouvons $g'(x)$ et $g'(3)$.
- Par FTC Partie 1 : $g'(x)=x^2+1$ (juste l'intégrande avec $t\to x$).
- $g'(3)=3^2+1=10$.
- (Pas besoin de calculer l'intégrale elle-même — la dérivée la lit directement.)
An accumulation function $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$ collects signed area up to $x$. FTC Part 1: $g'(x)=f(x)$ — differentiating an accumulation function returns the integrand. If the upper limit is $u(x)$, multiply by $u'(x)$ (chain rule).
Une fonction d'accumulation $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$ rassemble l'aire signée jusqu'à $x$. FTC Partie 1 : $g'(x)=f(x)$ — dériver une fonction d'accumulation renvoie l'intégrande. Si la limite supérieure est $u(x)$, multipliez par $u'(x)$ (règle de chaîne).