Solving Related Rates Problems · Résolution de problèmes de taux liés
A repeatable recipe for related rates
- Related-rates word problems feel hard until you follow a fixed procedure.
- Same five steps every time: picture, equation, differentiate, substitute, solve.
- The one rule people break: substitute numbers only after differentiating.
- Master the recipe and every related-rates problem becomes routine.
Une recette reproductible pour les taux liés
- Les problèmes de mots sur les taux liés semblent difficiles jusqu'à ce que vous suiviez une procédure fixe.
- Même cinq étapes à chaque fois : dessiner, équation, dériver, substituer, résoudre.
- La seule règle que les gens violent : substituer les nombres uniquement après avoir dérivé.
- Maîtrisez la recette et chaque problème de taux liés deviendra une routine.
The five steps
- 1. Draw & label the changing quantities; note what's given and wanted.
- 2. Relate the variables with an equation (geometry/formula).
- 3. Differentiate both sides with respect to $t$ (chain rule → rate factors).
- 4. Substitute the known values at that instant.
- 5. Solve for the unknown rate; report with units and sign.
Les cinq étapes
- 1. Dessinez & étiquetez les quantités changeantes ; notez ce qui est donné et souhaité.
- 2. Reliez les variables avec une équation (géométrie/formule).
- 3. Dérivez les deux côtés par rapport à $t$ (règle de la chaîne → facteurs de taux).
- 4. Substituez les valeurs connues à cet instant précis.
- 5. Résolvez pour le taux inconnu ; indiquez les unités et le signe.
Volume grows fastest when big · Le volume croît le plus vite quand il est grand
y = a·x³ (V vs r)
Because · Parce que $\tfrac{dV}{dt}=4\pi r^2\tfrac{dr}{dt}$, a fixed radius rate makes the volume rate soar as $r$ grows. · Parce que $\tfrac{dV}{dt}=4\pi r^2\tfrac{dr}{dt}$, un taux de rayon fixe fait grimper le taux de volume à mesure que $r$ augmente.
Put the related-rates steps in order. · Mettre les étapes des taux liés dans l'ordre.
Picture, relate, differentiate, substitute-and-solve. · Schéma, relier, dériver, substituer-et-résoudre.
Differentiate first, plug in last
- A number that is changing must stay a variable while you differentiate.
- If you set $r=5$ before differentiating, its rate $\tfrac{dr}{dt}$ vanishes — and the whole method collapses.
- Substitute the instant's values only at step 4, after the derivative is taken.
- The only things you may fix early are true constants (like a ladder's fixed length).
Dérivez d'abord, insérez ensuite
- Un nombre qui change doit rester une variable pendant que vous dérivez.
- Si vous fixez $r=5$ avant de dériver, son taux $\tfrac{dr}{dt}$ disparaît — et toute la méthode s'effondre.
- Substituez les valeurs de l'instant seulement à l'étape 4, après la dérivée prise.
- Les seules choses que vous pouvez fixer tôt sont les vrais constantes (comme la longueur fixe d'une échelle).
With $\dfrac{dV}{dt}=4\pi r^2\dfrac{dr}{dt}$, $r=5$, and $\dfrac{dr}{dt}=2$, find $\dfrac{dV}{dt}$ as a multiple of $\pi$ (enter the number before $\pi$). · Avec $\dfrac{dV}{dt}=4\pi r^2\dfrac{dr}{dt}$, $r=5$ et $\dfrac{dr}{dt}=2$, trouver $\dfrac{dV}{dt}$ comme multiple de $\pi$ (entrer le nombre avant $\pi$).
$4\pi(25)(2)=200\pi$.
When should you substitute the instant's numeric values? · Quand devez-vous substituer les valeurs numériques de l'instant ?
Differentiate first; substitute numbers only afterward, or the rate terms vanish. · Dériver d'abord ; substituer les nombres seulement ensuite, sinon les termes de taux disparaissent.
Setting $r=5$ before differentiating is a valid shortcut. · Établir $r=5$ avant de dériver est une astuce valide.
It kills $\tfrac{dr}{dt}$ and breaks the method. · Cela tue $\tfrac{dr}{dt}$ et brise la méthode.
Check units and reasonableness
- The answer is a rate — attach units of output per input (e.g. $\tfrac{\text{cm}^3}{\text{s}}$).
- Check the sign: growing quantity → positive; shrinking → negative.
- Ask if the size is reasonable for the situation.
- A tidy conclusion sentence ("the volume is increasing at ... per second") earns the interpretation marks.
Vérifiez les unités et la cohérence
- La réponse est un taux — ajoutez des unités de sortie par entrée (ex. $\tfrac{\text{cm}^3}{\text{s}}$).
- Vérifiez le signe : quantité croissante → positif ; décroissante → négatif.
- Demandez-vous si la grandeur est cohérente pour la situation.
- Une phrase de conclusion soignée ("le volume augmente à ... par seconde") rapporte les points d'interprétation.
A related-rates answer is a rate, so it must be reported with its ____. · Une réponse à un taux lié est un taux, donc elle doit être rapportée avec sa ____.
E.g. cm³ per second. · Ex. cm³ par seconde.
A related-rates answer comes out $\dfrac{dV}{dt}=-30\,\tfrac{\text{cm}^3}{\text{s}}$. This means the volume is... · Une réponse en taux liés donne $\dfrac{dV}{dt}=-30\,\tfrac{\text{cm}^3}{\text{s}}$. Cela signifie que le volume est...
A negative rate means the volume is shrinking at $30$ cm³/s. · Un taux négatif signifie que le volume diminue à $30$ cm³/s.
The number-one related-rates mistake: plugging in the instant's values before differentiating. Keep every changing quantity symbolic through the differentiation step; substitute only afterward. Substituting early kills the rate terms and gives a wrong (often zero) answer.
La première erreur liée aux taux de variation : remplacer les valeurs de l'instant avant de dériver. Gardez toutes les quantités variables symboliques pendant l'étape de dérivation ; ne substituez qu'après. Substituer tôt tue les termes de taux et donne une réponse fausse (souvent zéro).
A spherical balloon's radius grows at $\tfrac{dr}{dt}=2\,\tfrac{\text{cm}}{\text{s}}$. How fast is the volume growing when $r=5$ cm?
- Relate: $V=\tfrac43\pi r^3$. Differentiate: $\dfrac{dV}{dt}=4\pi r^2\dfrac{dr}{dt}$.
- Now substitute $r=5$, $\tfrac{dr}{dt}=2$: $\dfrac{dV}{dt}=4\pi(25)(2)=200\pi$.
- The volume is increasing at $200\pi\approx628\ \tfrac{\text{cm}^3}{\text{s}}$.
Le rayon d'un ballon sphérique croît à $\tfrac{dr}{dt}=2\,\tfrac{\text{cm}}{\text{s}}$. À quelle vitesse le volume croît-il lorsque $r=5$ cm ?
- Reliez : $V=\tfrac43\pi r^3$. Dérivez : $\dfrac{dV}{dt}=4\pi r^2\dfrac{dr}{dt}$.
- Maintenant substituez $r=5$, $\tfrac{dr}{dt}=2$ : $\dfrac{dV}{dt}=4\pi(25)(2)=200\pi$.
- Le volume augmente à $200\pi\approx628\ \tfrac{\text{cm}^3}{\text{s}}$.
Solve a related rates problem in five steps: draw/label, write a relating equation, differentiate with respect to $t$, substitute the instant's values only after differentiating, and solve for the unknown rate. Report it with correct units and sign, and check the result is reasonable.
Résolvez un problème de taux liés en cinq étapes : dessiner/étiqueter, écrire une équation de relation, dériver par rapport à $t$, substituer les valeurs de l'instant uniquement après avoir dérivé, et résoudre pour le taux inconnu. Indiquez-le avec des unités correctes et un signe, et vérifiez que le résultat est cohérent.