Connecting Differentiability and Continuity: When Derivatives Do and Do Not Exist · Relier la dérivabilité et la continuité : quand les dérivées existent et n'existent pas
| English | Français |
|---|---|
| differentiability/ˌdɪfəˌrenʃɪəˈbɪlɪti/ | dérivabilité |
| continuous/kənˈtɪnjuːəs/ | continue |
| corner/ˈkɔːnə/ | coin |
| cusp/kʌsp/ | cuspid |
| vertical tangent/ˈvɜːtɪkl ˈtændʒənt/ | tangente verticale |
Smooth implies connected — but not the reverse
- If a function has a derivative at a point, its graph is not just unbroken there — it is smooth.
- Differentiability 可微性 at a point is a stronger condition than continuity.
- Key fact: differentiable $\Rightarrow$ continuous. A tangent line can't exist at a break.
- But the reverse fails: a continuous graph can still have a sharp spot with no derivative.
La régularité implique la continuité — mais pas l'inverse
- Si une fonction admet une dérivée en un point, son graphique n'est pas seulement ininterrompu là — il est régulier (lisse).
- La différentiabilité 可微性 en un point est une condition plus forte que la continuité.
- Faits clés : différentiable $\Rightarrow$ continue. Une tangente ne peut exister à une cassure.
- Mais l'inverse échoue : un graphique continu peut avoir un angle vif sans dérivée.
A smooth, differentiable curve · Une courbe lisse, dérivable
y = ax² + bx
This parabola is smooth everywhere — a tangent exists at every point, unlike a corner where the slope jumps. · Cette parabole est lisse partout — une tangente existe en chaque point, contrairement à un angle où la pente saute.
Why differentiable forces continuous
- A derivative is the limit of secant slopes; for that limit to be finite, the function can't jump.
- If $f$ jumped at $c$, the secant slopes near $c$ would blow up — no finite tangent slope.
- So having $f'(c)$ guarantees $f$ is continuous 连续 at $c$.
- Contrapositive (handy on exams): if $f$ is not continuous at $c$, it is not differentiable there.
Pourquoi la différentiabilité force la continuité
- Une dérivée est la limite des pentes des sécantes ; pour que cette limite soit finie, la fonction ne peut pas sauter.
- Si $f$ sautait à $c$, les pentes des sécantes près de $c$ exploseraient — aucune pente de tangente finie.
- Avoir $f'(c)$ garantit donc que $f$ est continue 连续 en $c$.
- Contraposée (pratique aux examens) : si $f$ n'est pas continue en $c$, elle n'y est pas différentiable.
Which implication is true? · Quelle implication est vraie ?
Differentiable forces continuous; the reverse is false. · La dérivabilité implique la continuité ; l'inverse est faux.
If $f$ is not · non continuous at $c$, then $f$ at $c$ is... · Si $f$ n'est pas continue en $c$, alors $f$ en $c$ est...
Contrapositive of "differentiable $\Rightarrow$ continuous": not continuous $\Rightarrow$ not differentiable. · Contraposée de "differentiable $\Rightarrow$ continuous" : not continuous $\Rightarrow$ not differentiable.
Where the derivative fails to exist
- Continuity is not enough — three shapes break differentiability even with no gap:
- A corner 尖角: the left and right slopes differ (like $|x|$ at $0$).
- A cusp 尖点: the slopes shoot to $+\infty$ and $-\infty$ (like $x^{2/3}$ at $0$).
- A vertical tangent 竖直切线: the tangent is vertical, so its slope is undefined (like $\sqrt[3]{x}$ at $0$).
Où la dérivée n'existe pas
- La continuité ne suffit pas — trois formes brisent la différentiabilité même sans discontinuité :
- Un angle 尖角 : les pentes gauche et droite diffèrent (comme $|x|$ en $0$).
- Un point anguleux 尖点 : les pentes tendent vers $+\infty$ et $-\infty$ (comme $x^{2/3}$ en $0$).
- Une tangente verticale 竖直切线 : la tangente est verticale, donc sa pente est indéfinie (comme $\sqrt[3]{x}$ en $0$).
At which features does a derivative fail to exist even if the function is continuous? · Sur quels caractéristiques la dérivée n'existe-t-elle pas même si la fonction est continue ?
Corners, cusps, and vertical tangents kill the derivative; a smooth turning point still has $f'=0$. · Les angles, les rebroussements et les tangentes verticales annulent la dérivée ; un point de retournement lisse a toujours $f'=0$.
At a ____ tangent, the tangent line is vertical, so its slope (the derivative) is undefined. · En un ____ tangent, la tangente est verticale, donc sa pente (la dérivée) est indéfinie.
A vertical line has undefined slope; e.g. $\sqrt[3]{x}$ at $0$. · Une ligne verticale a une pente indéfinie ; ex. $\sqrt[3]{x}$ en $0$.
It all comes back to the tangent
- A derivative exists only when there is one well-defined tangent line with a finite slope.
- A corner has two different tangents; a cusp/vertical tangent has an infinite slope — neither gives a single finite value.
- $|x|$ is continuous everywhere but has no derivative at $0$ — the classic counterexample.
- So: check continuity first (necessary), then check for a single finite tangent slope (the rest).
Tout revient à la tangente
- Une dérivée n'existe que lorsqu'il y a une seule tangente bien définie avec une pente finie.
- Un angle a deux tangentes différentes ; un point anguleux/tangente verticale a une pente infinie — aucun ne donne une valeur finie unique.
- $|x|$ est continue partout mais n'a pas de dérivée en $0$ — le contre-exemple classique.
- Donc : vérifiez d'abord la continuité (nécessaire), puis vérifiez s'il y a une seule pente de tangente finie (le reste).
$f(x)=|x|$ is continuous at $0$ but not differentiable there. · $f(x)=|x|$ est continue en $0$ mais pas dérivable là.
The corner gives left slope $-1$, right slope $+1$ — no single tangent slope. · L'angle donne une pente de gauche $-1$, une pente de droite $+1$ — aucune unique pente de tangente.
For · Pour $f(x)=|x|$, what is the right-hand slope (for $x>0$) at $0$? · Pour $f(x)=|x|$, quelle est la pente à droite (pour $x>0$) en $0$ ?
For · Pour $x>0$, $f(x)=x$, so the slope is $+1$ (the left slope is $-1$, hence the corner). · Pour $x>0$, $f(x)=x$, donc la pente est $+1$ (la pente à gauche est $-1$, d'où le coin).
Do not flip the implication. Differentiable $\Rightarrow$ continuous is true, but continuous $\Rightarrow$ differentiable is false. $f(x)=|x|$ proves it: perfectly continuous at $0$, yet the corner means $f'(0)$ does not exist (left slope $-1$, right slope $+1$).
Ne retournez pas l'implication. Différentiable $\Rightarrow$ continue est vrai, mais continuous $\Rightarrow$ differentiable est faux. $f(x)=|x|$ le prouve : parfaitement continue en $0$, mais l'angle signifie que $f'(0)$ n'existe pas (pente gauche $-1$, pente droite $+1$).
Is $f(x)=|x|$ differentiable at $x=0$?
- Continuous at $0$? Yes — no gap. ✓
- Left slope: for $x<0$, $f(x)=-x$, slope $-1$. Right slope: for $x>0$, $f(x)=x$, slope $+1$.
- The one-sided slopes disagree ($-1\neq1$) — a corner.
- So $f'(0)$ does not exist, even though $f$ is continuous there.
$f(x)=|x|$ est-elle différentiable en $x=0$ ?
- Continue en $0$ ? Oui — pas de rupture. ✓
- Pente gauche : pour $x<0$, $f(x)=-x$, pente $-1$. Pente droite : pour $x>0$, $f(x)=x$, pente $+1$.
- Les pentes unilatérales divergent ($-1\neq1$) — un angle.
- Donc $f'(0)$ n'existe pas, même si $f$ est continue là.
Differentiability $\Rightarrow$ continuity (a tangent needs an unbroken graph), but continuity does not imply differentiability. A derivative fails to exist at a corner (slopes disagree), a cusp, or a vertical tangent (infinite slope) — anywhere there is no single, finite tangent line.
Différentiabilité $\Rightarrow$ continuité (une tangente nécessite un graphique ininterrompu), mais la continuité n'implique pas la différentiabilité. Une dérivée n'existe pas en un angle (pentes qui divergent), un point anguleux ou une tangente verticale (pente infinie) — partout où il n'y a pas une seule tangente finie.