Using L'Hospital's Rule for Determining Limits of Indeterminate Forms · Utilisation de la règle de L'Hôpital pour déterminer les limites de formes indéterminées
| English | Français |
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| L'Hospital's Rule/ˈelhɒspɪtlz ruːl/ | Règle de L'Hôpital |
| indeterminate forms/ˌɪndɪˈtɜːmɪnət fɔːmz/ | formes indéterminées |
A derivative trick for stubborn limits
- Back in Unit 1, $\tfrac00$ meant "simplify by algebra." Sometimes no algebra helps.
- L'Hospital's Rule 洛必达法则 uses derivatives to crack those stubborn limits.
- It applies to the indeterminate forms $\tfrac00$ and $\tfrac{\infty}{\infty}$.
- The idea: replace the ratio of functions by the ratio of their derivatives.
Un astuce de dérivée pour des limites obstinées
- Retour dans l'Unité 1, $\tfrac00$ signifiait "simplifier par algèbre". Parfois aucune algèbre ne sert.
- La règle de L'Hospital 洛必达法则 utilise des dérivées pour percer ces limites obstinées.
- Elle s'applique aux formes indéterminées $\tfrac00$ et $\tfrac{\infty}{\infty}$.
- L'idée : remplacer le rapport de fonctions par le rapport de leurs dérivées.
Check the form first
- L'Hospital only applies to a genuine indeterminate form: $\dfrac00$ or $\dfrac{\infty}{\infty}$.
- Substitute first to confirm you have one — if direct substitution already gives a number, you are done, and the rule does not apply.
- Using it on a non-indeterminate limit (like $\tfrac{5}{2}$) gives a wrong answer.
- So always verify the form before reaching for the rule.
Vérifiez d'abord la forme
- L'Hospital ne s'applique qu'à une véritable forme indéterminée : $\dfrac00$ ou $\dfrac{\infty}{\infty}$.
- Substituez d'abord pour confirmer que vous en avez une — si la substitution directe donne déjà un nombre, vous êtes fini, et la règle ne s'applique pas.
- L'utiliser sur une limite non-indéterminée (comme $\tfrac{5}{2}$) donne une mauvaise réponse.
- Donc vérifiez toujours la forme avant d'appliquer la règle.
L'Hospital's Rule applies to which indeterminate forms? · La règle de L'Hôpital s'applique aux quelles formes indéterminées ?
Only $\tfrac00$ and · et $\tfrac\infty\infty$. $\tfrac52$ is already determinate; $\tfrac30$ is an asymptote, not indeterminate. · Seulement $\tfrac00$ et $\tfrac\infty\infty$. $\tfrac52$ est déjà déterminée ; $\tfrac30$ est une asymptote, pas une forme indéterminée.
Before applying the rule, confirm the limit is an ____ form by substituting. · Avant d'appliquer la règle, confirmer que la limite est une forme ____ en substituant.
Only $\tfrac00$ or · ou $\tfrac\infty\infty$ qualify. · Seulement $\tfrac00$ ou $\tfrac\infty\infty$ sont éligibles.
Differentiate top and bottom separately
- The rule: $$\lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}$$(when the form is indeterminate).
- Warning: this is not the quotient rule — you differentiate $f$ and $g$ independently, no minus, no $g^2$.
- Then re-evaluate the new, simpler limit.
- $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=\lim_{x\to0}\frac{\cos x}{1}=1$ — the famous limit, in one line.
Dérivez le haut et le bas séparément
- La règle : $$\lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}$$(lorsque la forme est indéterminée).
- Avertissement : ce n'est pas la règle du quotient — vous dérivez $f$ et $g$ indépendamment, sans moins, sans $g^2$.
- Ensuite réévaluez la nouvelle limite plus simple.
- $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=\lim_{x\to0}\frac{\cos x}{1}=1$ — la fameuse limite, en une ligne.
A 0/0 ratio with a real limit · Un rapport 0/0 avec une limite réelle
y = sin(x)/x (near 0) · y = sin(x)/x (près de 0)
$\tfrac{\sin x}{x}$ looks like $\tfrac00$ at $0$ but the curve heads smoothly to $1$ — L'Hospital finds that value fast. · $\tfrac{\sin x}{x}$ ressemble à $\tfrac00$ à $0$ mais la courbe se dirige doucement vers $1$ — L'Hospital trouve cette valeur rapidement.
L'Hospital's Rule uses the quotient rule $\dfrac{f'g-fg'}{g^2}$ on the numerator and denominator. · La règle de L'Hôpital utilise la règle du quotient $\dfrac{f'g-fg'}{g^2}$ sur le numérateur et le dénominateur.
It differentiates $f$ and · et $g$ separately: $\tfrac{f'}{g'}$, not the quotient rule. · Elle dérive $f$ et $g$ séparément : $\tfrac{f'}{g'}$, pas la règle du quotient.
Evaluate · Évaluer $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{e^x-1}{x}$ using the rule. · Évaluer $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{e^x-1}{x}$ en utilisant la règle.
$\tfrac00\Rightarrow\lim\tfrac{e^x}{1}=e^0=1$.
By L'Hospital, $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=\lim_{x\to0}\dfrac{\cos x}{1}=$ · Par L'Hôpital, $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=\lim_{x\to0}\dfrac{\cos x}{1}=$
$\cos 0=1$.
Repeat if it's still indeterminate
- If the new ratio $\tfrac{f'}{g'}$ is also $\tfrac00$ or $\tfrac\infty\infty$, apply the rule again.
- Keep differentiating top and bottom until you get a determinate value.
- $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{2x}=\lim_{x\to0}\frac{\cos x}{2}=\tfrac12$ (two applications).
- Each round must still be indeterminate to justify another application.
Répétez si c'est encore indéterminé
- Si le nouveau rapport $\tfrac{f'}{g'}$ est aussi $\tfrac00$ ou $\tfrac\infty\infty$, appliquez la règle encore.
- Continuez à dériver le haut et le bas jusqu'à obtenir une valeur déterminée.
- $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{2x}=\lim_{x\to0}\frac{\cos x}{2}=\tfrac12$ (deux applications).
- Chaque tour doit toujours être indéterminé pour justifier une autre application.
Applying the rule twice, $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{1-\cos x}{x^2}=$ ? (a decimal) · Appliquer la règle deux fois, $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{1-\cos x}{x^2}=$ ? (un décimal)
$\to\tfrac{\sin x}{2x}\to\tfrac{\cos x}{2}=\tfrac12$.
$\dfrac{f'}{g'}$ is not the quotient rule. L'Hospital differentiates numerator and denominator separately: $\frac{d}{dx}[f]$ over $\frac{d}{dx}[g]$ — no $\frac{f'g-fg'}{g^2}$. And only use it on $\tfrac00$ or $\tfrac{\infty}{\infty}$; applying it when the limit is already determinate produces nonsense.
$\dfrac{f'}{g'}$ n'est pas la règle du quotient. L'Hospital dérive numérateur et dénominateur séparément : $\frac{d}{dx}[f]$ sur $\frac{d}{dx}[g]$ — pas de $\frac{f'g-fg'}{g^2}$. Et n'utilisez-le que sur $\tfrac00$ ou $\tfrac{\infty}{\infty}$ ; l'appliquer quand la limite est déjà déterminée produit de la nonsense.
Evaluate $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}$.
- Substitute: $\frac{e^0-1}{0}=\frac{0}{0}$ — indeterminate, so L'Hospital applies.
- Differentiate top and bottom: $\dfrac{e^x}{1}$.
- $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^x}{1}=e^0=1$.
Évaluez $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}$.
- Substituez : $\frac{e^0-1}{0}=\frac{0}{0}$ — indéterminé, donc L'Hospital s'applique.
- Dérivez le haut et le bas : $\dfrac{e^x}{1}$.
- $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^x}{1}=e^0=1$.
L'Hospital's Rule: for the indeterminate forms $\tfrac00$ or $\tfrac{\infty}{\infty}$, $\lim\frac{f}{g}=\lim\frac{f'}{g'}$ — differentiate top and bottom separately (not the quotient rule) and re-evaluate. Confirm the form first, and repeat the rule while the result stays indeterminate.
Règle de L'Hospital : pour les formes indéterminées $\tfrac00$ ou $\tfrac{\infty}{\infty}$, $\lim\frac{f}{g}=\lim\frac{f'}{g'}$ — dérivez le haut et le bas séparément (pas la règle du quotient) et réévaluez. Confirmez la forme d'abord, et répétez la règle tant que le résultat reste indéterminé.