Using the Mean Value Theorem · Utilisation du théorème des valeurs intermédiaires (théorème des accroissements finis)
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| Mean Value Theorem/miːn ˈvæljuː ˈθɪərəm/ | Théorème des valeurs intermédiaires |
Somewhere, the instant matches the average
- Drive $120$ km in $2$ hours: your average speed is $60\,\tfrac{\text{km}}{\text{h}}$.
- At some instant your speedometer must have read exactly $60$ — you can't average $60$ without hitting it.
- That intuitive fact is the Mean Value Theorem 中值定理 (MVT).
- It links the average rate of change over an interval to an instantaneous rate somewhere inside.
Quelque part, l'instant correspond à la moyenne
- Conduire $120$ km en $2$ heures : votre vitesse moyenne est $60\,\tfrac{\text{km}}{\text{h}}$.
- À un instant donné, votre compteur de vitesse doit avoir affiché exactement $60$ — on ne peut pas faire une moyenne de $60$ sans l'atteindre.
- Ce fait intuitif est le Théorème des Valeurs Intermédiaires 中值定理 (MVT).
- Il relie le taux de changement moyen sur un intervalle à un taux instantané quelque part à l'intérieur.
The hypotheses come first
- MVT needs $f$ continuous on $[a,b]$ and differentiable on $(a,b)$.
- If both hold, there is at least one $c$ in $(a,b)$ with
-
$$f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$
- The left side is an instantaneous rate; the right side is the average rate over $[a,b]$.
Les hypothèses viennent en premier
- MVT nécessite $f$ continue sur $[a,b]$ et dérivable sur $(a,b)$.
- Si les deux tiennent, il y a au moins un $c$ dans $(a,b)$ avec
-
$$f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$
- Le côté gauche est un taux instantané ; le côté droit est le taux moyen sur $[a,b]$.
The MVT on $[a,b]$ requires which hypotheses? · Le TVI sur $[a,b]$ nécessite quelles hypothèses ?
Continuous on the closed interval and differentiable on the open one. ($f(a)=f(b)$ is the extra Rolle condition.) · Continue sur l'intervalle fermé et dérivable sur l'intervalle ouvert. ($f(a)=f(b)$ est la condition supplémentaire de Rolle.)
The MVT guarantees a $c$ where $f'(c)$ equals the... · Le TVI garantit une $c$ où $f'(c)$ égale le...
$f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$, the average rate. · $f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$, le taux moyen.
A tangent parallel to the secant
- The right-hand side is the slope of the secant line joining the endpoints.
- So MVT guarantees a point where the tangent line is parallel to that secant.
- Geometrically: somewhere the curve's slope equals the overall average slope.
- Like the IVT, it is an existence theorem — it promises $c$ exists, not its value.
Une tangente parallèle à la sécante
- Le côté droit est la pente de la ligne sécante reliant les extrémités.
- Donc MVT garantit un point où la tangente est parallèle à cette sécante.
- Géométriquement : quelque part la pente de la courbe égale la pente moyenne globale.
- Comme IVT, c'est un théorème d'existence — il promet que $c$ existe, pas sa valeur.
Tangent parallel to the secant · Tangente parallèle à la sécante
y = x²
Somewhere inside the interval the tangent slope matches the average (secant) slope — that point is the MVT's guaranteed $c$. · Quelque part dans l'intervalle, la pente de la tangente correspond à la pente moyenne (sécante) — ce point est la $c$ garantie par le TVI.
Geometrically, the MVT guarantees a tangent line parallel to the ____ line. · Géométriquement, le TVI garantit une ligne tangente parallèle à la ligne ____.
The tangent at $c$ is parallel to the secant joining the endpoints. · La tangente en $c$ est parallèle à la sécante joignant les extrémités.
Finding the guaranteed $c$
- To find $c$: set $f'(c)$ equal to the average rate and solve for $c$ in $(a,b)$.
- First check the hypotheses (continuous + differentiable) — skip that and the theorem doesn't apply.
- Discard any solution outside the open interval $(a,b)$.
- The MVT is the engine behind many later results (like "if $f'=0$ everywhere, $f$ is constant").
Trouver le $c$ garanti
- Pour trouver $c$ : posez $f'(c)$ égal au taux moyen et résolvez pour $c$ dans $(a,b)$.
- Vérifiez d'abord les hypothèses (continue + dérivable) — sautez cela et le théorème ne s'applique pas.
- Rejeter toute solution hors de l'intervalle ouvert $(a,b)$.
- Le TVM est le moteur derrière de nombreux résultats ultérieurs (comme « si $f'=0$ partout, $f$ est constante »).
For · Pour $f(x)=x^2$ on $[2,6]$, find the $c$ guaranteed by the MVT. · Pour $f(x)=x^2$ sur $[2,6]$, trouvez la $c$ garantie par le TVM.
Average $=\frac{36-4}{4}=8$; $2c=8\Rightarrow c=4\in(2,6)$. · Moyenne $=\frac{36-4}{4}=8$ ; $2c=8\Rightarrow c=4\in(2,6)$.
If $f$ has a corner inside $(a,b)$, the MVT is still guaranteed to apply. · Si $f$ a un angle vif à l'intérieur de $(a,b)$, le TVI est encore garanti pour s'appliquer.
A corner breaks differentiability, so the hypotheses fail and MVT may not apply. · Un angle brise la dérivabilité, donc les hypothèses échouent et le TVI peut ne pas s'appliquer.
Like the IVT, the MVT is what kind of theorem? · Comme le TVI, le TVI est quel type de théorème ?
It guarantees such a $c$ exists (though here you can often find it). · Il garantit l'existence d'une telle $c$ (bien qu'ici on puisse souvent la trouver).
Both hypotheses are required. If $f$ has a corner (not differentiable) or a break (not continuous) on the interval, the MVT can fail — there may be no such $c$. Always confirm $f$ is continuous on $[a,b]$ and differentiable on $(a,b)$ before applying it.
Les deux hypothèses sont requises. Si $f$ présente un angle vif (non dérivable) ou une rupture (non continu) sur l'intervalle, le TME peut échouer — il peut ne pas exister de tel $c$. Confirmez toujours que $f$ est continu sur $[a,b]$ et dérivable sur $(a,b)$ avant de l'appliquer.
For $f(x)=x^2$ on $[1,3]$, find the $c$ guaranteed by the MVT.
- Average rate: $\dfrac{f(3)-f(1)}{3-1}=\dfrac{9-1}{2}=4$.
- $f'(x)=2x$, so set $2c=4\Rightarrow c=2$.
- $c=2$ lies in $(1,3)$ ✓ — there the tangent slope equals the average slope $4$.
Pour $f(x)=x^2$ sur $[1,3]$, trouvez la $c$ garantie par le TVM.
- Taux moyen : $\dfrac{f(3)-f(1)}{3-1}=\dfrac{9-1}{2}=4$.
- $f'(x)=2x$, donc posons $2c=4\Rightarrow c=2$.
- $c=2$ appartient à $(1,3)$ ✓ — là, la pente tangente égale la pente moyenne $4$.
The Mean Value Theorem: if $f$ is continuous on $[a,b]$ and differentiable on $(a,b)$, some $c\in(a,b)$ has $f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ — an instantaneous rate equal to the average rate, i.e. a tangent parallel to the secant. Check the hypotheses, then solve $f'(c)=$ average for $c$.
Le Théorème des Valeurs Moyennes : si $f$ est continu sur $[a,b]$ et dérivable sur $(a,b)$, il existe un $c\in(a,b)$ tel que $f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ — un taux instantané égal au taux moyen, c'est-à-dire une tangente parallèle à la sécante. Vérifiez les hypothèses, puis résolvez $f'(c)=$ moyenne pour $c$.